Álgebra Linear e Geometria Analítica — Teste 2 — Modelo — 2000/01 Licenciaturas em Bioquímica (opção), Química e Química Industrial e em Engenharias

Geológica, Minas e Química

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DA UNIVERSIDADE COIMBRA

Duração: 30m ATENÇÃO: Justifique todas as suas respostas.

1. Considere a recta em ℝ^{3}:

S = \{[ \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ] + α [ \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ] : α ∈ ℝ\}

(a) Calcule a distância do ponto

[ \begin{matrix}3 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ]

à recta S.

(b) Apenas com base no resultado da alínea anterior, classifique o sistema de

equações lineares

[ \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}3 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ] .

(c) Diga se os vectores

v_{1} = [ \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ] e v_{2} = [ \begin{matrix}3 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ]

são linearmente independentes, indique a nulidade da matriz A = [ v_{1} v_{2} ] e calcule uma base ortogonal de R(A).