Matemática Numérica II

Ano Lectivo 2005/06

Trabalho 3

Data de recepção: 17/10/2005; Data de entrega: 02/11/2005 (na aula teórica)

1. Considere uma expansão em h dada por

A(h) = α_{0} + α_{1}h + α_{2}h^{2} + R_{3}(h),

em que α_{0}, α_{1}, α_{2} ∈ ℝ e |R_{3}(h)| ≤ Ch^{3} (com C > 0 independente de h). O propósito deste exercício é motivar a técnica de extrapolação de Richardson (que também pode ser utilizada em integração numérica).

(a) Qual é a ordem com que A(h) aproxima α_{0}?

(b) Mostre, especificando α_{0}, α_{1}, α_{2} e R_{3}(h), que pode descrever, desta forma, a fórmula de Taylor de ordem 2 com resto de Lagrange, para uma função f em torno de um dado ponto x_{0}.

(c) Multiplique a expansão dada em cima por δ ∈ (0, 1). Substitua, também na expansão original, h por δh. Substraia as duas igualdades assim obtidas membro a membro. Conclua que obteve uma nova aproximação para α_{0} da forma

B(h) = \frac{A(δh) − δA(h)}{1 − δ}.

(d) Qual é a ordem com que B(h) aproxima α_{0}?

2. Copie, da página da disciplina para a sua área de trabalho, as m-files disponíveis para integração numérica de uma função real de duas variáveis reais.

(a) Explique, detalhadamente, as instruções da função integrar_2D, identificando as fórmulas de quadratura e a forma como estão a ser aplicadas.

(b) Implemente uma nova versão de integrar_2D “trocando” as fórmulas de quadratura.

(c) Teste ambas as versões para os exemplos incluídos em funcao.m.

3. Com este exercício pretende-se demonstrar a expressão dada para o erro na fórmula de Simpson. Seja w_{2}(x) = (x − a)(x − (a + b)/2)(x − b).

(a) Mostre que w_{2}(x) muda de sinal em [a, b]. Conclua que não se pode aplicar ao erro

E_{2}(f) = ∫_{a}^{b} f[a, (a + b)/2, b, x]w_{2}(x) dx

o teorema do valor médio integral que se aplicou no caso da fórmula trapezoidal.

(b) Mostre que ∫_{a}^{b} w_{2}(x) = 0. Utilizando este facto e

f[a, (a + b)/2, b, x] = f[a, (a + b)/2, b, x_{3}] + f[a, (a + b)/2, b, x_{3}, x](x − x_{3}),

conclua que

E_{2}(f) = ∫_{a}^{b} f[a, (a + b)/2, b, x_{3}, x]w_{3}(x) dx,

com w_{3}(x) = w_{2}(x)(x − x_{3}).

(c) Faça, agora, x_{3} = x_{1} = (a + b)/2. Mostre que w_{3}(x) assim definido não muda de sinal em [a, b]. Termine a demonstração aplicando o teorema do valor médio integral.