Complementos de Álgebra Linear e Geometria Analítica

Ano Lectivo 2003/04 — Exercícios sobre curvas e superfícies do 2ō grau Licenciatura em Tecnologias de Informação Visual

1. Para cada uma das seguintes formas quadráticas em ℝ^{2} ache uma mudança ortogonal de

coordenadas que a transforme numa forma quadrática diagonal:

(a) f(x, y) = 2x^{2} + xy + 2y^{2}; (b) f(x, y) = x^{2} − 4xy − 2y^{2}; (c) f(x, y) = 3xy. Em cada alínea identifique a figura geométrica de equação f(x, y) = 1.

2. Mesmo exercício que o anterior para as seguintes formas quadráticas em ℝ^{3}:

(a) f(x, y, z) = 7x^{2} + 4xy + 6y^{2} + 4yz + 5z^{2}; (b) f(x, y, z) = x^{2} − y^{2} + 6yz − z^{2}.

3. Esboçe a figura geométrica do plano real ℝ^{2} dada por cada uma das seguintes equações quadráticas.

(a) 3x^{2} + 2xy + 3y^{2} − \sqrt{2}x = 0;

(b) 4x^{2} + 4xy + y^{2} − x = 0;

(c) xy + x + y = 0;

(d) x^{2} + xy + y^{2} − 3 = 0;

(e) 3x^{2} − 4\sqrt{3}xy − y^{2} + 20y − 25 = 0;

(f) 4xy + 3y^{2} + 2\sqrt{5}x + 4\sqrt{5}y = 0;

(g) x^{2} + y^{2} − 3x − 3y + xy = 0;

(h) xy − 2x − 4 = 0;

(i) x^{2} − 2x + 1 = 0;

(j) x^{2} + y^{2} − xy − 3 = 0;

(k) 4x^{2} + 4xy + y^{2} − 4y − 9x + 4 = 0.

4. Identifique a figura geométrica do espaço real ℝ^{3} dada por cada uma das seguintes equações quadráticas.

(a) −5y^{2} + 2xy − 8xz + 2yz = 0;

(b) y^{2} + 2z^{2} + 2\sqrt{3}yz = 0;

(c) x^{2} + y^{2} − 1 = 0;

(d) x^{2} + y^{2} + z^{2} = −1;

(e) 9x^{2} + 16y^{2} + 25z^{2} + 24xy − 40x + 30y = 0;

(f) 3x^{2} + 2y^{2} + 3z^{2} + 2xz = 2;

(g) x^{2} + 2xy + y^{2} = 0;

(h) y^{2} + 3y + 2 = 0;

(i) y^{2} + 2z^{2} + 2\sqrt{3}yz = 0.

Estes exercícios foram retirados da Folha 11 da disciplina de ALGA 2 (Licenciatura em Matemática do DM da FCTUC).