Complementos de Álgebra Linear e Geometria Analítica

Ano Lectivo 2003/04 — Exercícios sobre geometria analítica - 1 Licenciatura em Tecnologias de Informação Visual

1. Calcule o volume do paralelipípedo definido por (−3, 2, 1), (1, 0, −1) e (3, 3, −1).

2. Sendo v_{1} e v_{2} vectores de ℝ^{3}, e designando por A a matriz 3 × 2 cujas colunas são v_{1} e v_{2}, mostre que a área do paralelogramo definido por v_{1} e v_{2} é igual a \sqrt{det(A^{T} A)}.

3. Calcule a área do paralelogramo definido por (−3, 2, 1) e (1, 0, −1).

4. Sendo v_{1} e v_{2} vectores de ℝ^{2} (ou de ℝ^{3}), e designando por θ o ângulo entre eles, mostre que a área do paralelogramo definido por v_{1} e v_{2} é igual a ∥v_{1}∥ ∥v_{2}∥ senθ.

5. Sendo u = (2, −1, 3), v = (0, 1, 7) e w = (1, 4, 5), calcular:

v ∧ w; u ∧ (v ∧ w); (u ∧ v) ∧ w; (u ∧ v) ∧ (v ∧ w); u ∧ (v − 2w); (u ∧ v) − 2w

6. Em cada uma das alíneas ache um vector ortogonal aos dois vectores:

(a) u = (−7, 3, 1), v = (2, 0, 4). (b) u = (−1, −1, −1), v = (2, 0, 2).

7. Dados u, v, w em ℝ^{3}, mostre que o volume do paralelipípedo definido por u, v e w é igual a |⟨u, v ∧ w⟩|.

8. (a) O que é um plano de dimensão 0?

(b) O que é um plano de dimensão n em ℝ^{n}?

9. Diga se os vectores a = (1, 6, 4, 4, −2) e b = (1, 6, 5, 4, −2) pertencem ao plano em ℝ^{5} de equação x = p + α_{1}v_{1} + α_{2}v_{2}, onde p = (2, 3, −1, 1, 1), v_{1} = (3, −1, 1, −1, 1) e v_{2} = (−1, 1, 1, 1, −1).

10. Para cada uma das seguintes rectas em ℝ^{4}, determine a sua posição em relação ao plano que passa por (1, 0, 0, 1) e é paralelo aos vectores (5, 2, −3, 1), (4, 1, −1, 0) e (−1, 2, −5, 3)

(a) x = (3, 1, −4, 1) + α(−1, 1, 2, 1), α ∈ ℝ (b) x = (3, 0, −4, 1) + α(−1, 1, 2, 1), α ∈ ℝ (c) x = (−2, 0, −1, 2) + α(1, 1, −2, 1), α ∈ ℝ

NOTA: Os exercícios seguintes dizem todos respeito ao espaço ℝ^{3}. Neles usaremos a palavra “plano”

para significar “plano de dimensão 2”.

11. Determine equações paramétricas do plano que passa por (1, 1, 0), (6, 0, −1) e (3, 0, 0).

12. Determine equações paramétricas da recta que passa por (3, 1, −1) e tem a direcção de (1, −1, 2).

13. Considere a recta de equação vectorial (x, y, z) = (x_{0}, y_{0}, z_{0})+α(a, b, c), α ∈ ℝ. Se a ≠ 0, b ≠ 0 e c ≠ 0, mostre que a recta pode ser definida pelas igualdades

\frac{x − x_{0}}{a} = \frac{y − y_{0}}{b} = \frac{z − z_{0}}{c} .

(A estas igualdades costuma chamar-se equações normais ou canónicas da recta que passa por (x_{0}, y_{0}, z_{0}) e tem a direcção de (a, b, c).)

14. Determine equações paramétricas do plano que passa por (1, 2, 2) e é paralelo às rectas

\{ \begin{matrix}x = 1 + 2α \\ y = −1 − α \\ z = −2α \end{matrix}  e  x = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}.

15. Determine equações paramétricas da recta que passa por (2, 1, −3) e por (4, 0, −2).

16. Determine equações paramétricas do plano que passa por (1, 1, 0) e (1, −1, −1) e é paralelo a (2, 1, 0).

17. Diga se existe um plano em ℝ^{3} que contenha (2, 1, 3), (0, 3, 9), (3, 3, 4) e (7, 5, 0).

18. Mostre que a intersecção dos planos em ℝ^{3} {(8, 0, 0)}+L{(−4, 1, 0), (2, 0, 1)} e L{(1, 0, −2), (0, 1, 1)} é uma recta e determine equações paramétricas dessa recta.

19. Determine equações paramétricas do plano em ℝ^{3} que contém (1, 0, 0) e também contém a recta de equação x = (0, 1, 0) + α(0, 1, −2), α ∈ ℝ.

20. Escreva uma equação cartesiana de cada um dos seguintes planos em ℝ^{3}:

(a) O plano que contém o ponto (1, 2, 3) e é perpendicular ao vector (−1, 1, 0).

(b) O plano que contém os pontos (2, 1, 3), (−3, −1, 3) e (4, 2, 3).

(c) O plano que contém o ponto (6, 0, −2) e é paralelo aos vectores (1, 0, 0) e (0, −2, 1).

(d) O plano que contém o ponto (4, −1, 2) e é paralelo ao plano 2x − 3y − z = 5.

21. Dado o plano em ℝ^{3} de equação cartesiana 3x − 2y − z = 6, determine equações paramétricas desse plano.

22. (a) Considere o plano em ℝ^{3} de equação cartesiana ax + by + cz = d. Qual é o significado geométrico da condição c = 0?

(b) Sejam dados m pontos no espaço ℝ^{3}. Como procederia para determinar o plano (não paralelo ao eixo dos zz) que melhor se ajusta, no sentido dos mínimos quadrados, a esses m pontos?

Estes exercícios foram retirados das Folhas 15 e 16 da disciplina de ALGA 1 (Licenciatura em Matemática do DM da FCTUC).