Álgebra Linear e Geometria Analítica — Teste 1 — Turma P4a — 12/11/01

Licenciatura em Engenharia Electrotécnica

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DA UNIVERSIDADE COIMBRA

Duração: 40m ATENÇÃO: Justifique todas as suas respostas.

1. Considere o sistema de equações lineares

[ \begin{matrix}1 & −4 & 2 & 9 \\ 0 & 0 & 7 & 14 \\ 3 & −12 & −1 & 13 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}6 \\ 0 \\ 18 \end{matrix} ] .

(a) Determine uma decomposição P A = LDU e indique a característica de A.

(b) Resolva o sistema Ax = 0.

(c) Mostre que x = [ 2 − 1 0 0 ]^{T} é uma solução do sistema Ax = b.

(d) Sem efectuar cálculos, indique o conjunto solução do sistema Ax = b.

2. Considere a matriz A = [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 4 & 0 & 4 \end{matrix} ].

(a) Escreva A na forma DE_{ij}(α), onde D é uma matriz diagonal.

(b) Calcule a inversa de A utilizando a igualdade A = DE_{ij}(α) da alínea (a) e a inversa do produto de duas matrizes.