Complementos de Álgebra Linear e Geometria Analítica

Ano Lectivo 2003/04 — Exercícios sobre geometria analítica - 2

Licenciatura em Tecnologias de Informação Visual

1. Calcule a distância do ponto b = (2, 1, 0) ao plano em ℝ^{3} de equação x + y − z = 0. Qual é o ponto desse plano que está mais próximo de b?

2. O ângulo entre dois planos ⟨u, x − p⟩ = 0 e ⟨v, x − q⟩ = 0 é o ângulo entre u e v (ou o suplementar desse, se ele não pertencer ao intervalo [0, \frac{π}{2} ]). Calcule o ângulo entre os planos em ℝ^{3} de equações x + y + 4z = 1 e x − 2y − 2z = 3.

3. Determine equações cartesianas da recta em ℝ^{3} que passa pelo ponto (2, −1, 4) e é perpendicular ao plano x − 3y + 2z = 1.

4. Determine equações paramétricas da recta em ℝ^{3} \{ \begin{matrix}2x − y − 3z = 5 \\ 2x + y = 2 \end{matrix} .

5. A distância de um ponto v a uma recta x = p + αu, α ∈ ℝ, é a distância de v − p à sua projecção ortogonal u. Moste que uma fórmula para essa distância é

\frac{\sqrt{∥v − p∥^{2}∥u∥^{2} − ⟨v − p, u⟩^{2}}}{∥u∥} .

(Porque é que o radicando é não-negativo?)

6. Calcule a distância do ponto x_{0} = (2, 0, 7)

(a) à recta em ℝ^{3} que passa pelo ponto p = (0, 2, −3) e é paralela a v = (2, 2, 1);

(b) à recta em ℝ^{3} de equações cartesianas \{ \begin{matrix}5x − 2y + z = −7 \\ 3x − 3y + z = −4 \end{matrix} .

7. Dadas as rectas em ℝ^{3} \{ \begin{matrix}x = 3 + α \\ y = α \\ z = −1 − 2α \end{matrix} e \{ \begin{matrix}2x + y + 3z = 0 \\ x + 2y = 6 \end{matrix}

(a) verifique que são concorrentes e determine o seu ponto de intersecção;

(b) calcule o ângulo entre elas.

Nota: O ângulo entre duas rectas x = p + αv e x = q + αw é o ângulo entre v e w (ou o suplementar desse).

8. Considere a recta R em ℝ^{3} definida pelas equações \{ \begin{matrix}y − z = 0 \\ x − z = 2 \end{matrix} e os planos P_{1} e P_{2} de

equações cartesianas x + y − z = 0 e x − y − 5 = 0, respectivamente. Determine:

(a) Equações paramétricas da recta paralela a R e que passa pelo ponto (1, 2, 3). Qual é a distância entre estas duas rectas?

(b) Uma equação vectorial da recta que passa por (1, 0, 1) e é paralela aos planos P_{1} e P_{2}.

(c) Uma equação cartesiana do plano ortogonal ao plano P_{1} e que contém a recta R.

9. Considere as rectas R_{1} e R_{2} em ℝ^{3} de equações \{ \begin{matrix}x = 1 + t \\ y = 2 \\ z = 3 − 2t \end{matrix} , t ∈ ℝ e \{ \begin{matrix}x − y = 0 \\ y + z = 3 \end{matrix} ,

respectivamente, e o plano P de equação x + y + 2z = 2.

(a) Determine a posição relativa de R_{1} e R_{2}.

(b) Determine uma equação cartesiana do plano que contém R_{1} e R_{2}.

(c) Calcule a distância entre R_{2} e P.

10. Considere a recta R_{α} em ℝ^{3} definida pelas equações \{ \begin{matrix}x + (α + 1)y = 0 \\ −x + y + z = 1 \end{matrix} onde α é um parâmetro real.

(a) Escreva uma equação vectorial de R_{α}.

(b) Determine α de forma que:

i. R_{α} seja perpendicular ao plano de equação 2y + 2z = 1.

ii. R_{α} seja paralela ao plano de equação x−2y +2z = 1, e nesse caso calcule a distância de R_{α} a este plano.

Estes exercícios foram retirados da Folha 16 da disciplina de ALGA 1 (Licenciatura em Matemática do DM da FCTUC).