Complementos de Álgebra Linear e Geometria Analítica

Ano Lectivo 2003/04 — Teste 10 — 05/05/2004 — 15 minutos de duração Licenciatura em Tecnologias de Informação Visual

Escreva as respostas nesta folha, utilizando para o efeito, quando necessário, o verso da mesma. Não é permitido qualquer tipo de consulta. Justifique brevemente as suas respostas. Nome: Número:

1. Considere a seguinte matriz

A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & −1 \\ −1 & −2 & 5 \end{matrix} ) .

Calcule uma matriz ortogonal H, 3-por-3 e com elementos reais, tal que os elementos nas posições 2, 1 e 3, 1 de HA sejam nulos.

2. Seja Q uma matriz unitária em M_{n_{2}×n_{2}}(ℂ). Mostre que também é unitária a matriz

( \begin{matrix}I & 0 \\ 0 & Q \end{matrix} )

com I a matriz identidade de M_{n_{1}×n_{1}}(ℂ) (e n_{1} e n_{2} números inteiros positivos).

3. Prove que se P é um projector ortogonal então I − 2P é unitária.