Programação Não Linear

Ano Lectivo 2003/04

Trabalho 5: Teoria da optimização não linear com restrições

Data de recepção: 20/04/2004; Data de entrega: 04/05/2004

1. Considere o seguinte problema de regiões de confiança:

min f + g^{⊤}s + \frac{1}{2}s^{⊤}Bs s.a. ∥s∥_{2} ≤ Δ_{1} e ∥s − a∥_{2} ≤ Δ_{2} ,

em que g e a são vectores de IR^{n}, B é uma matriz simétrica n × n, f é um real e Δ_{1} e Δ_{2} são reais positivos (n ∈ IN). Assuma que ∥a∥_{2} ≤ Δ_{1}. Mostre que um minimizante local s deste problema para o qual ∥s∥_{2} < Δ_{1} satisfaz

(B + λ_{2}I) s = −g + λ_{2}a

em que λ_{2} é um real não negativo.

2. Considere um problema de programação não linear com |I| restrições de desigualdade

min f(x) s.a c_{i}(x) ≥ 0, i ∈ I ,

em que todas as funções envolvidas são continuamente diferenciáveis de IR^{n} para IR. Considere uma sucessão de pontos {x_{k}} em IR^{n}, a convergir para um ponto admissível x^{∗}, em que x_{k} satisfaz

∇f(x_{k}) − ∑_{i∈A(x_{k})} λ_{i}^{k}∇c_{i}(x_{k}) = 0, λ_{i}^{k} ≥ 0, i ∈ A(x_{k}), λ_{i}^{k} = 0, i ∉ A(x_{k}) ,

para um dado λ^{k} ∈ IR^{|I|}.

(a) Mostre que quando o conjunto {∇c_{i}(x^{∗}), i ∈ A(x^{∗})} é linearmente independente, ou seja, que quando a qualificação de restrições LICQ é satisfeita, o ponto x^{∗} satisfaz as condições necessárias de primeira ordem.

(b) O que poderá dizer sobre x^{∗} quando apenas se sabe ser verdadeira a qualificação de restrições de Mangasarian–Fromovitz (MFCQ)?

Em caso de omissão utilizam-se as convenções e notações do Livro J. Nocedal e S. J. Wright, Numerical Optimization, Springer, 1999.