Programação Não Linear

Ano Lectivo 1999/00

Exercício incluído no terceiro trabalho

Seja ∥ · ∥ uma norma matricial em IR^{n×n} consistente (ou seja que verifica ∥AB∥ ≤ ∥A∥∥B∥ quaisquer que sejam as matrizes A, B ∈ IR^{n×n}) e tal que ∥I∥ = 1.

Seja ainda ∥ · ∥ uma norma vectorial em IR^{n} consistente com esta norma matricial (ou seja tal que ∥Ax∥ ≤ ∥A∥∥x∥ quaisquer que sejam A ∈ IR^{n×n} e x ∈ IR^{n}).

1. Seja E ∈ IR^{n×n}. Prove que se ∥E∥ < 1 então I − E é não singular e

∥(I − E)^{−1}∥ ≤ \frac{1}{1 − ∥E∥}.

Sugestão: Prove primeiro, por contradição, que I − E é não singular. Depois, defina

S_{k} = ∑_{j=0}^{k} E^{j}

e mostre que

S_{k} − (I − E)^{−1} = −(I − E)^{−1}E^{k+1}

e

(I − E)^{−1} = ∑_{k=0}^{+∞} E^{k}.

2. Sejam A, B ∈ IR^{n×n} duas matrizes tais que A é não singular e ∥A^{−1}(B − A)∥ < 1. Demonstre que B é também não singular e

∥B^{−1}∥ ≤ \frac{∥A^{−1}∥}{1 − ∥A^{−1}(B − A)∥}.

Sugestão: Utilize o resultado provado em 1.