Complementos de Álgebra Linear e Geometria Analítica

Ano Lectivo 2003/04 — Teste 9 — 30/04/2004 — 15 minutos de duração

Licenciatura em Tecnologias de Informação Visual

Escreva as respostas nesta folha, utilizando para o efeito, quando necessário, o verso da mesma. Não é permitido qualquer tipo de consulta. Justifique brevemente as suas respostas.

Nome: Número:

1. Considere os vectores

v_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) e v_{2} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) .

(a) Determine uma base ortonormada para o subespaço gerado por v_{1} e v_{2} através do processo de ortogonalização de Gram-Schmidt.

(b) Seja A a matriz 4-por-2 cujas colunas são v_{1} e v_{2}. Com base na alínea anterior escreva a decomposição QR da matriz A.

(c) Calcule I − QQ^{∗} (em que Q é a matriz obtida na alínea anterior).

(d) Mostre que I − QQ^{∗} é um projector ortogonal (se não resolveu a alínea anterior pode assumir que a matriz Q é n-por-k com colunas ortonormadas).

(e) Sobre que subespaço é que a matriz I − QQ^{∗} projecta ortogonalmente? (Pode também resolver esta questão em termos abstractos.)