COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA

Exame – 09/07/04 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DA F.C.T.U.C. Duração: 2h30m

Atenção: Justifique todas as suas respostas.

1. Considere a seguinte matriz em M_{3×3}(ℂ):

A = ( \begin{matrix}1 & 0 & i \\ 0 & 1 & 0 \\ a_{31} & 0 & 1 \end{matrix} )

em que a_{31} é um parâmetro complexo.

(a) Indique, se possível, valores para a_{31} de forma a que A seja: simétrica; hermítica; ortogonal; unitária; normal; circulante.

(b) Faça a_{31} = 0. Indique os valores próprios de A.

(c) A matriz A é diagonalizável (com a_{31} = 0)?

2. Considere a recta e o plano de equações paramétricas dadas, respectivamente, por

( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) + α ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) e ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix} ) = β ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) + γ ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) .

(a) Mostre que a recta e o plano não são concorrentes, ou seja, que a sua intersecção é um conjunto vazio.

(b) Mostre que a recta e o plano não são paralelos.

(c) Escreva as equações paramétricas de um hiperplano ortogonal à recta dada. v.s.f.f.

3. Seja Q a matriz dada por

Q = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) .

(a) Calcule P = I − QQ^{∗} e mostre que se trata de um projector ortogonal.

(b) Sobre que subespaço projecta P ortogonalmente?

(c) Calcule a solução no sentido dos mínimos quadrados de

( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} )

utilizando, apenas, a matriz Q.

(d) Calcule a decomposição em valores singulares de Q.

4. Considere um sistema de equações lineares da forma

Ax = b, A ∈ M_{m×n}(ℂ) e b ∈ ℂ^{m},

com m e n números inteiros positivos a verificar m < n. Assuma que a característica da matriz A é igual a m.

(a) Quantos valores singulares não nulos tem A?

(b) Substitua A em Ax = b pela trans-conjugada (operador ∗) de QR, no contexto da decomposição A^{∗} = QR.

(c) Multiplique, depois, ambos os membros do sistema por (R^{∗})^{−1}, indicando o resultado obtido. Classifique o sistema resultante desta operação.