COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA

Exame – 15/06/04 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DA F.C.T.U.C. Duração: 2h30m

Atenção: Justifique todas as suas respostas.

1. Considere a seguinte matriz em M_{3×3}(ℂ):

A = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 1 & i & −1 \end{matrix} ) .

(a) Complete esta matriz de forma a ser circulante.

(b) Complete esta matriz de forma a ter valores próprios reais.

(c) Complete esta matriz de forma a ser unitariamente diagonalizável.

(d) Complete esta matriz de forma a ter um e um só valor singular positivo.

(e) No caso da alínea (a), escreva a matriz na forma [ h C^{7}h C^{5}h], em que C é a matriz de permutação de deslocamento inferior de ordem 3 e h um vector em ℂ^{3}.

(f) Indique os valores próprios de C^{5}.

2. Seja S o plano de equação cartesiana

x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1.

(a) Identifique uma base para F^{⊥}, em que F é o subespaço director do plano.

(b) Calcule a projecção ortogonal de v = [ 1 0 − 1 ]^{⊤} sobre F^{⊥}.

(c) Escreva a equação cartesiana do plano que é paralelo a S e que passa pelo ponto

p = [ 2 2 2 ]^{⊤}.

v.s.f.f.

3. Considere os vectores

v_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , v_{2} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) e v_{3} = ( \begin{matrix}−1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) .

(a) Determine uma base ortonormada para o subespaço gerado por v_{1}, v_{2} e v_{3} através do processo de ortogonalização de Gram-Schmidt.

(b) Seja A a matriz 3-por-3 cujas colunas são v_{1}, v_{2} e v_{3}. Com base na alínea anterior, escreva a decomposição QR da matriz A.

(c) Calcule QQ^{∗} (em que Q é a matriz obtida na alínea anterior).

(d) Mostre que QQ^{∗} é um projector ortogonal (se não resolveu a alínea anterior pode assumir que a matriz Q é n-por-n com colunas ortonormadas; n é um número inteiro positivo).

(e) Sobre que subespaço é que a matriz QQ^{∗} projecta ortogonalmente? (Pode também resolver esta questão em termos abstractos, como na alínea anterior.)

4. Seja A ∈ M_{n×n}(ℂ) uma matriz tal que

U_{1}^{∗}AV_{1} = ( \begin{matrix}σ_{1} & w^{∗} \\ 0 & B \end{matrix} )

com σ_{1} um real positivo (igual à norma de A), B ∈ M_{n−1×n−1}(ℂ) e w ∈ ℂ^{n−1}. As matrizes U_{1} e V_{1} são unitárias e de dimensão igual ao valor do número inteiro n ≥ 2.

Seja U_{2}Σ_{2}V_{2}^{∗} a decomposição em valores singulares de B (na forma completa).

(a) Deduza uma expressão para Σ_{2} em função de B, U_{2} e V_{2}.

(b) Identifique matrizes unitárias U e V em M_{n×n}(ℂ) tais que

U^{∗}AV = ( \begin{matrix}σ_{1} & 0 \\ 0 & Σ_{2} \end{matrix} ) .

(c) Identifique os valores singulares de A.