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\def\real{{\rm I\kern-.17em R}}

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\pagestyle{empty}

\begin{document}

\begin{center}
{\huge {\bf Programa\c c\~ao N\~ao Linear}}
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Ano Lectivo 1999/00
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{\large \underline{Exerc\'{\i}cio inclu\'{\i}do no quinto trabalho}}
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\end{center}

Seja $x^* \in N$, em que $N \subset \real^n$ \'e um conjunto aberto, um ponto a 
satisfazer as condi\c c\~oes suficientes de segunda ordem.

Seja $f:N \longrightarrow R$ uma fun\c c\~ao duas vezes continuamente diferenci\'avel
em $N$ e tal que $\nabla^2 f$ \'e cont\'{\i}nua \`a Lipschitz em $N$ com constante
$L > 0$.

Seja $\{x_k\}$ uma sucess\~ao em $\real^n$ gerada por $x_{k+1}=x_k+p_k$
em que $p_k$ satisfaz:
\[
r_k = \nabla^2 f(x_k) p_k + \nabla f(x_k) \qquad \| r_k \| \leq \eta_k \|\nabla f(x_k)\|.
\]
A sucess\~ao for\c cante $\{\eta_k\}$ satisfaz $\eta_k \in [0,1[$.
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Prove o seguinte resultado:
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{\bf Teorema 6.1}

Nestas condi\c c\~oes, se $x_0$ est\'a suficientemente pr\'oximo de
$x^*$ e $\eta_k \leq \eta \in [0,1[$ para todo o $k$, ent\~ao
$\{x_k\}$ converge para $x^*$ q-linearmente.
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Demonstre um (e um s\'o) dos seguintes resultados:
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{\bf Teorema 6.2}

Nestas condi\c c\~oes, se $x_0$ est\'a suficientemente pr\'oximo de
$x^*$ e $\{\eta_k\}$ tende para zero, ent\~ao
$\{x_k\}$ converge para $x^*$ q-superlinearmente.

Nestas condi\c c\~oes, se $x_0$ est\'a suficientemente pr\'oximo de
$x^*$ e $\eta_k = {\cal O}(\|\nabla f(x_k)\|)$, ent\~ao
$\{x_k\}$ converge para $x^*$ q-quadraticamente.
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{\bf ATEN\c C\~AO:} As demonstra\c c\~oes dever\~ao seguir o esquema da demonstra\c c\~ao do 
Teorema 3.7 feita na aula. 

\end{document}
