Álgebra Linear e Geometria Analítica — Prova Suplementar — 19/02/01

Licenciaturas em Bioquímica (opção), Química e Química Industrial e em Engenharias Geológica, Minas e Química

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DA FCTUC

Duração: 2h

ATENÇÃO: Justifique todas as suas respostas.

1. Seja A ∈ M_{n}(ℝ), n ∈ ℕ, uma matriz simétrica e não singular e considere-se a sua decomposição A = LDU em que D é uma matriz diagonal com elementos diagonais positivos, L é uma matriz triangular inferior com uns na diagonal principal e U é uma matriz triangular superior com uns na diagonal principal.

(a) Prove que L = U^{⊤}.

(b) Mostre que A se pode escrever na forma L̄L̄^{⊤} em que L̄ é uma matriz triangular inferior com elementos diagonais positivos.

(c) Prove, a partir da alínea anterior, que os valores próprios de A são positivos.

2. Considere a decomposição A = QR de uma matriz A ∈ M_{m×n}(ℝ) com n columas linearmente independentes (m, n ∈ ℕ, m > n). A matriz Q ∈ M_{m}(ℝ) é ortogonal e

a matriz R = [ \begin{matrix}R_{1} \\ 0 \end{matrix} ] ∈ M_{m×n}(ℝ) é tal que R_{1} ∈ M_{n}(ℝ) é não singular.

Seja b um vector em ℝ^{m} e x̄ a solução no sentido dos minímos quadrados de Ax = b. Seja Q_{1} a submatriz de Q constituída pelas suas primeiras n colunas.

(a) Mostre que

∥b − Ax̄∥ = ∥Q^{⊤}b − Rx̄∥ ,

e indique, com base nesta igualdade, como seria possível calcular x̄ através da decomposição QR da matriz A.

(b) Mostre que as colunas de Q_{1} formam uma base ortogonal para o subespaço C(A).

(c) Mostre que Q_{1}^{⊤}b são as coordenadas de Ax̄ na base referida na alínea anterior.