\documentclass[11pt]{report}

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\def\real{{\rm I\kern-.17em R}}

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\pagestyle{empty}

\begin{document}

\begin{center}
{\huge {\bf Programa\c c\~ao N\~ao Linear}}
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Ano Lectivo 1999/00
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{\large \underline{Exerc\'{\i}cio inclu\'{\i}do no terceiro trabalho}}
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\end{center}

Seja $\|\cdot\|$ uma norma matricial em $\real^{n \times n}$ consistente
(ou seja que verifica $\|A B \| \leq \|A\| \|B\|$ quaisquer que sejam as matrizes
$A,B \in \real^{n \times n}$) e tal que $\|I\|=1$.

Seja ainda $\|\cdot\|$ uma norma vectorial em $\real^n$ consistente com esta
norma matricial (ou seja tal que $\|A x \| \leq \|A\| \|x\|$ quaisquer que sejam 
$A\in \real^{n \times n}$ e $x \in \real^n$).

\begin{enumerate}

\item Seja $E \in \real^{n \times n}$. 
Prove que se $\| E \| < 1$ ent\~ao $I-E$ \'e n\~ao singular e 
\[
\| (I-E)^{-1} \| \leq \frac{1}{1 - \| E \|}.
\]
\\
{\bf Sugest\~ao}:
Prove primeiro, por contradi\c c\~ao, que $I-E$ \'e n\~ao singular.
Depois, defina
\[
S_k = \sum_{j=0}^k E^j
\]
e mostre que
\[
S_k - (I-E)^{-1} = - (I - E)^{-1} E^{k+1}
\]
e 
\[
(I-E)^{-1} = \sum_{k=0}^{+ \infty} E^k.
\]

\item Sejam $A,B \in \real^{n \times n}$ duas matrizes tais que $A$ \'e n\~ao singular e 
$\| A^{-1} ( B - A ) \| < 1$.
Demonstre que $B$ \'e tamb\'em n\~ao singular e
\[
\| B^{-1} \| \leq \frac{\| A^{-1} \|}{1 - \| A^{-1} ( B - A ) \|}.
\]
\\
{\bf Sugest\~ao}: Utilize o resultado provado em 1.

\end{enumerate}

\end{document}
