Cálculo Infinitesimal II — Exame – 14/06/00 Licenciatura em Engenharia Informática

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DA UNIVERSIDADE COIMBRA

Duração: 2h 30m ATENÇÃO: Justifique todas as suas respostas.

1. (a) Descreva o gráfico da função f(x) = x^{2} + 2 através de uma curva em coorde-

nadas paramétricas e faça-o de duas formas diferentes.

(b) Qual é a curva cujo comprimento é calculado através de

∫_{0}^{2} \sqrt{1 + 4t^{2}} dt ?

2. Considere a função f(x) = e^{e^{x}}.

(a) Calcule a fórmula de Taylor de grau 2 em torno do ponto 0 com resto de Lagrange.

(b) Seja x = 0 e considere, agora, a função g(x) = e^{e^{x}} − e − e x − e x^{2}. Diga que

tipo de ponto se trata: minimizante, maximizante ou ponto de inflexão.

3. Determine a natureza das seguintes séries numéricas:

(a)

∑_{n=1}^{+∞} \frac{e^{n−1}}{2(n + 1)!}.

(b)

∑_{n=3}^{+∞} cos(πn)\frac{ln n}{n}.

(c)

∑_{n=3}^{+∞} \frac{ln n}{n}.

(d) Deduza, a partir das alíneas b e c, o raio de convergência da série de potências

g(x) = ∑_{n=3}^{+∞} cos(πn)\frac{ln n}{n}x^{n}.

(e) Determine g^{(40)}(0). v.s.f.f.

4. Considere a sucessão de funções {f_{n}(x)} definida por:

\begin{aligned}f_{n} : & [0, 1] & → & IR \\ & x & ↦ & nx(1 − x)^{n} . \end{aligned}

(a) Determine o limite pontual de {f_{n}(x)}.

(b) Averigúe se a convergência é uniforme.

5. Desenvolva em série de potências de x a função

f(x) = ln (\frac{1 + x}{1 − x}) ,

indicando o intervalo de convergência.

Sugestão: \frac{1}{1−y} = 1 + y + y^{2} + y^{3} + ⋯ se |y| < 1 e f′(x) = \frac{2}{1−x^{2}} .

6. Considere a seguinte função real de duas variáveis reais:

f(x, y) = e^{x−ln y} .

(a) Indique o domínio da função e o seu interior.

(b) Indique o contradomínio da função e a sua fronteira.

(c) Qual é o domínio de continuidade da função? Em que factos é que se baseia a sua resposta.

(d) Calcule o gradiente e a Hessiana da função.

7. Calcule

∫_{0}^{5} ∫_{0}^{e^{y}} x dx dy .

e descreva geometricamente a região de integração.