Cálculo Infinitesimal II — Exame – 28/06/99 Licenciatura em Engenharia Informática

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DA UNIVERSIDADE COIMBRA

Duração: 2h 30m ATENÇÃO: Justifique todas as suas respostas.

1. Considere a função f(x) = \sqrt{x}.

(a) Determine o polinómio de Taylor de ordem 2 em torno do ponto 1, ou seja P_{2}(x; 1), bem como o correspondente resto R_{2}(x; 1) na forma de Lagrange.

(b) Calcule P_{2}(1.21; 1). Qual é o valor de R_{2}(1.21; 1)?

2. (a) Mostre que a série

∑_{n=2}^{+∞} \frac{(−1)^{n}}{n log n}

é convergente.

(b) Usando o critério do integral, prove que a série

∑_{n=2}^{+∞} \frac{1}{n log n}

é divergente.

(c) Deduza das alíneas anteriores o raio de convergência da série de potências

∑_{n=2}^{+∞} \frac{1}{n log n}x^{n} .

3. Considere a sucessão de funções {f_{n}(x)} definida por:

\begin{aligned}f_{n} : & [0, \frac{π}{2} ] & → & IR \\ & x & ↦ & (sen x)^{n} . \end{aligned}

(a) Determine o limite pontual de {f_{n}(x)}.

(b) Averigue se a convergência é uniforme em [0, \frac{π}{2} ].

(c) Mostre que {f_{n}(x)} é uniformemente convergente em [0, b], para qualquer b ∈

(0, \frac{π}{2} ).

v.s.f.f.

4. Considere a função

\begin{aligned}f : & [0, π] & → & IR \\ & x & ↦ & x . \end{aligned}

(a) Determine a série dos senos de f.

(b) Usando a alínea anterior em x = π/2, mostre que

\frac{π}{4} = 1 − \frac{1}{3} + \frac{1}{5} − \frac{1}{7} + ⋯

5. Considere a seguinte função real de duas variáveis reais:

f(x, y) = \frac{x^{2}y}{x^{2} + y^{2}} .

(a) Qual é o domínio de f?

(b) Mostre, recorrendo à desigualdade x^{2} ≤ x^{2} + y^{2}, que

|f(x, y) − 0| ≤ \sqrt{x^{2} + y^{2}} .

(c) Com base no resultado da alínea anterior determine lim_{(x,y)→(0,0)} f(x, y). Em que pontos do seu domínio é que a função f é contínua?

(d) Calcule o gradiente de f em (x, y) ≠ (0, 0).

6. Considere o integral duplo

∫_{0}^{2} ∫ 1_{\frac{y(2−y)}{2}} 1 dx dy .

(a) Determine o seu valor.

(b) Indique analítica e geometricamente a região do plano R sobre o qual se está a integrar a função constante f(x, y) = 1.

(c) Indique analítica e geometricamente o interior e a fronteira da região R.