Cálculo Infinitesimal II — Teste Diagnóstico – 1999/00

Licenciatura em Engenharia Informática

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DA UNIVERSIDADE COIMBRA

\underline{ATENÇÃO:}

• Justifique todas as suas respostas.

• Resolva o teste individualmente e sem consulta, em menos de 2h 15m.

• A resolução e a cotação do teste serão entregues na aula prática de 2 de Maio (e disponibilizadas na página da disciplina a partir do dia 26 de Abril).

• Os testes deverão ser entregues, já \underline{corrigidos} pelos próprios, na aula teórica do dia 3 de Maio.

1. Considere a curva em coordenadas polares (conhecida por espiral de Arquimedes) definida pela equação

ρ = \frac{1}{5}θ .

(a) O ponto representado pelas coordenadas polares (ρ, θ) = (\frac{π}{2}, \frac{9π}{2}) pertence a esta curva?

(b) Estude a simetria da curva em relação à origem e aos eixos coordenados.

(c) Trace geometricamente a curva de θ = 0 até θ = 2π.

2. Considere f(x) = log(1 + x), x > −1.

(a) Determine a fórmula de Taylor de grau 1 e de grau 2 com resto de Lagrange da função f no ponto a = 0.

(b) Com base na alínea anterior, prove que, para x ≥ 0, são válidas as desigual-

dades

x − \frac{x^{2}}{2} ≤ log(1 + x) ≤ x.

(c) Utilizando uma das desigualdades da alínea anterior, estude a natureza da série

numérica ∑_{n=1}^{+∞} \frac{log(1 + n)}{n^{3}}.

v.s.f.f.

3. (a) Considere a sucessão {a_{n}} definida por

\begin{matrix}a_{0} = b , \\ a_{n} = \frac{1}{n} − ∑_{k=0}^{n−1} a_{k}, n ∈ IN . \end{matrix}

Determine a natureza da série ∑_{n=0}^{+∞} a_{n}.

(b) Determine a natureza da série numérica ∑_{n=1}^{+∞} \frac{1}{n^{2} + n}.

4. (a) Mostre que a série

∑_{n=2}^{+∞} \frac{(−1)^{n}}{n log n}

é convergente.

(b) Usando o critério do integral, prove que a série

∑_{n=2}^{+∞} \frac{1}{n log n}

é divergente.

(c) Deduza das alíneas anteriores o raio de convergência da série de potências

∑_{n=2}^{+∞} \frac{1}{n log n}x^{n} .

5. Considere a sucessão de funções {f_{n}(x)} definida por:

\begin{aligned}f_{n} : & [0, \frac{π}{2} ] & → & IR \\ & x & ↦ & (sen x)^{n} . \end{aligned}

(a) Determine o limite pontual de {f_{n}(x)}.

(b) Averigue se a convergência é uniforme em [0, \frac{π}{2} ].

(c) Mostre que {f_{n}(x)} é uniformemente convergente em [0, b], para qualquer b ∈

(0, \frac{π}{2} ).