Programação Não Linear

Ano Lectivo 1999/00

Exercício incluído no quinto trabalho

Seja x^{∗} ∈ N, em que N ⊂ IR^{n} é um conjunto aberto, um ponto a satisfazer as condições suficientes de segunda ordem.

Seja f : N ⟶ R uma função duas vezes continuamente diferenciável em N e tal que ∇^{2}f é contínua à Lipschitz em N com constante L > 0.

Seja {x_{k}} uma sucessão em IR^{n} gerada por x_{k+1} = x_{k} + p_{k} em que p_{k} satisfaz:

r_{k} = ∇^{2}f(x_{k})p_{k} + ∇f(x_{k}) ∥r_{k}∥ ≤ η_{k}∥∇f(x_{k})∥.

A sucessão forçante {η_{k}} satisfaz η_{k} ∈ [0, 1[.

Prove o seguinte resultado:

Teorema 6.1 Nestas condições, se x_{0} está suficientemente próximo de x^{∗} e η_{k} ≤ η ∈ [0, 1[ para todo o k,

então {x_{k}} converge para x^{∗} q-linearmente.

Demonstre um (e um só) dos seguintes resultados:

Teorema 6.2 Nestas condições, se x_{0} está suficientemente próximo de x^{∗} e {η_{k}} tende para zero, então

{x_{k}} converge para x^{∗} q-superlinearmente.

Nestas condições, se x_{0} está suficientemente próximo de x^{∗} e η_{k} = O(∥∇f(x_{k})∥), então {x_{k}} converge para x^{∗} q-quadraticamente.

ATENÇÃO: As demonstrações deverão seguir o esquema da demonstração do Teorema 3.7 feita na aula.