Álgebra Linear e Geometria Analítica — Teste 1 — Modelo — 2000/01 Licenciaturas em Bioquímica (opção), Química e Química Industrial e em Engenharias

Geológica, Minas e Química

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DA UNIVERSIDADE COIMBRA

Duração: 30m ATENÇÃO: Justifique todas as suas respostas.

1. Considere a matriz

A = [ \begin{matrix}0 & 0 & a_{13} \\ 0 & a_{22} & 0 \\ a_{31} & 0 & a_{33} \end{matrix} ] .

Indique, se for possível, valores reais para a_{13}, a_{22}, a_{31} e a_{33} tais que a matriz A seja:

(a) diagonal;

(b) simétrica e triangular inferior;

(c) uma matriz elementar do tipo E_{ij}(α) para algum α ∈ IR;

(d) singular com característica igual a 1.

(e) Efectue, quando possível, as seguintes operações:

(a) [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}5 \\ 3 \\ 7 \end{matrix} ] . (b) [ \begin{matrix}2 & 3 \\ −1 & 10 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}1 \\ 9 \end{matrix} ]^{T} . (c) [ \begin{matrix}1 & 0 \\ −2 & 1 \end{matrix} ]^{−1}+2 [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ] .

2. Resolva, através do algoritmo de eliminação de Gauss, o sistema de equações lineares

[ \begin{matrix}1 & 2 \\ 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ −1 & −1 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ] ,

determinando primeiro a factorização P A = LU da matriz A do sistema.