Matemática Numérica II

Ano Lectivo 2005/06

Trabalho 4

Data de recepção: 07/11/2005; Data de entrega: 21/11/2005 (na aula teórica)

1. Considere uma fórmula de quadratura interpolatória, para aproximação do integral I(f) = ∫_{−1}^{1} f(x) dx, da forma

I_{1}(f) = α_{0}f(x_{0}) + α_{1}f(\sqrt{3}/3).

(a) Para que valores de α_{0}, α_{1} e x_{0} atinge esta fórmula o seu grau de exactidão máximo?

(b) Considere α_{1} = 0. Para que valores de α_{0} e x_{0} atinge a fórmula I_{0}(f) = α_{0}f(x_{0}) o seu grau de exactidão máximo?

(c) Classifique as fórmulas que encontrou nas duas alíneas anteriores.

2. Considere as seguintes instruções em Matlab:

x     = (-128:128)'/128;
A     = [x.^0 x.^1 x.^2 x.^3];
[Q,R] = qr(A,0);
scale = Q(257,:);
Q     = Q*diag(1 ./scale);
plot(Q)

(a) Execute este conjunto de instruções e explique, linha-a-linha, o seu significado.

(b) Na mesma figura e nos mesmos 257 pontos do eixo das abcissas, trace os primeiros quatro polinómios de Legendre, L_{0}(x) = 1, L_{1}(x) = x, L_{2}(x) = \frac{3}{2}x^{2} − \frac{1}{2} e L_{3}(x) = \frac{5}{2}x^{3} − \frac{3}{2}x.

(c) Explique, matematicamente, a sobreposição (a menos de erros numéricos) dos gráficos ocorrida da alínea (a) para a alínea (b).

3. Prove as seguintes propriedades sobre os polinómios de Chebyshev:

(a) T_{0}(x) = 1, T_{1}(x) = x, T_{k+1}(x) = 2xT_{k}(x) − T_{k−1}(x), k ≥ 1. (Use as fórmulas aditivas das funções trigonométricas.)

(b) ∥T_{k}(x)∥_{∞} = 1, k ≥ 0.

4. Considere a função f(x) = e^{iℓx}, com ℓ ∈ ℕ e o espaço vectorial com produto interno L^{2}[0, 1] dado na aula sobre aproximação trigonométrica. Suponha que ℓ ≤ n.

(a) Mostre que f está em L^{2}[0, 1].

(b) Calcule, sem efectuar quaisquer cálculos, a projecção ortogonal de f sobre o subespaço gerado pelos polinómios de Fourier ϕ_{k}(x), k = 0, ±1, ±2, …, ±n. Quanto vale o coeficiente de Fourier contínuo f̂_{ℓ}?

(c) Quanto vale o coeficiente de Fourier discreto f̃_{ℓ} (com N = 2n + 1)?