Álgebra Linear e Geometria Analítica — Teste 1 — Turma P5a — 16/11/01

Licenciatura em Engenharia Electrotécnica

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DA UNIVERSIDADE COIMBRA

Duração: 40m

ATENÇÃO: Justifique todas as suas respostas.

1. Considere o sistema de equações lineares

[ \begin{matrix}1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & u_{23} & u_{24} \\ 0 & 0 & 0 & u_{34} \end{matrix} ] [ \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}5 \\ 1 \\ c_{3} \end{matrix} ] .

Determine, se possível, valores reais para u_{23}, u_{24}, u_{34} e c_{3} tais que o sistema de equações lineares seja:

(a) impossível;

(b) possível determinado;

(c) possível indeterminado com 1 incógnita livre;

(d) possível indeterminado com 2 incógnitas livres;

(e) possível indeterminado com 3 incógnitas livres.

(f) Resolva o sistema quando u_{34} = c_{3} = 0 e u_{23} = u_{24} = 1.

2. Escreva, por extenso, a matriz P_{52} de ordem 6.

3. Considere a seguinte matriz

A = [ 0 2 0 −1 ] .

Determine, sempre que possível:

(a) a matriz AA^{T} e a sua característica;

(b) a inversa da matriz AA^{T};

(c) a matriz A^{T} A e a sua característica;

(d) a inversa da matriz A^{T} A.