Cálculo Infinitesimal II — Exame – 16/09/99 Licenciatura em Engenharia Informática

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DA UNIVERSIDADE COIMBRA

Duração: 2h 30m ATENÇÃO: Justifique todas as suas respostas.

1. (a) Escreva a série de Taylor de ln(1 + t) em torno de t = 0. Em que intervalo é

que essa expressão é válida?

(b) Seja t = (x − 2)/2. Mostre que ln x = ln 2 + ln(1 + t) .

(c) Com base na alínea anterior determine a série de Taylor de ln x em potências

de x − 2. Em que intervalo é que essa expressão é válida?

2. (a) Considere a sucessão {a_{n}} definida por

\begin{matrix}a_{0} = b , \\ a_{n} = \frac{1}{n} − ∑_{k=0}^{n−1} a_{k}, n ∈ IN . \end{matrix}

Determine a natureza da série ∑_{n=0}^{+∞} a_{n}.

(b) Determine a natureza da série numérica ∑_{n=1}^{+∞} \frac{1}{n^{2} + n}.

Sugestão: Decomponha a fracção \frac{1}{n^{2} + n} numa soma da forma \frac{a}{n} + \frac{b}{n + 1}.

3. Considere a sucessão de funções

\begin{aligned}f_{n} : & [0, 2] & → & IR \\ & x & ↦ & \frac{1 + nx + n^{2}x^{2}}{1 + n^{2}x} . \end{aligned}

(a) Determine o limite pontual de {f_{n}(x)}.

(b) Averigue se a convergência é uniforme em IR. v.s.f.f.

4. Considere a série de potências

∑_{n=0}^{+∞}(n + 1)x^{n}.

(a) Determine o seu raio de convergência e mostre que a série define uma função contínua f : (−1, 1) → IR.

(b) Desenvolva em série de potências de x a função F : (−1, 1) → IR dada por

F (x) = ∫_{0}^{x} f(t)dt .

(c) Usando a alínea anterior, determine, para cada x ∈ (−1, 1), a soma da série

que define f(x).

5. Considere a seguinte função vectorial de duas variáveis reais:

G(x, y) = ( \frac{sen(x−y)}{cos(x+y)} ; \sqrt{1 − x^{2} − y^{2}} ; xy ) .

(a) Qual é o domínio de G? E o conjunto de chegada?

(b) Calcule lim_{(x,y)→(0,0)} G(x, y).

(c) Calcule a matriz Jacobiana de G num ponto (x, y) do seu domínio.

6. Considere o conjunto

R = \{(x, y) ∈ IR^{2} : x ≥ 0 , x ≤ \frac{y(2 − y)}{2}\} .

(a) Indique analítica e geometricamente a fronteira e o derivado de R.

(b) Calcule ∫ ∫_{R} 1 dx dy.

(c) Esboce um sólido cujo volume foi calculado na alínea anterior.