Programação Não Linear

Ano Lectivo 2001/02

Trabalho 5: Teoria da optimização não linear com restrições

Data de recepção: 10/05/2002; Data de entrega: 24/05/2002

Define-se “cone polar” de um cone C ⊂ IR^{n} da seguinte forma:

C^{∘} = {d ∈ IR^{n} : d^{⊤}w ≤ 0 , para todo o w ∈ C} .

1. Mostre que o “cone polar” de um cone C é, de facto, um cone, e que, para além disso, é um cone convexo e fechado.

2. Considere o Lema de Farkas no caso em que E = ∅. Mostre que este resultado pode ser escrito na forma C = C^{∘∘}, em que C é um determinado cone fechado e convexo.

3. Leia a secção 12.6 e a parte do Apêndice A sobre geometria de conjuntos admissíveis. Seja Ω um subconjunto fechado de IR^{n}, x^{∗} ∈ Ω e T_{Ω}(x^{∗}) o cone tangente a Ω em x^{∗}. Seja N_{Ω}(x^{∗}) o cone normal a Ω em x^{∗}.

(a) Apresente um exemplo (especificando Ω e x^{∗}) que ilustre a convexidade do cone normal numa situação em que o cone tangente é não convexo.

(b) Através do exemplo apresentado na alínea anterior, sugira uma função objectivo para a qual x^{∗} não seja minimizante local e outra para a qual x^{∗} satisfaça as condições necessárias de primeira ordem.

Em caso de omissão utilizam-se as convenções e notações do Livro J. Nocedal e S. J. Wright, Numerical Optimization, Springer, 1999.