COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA

Frequência – 04/06/04

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DA F.C.T.U.C.

Duração: 2h30m

Atenção: Justifique todas as suas respostas.

1. Considere a seguinte matriz em M_{3×3}(ℂ):

A = ( \begin{matrix}1 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix} ) .

(a) Classifique esta matriz (indicando todas as propriedades matricias conhecidas que ela satisfaça).

(b) Escreva esta matriz como uma combinação linear de C, C^{2} e C^{3}, em que C designa a matriz de permutação de deslocamento inferior de ordem 3.

(c) Indique os valores próprios de C em função de w = e^{2πi/3}.

(d) A partir da fórmula da alínea (b) e dos valores próprios calculados na alínea (c), deduza uma expressão para F AF^{−1}, em que F é a matriz da transformada discreta de Fourier de ordem 3.

(e) Indique os valores próprios de A em função de w = e^{2πi/3}.

2. Seja F o subespaço gerado pelo vector

v = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) .

(a) Calcule uma base para F^{⊥}.

(b) Escreva as equações paramétricas do plano S que passa pela origem e é paralelo aos vectores

v_{1} = ( \begin{matrix}−2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} ) v_{2} = ( \begin{matrix}−10 \\ 0 \\ 10 \end{matrix} ) .

(c) Que relação existe entre F^{⊥} (alínea (a)) e S (alínea (b))?

(d) Escreva as equações normais da recta perpendicular ao plano S e que passa pela origem.

v.s.f.f.

3. Sejam A e y a matriz e o vector dados por

A = ( \begin{matrix}1 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & −\sqrt{5} & 1 \end{matrix} ) e y = ( \begin{matrix}2 \\ 0 \\ −\sqrt{5} \end{matrix} ) .

(a) Calcule uma matriz ortogonal H em M_{3×3}(IR) tal que Hy tenha os elementos nas posições 2, 1 e 3, 1 nulos.

(b) A partir do resultado da alínea (a), calcule uma matriz ortogonal U em M_{4×4}(IR) tal que UA tenha zeros na coluna 1 a seguir ao elemento na posição 1, 1 e zeros na coluna 2 a seguir ao elemento na posição 2, 2.

(c) Seja B a matriz constituída pelas duas primeiras colunas de A. Com base na alínea (b), indique, sem efectuar quaisquer contas, como poderia escrever B na forma Q̂R̂ em que Q̂ ∈ M_{4×4}(IR) é ortogonal e R̂ ∈ M_{4×2}(IR) tem zeros nas linhas 3 e 4.

(d) Indique, sem efectuar quaisquer contas, como decomporia B na forma QR (com Q ∈ M_{4×2}(IR) e R ∈ M_{2×2}(IR)) a partir da decomposição Q̂R̂ da alínea anterior.

4. Considere um sistema de equações lineares da forma

Ax = b, A ∈ M_{m×n}(ℂ) e b ∈ ℂ^{m},

com m e n números inteiros positivos a verificar m < n. Assuma que a característica da matriz A é igual a m.

(a) Classifique o sistema e substitua A em Ax = b pela sua decomposição em valores singulares (na forma reduzida).

(b) Multiplique, depois, ambos os membros do sistema por U^{∗} e Σ̂^{−1}, por esta ordem, indicando o resultado obtido. Classifique, novamente, o sistema resultante destas operações.

(c) Mostre que V̂ Σ̂^{−1}U^{∗}b é uma solução do sistema.