Programação Não Linear

Ano Lectivo 1999/00

Exercícios incluído no oitavo trabalho

1. Seja x^{∗} um ponto admissível de um dado problema de programação não linear. Mostre que se as funções c_{i}, i ∈ A(x^{∗}), forem afim então F = F_{1} (considerando em F_{1} apenas vectores unitários).

2. Seja x^{∗} um ponto que verifica as condições necessárias de primeira ordem para um dado problema de programação não linear com multiplicadores de Lagrange λ^{∗}. Prove que se

d^{T} ∇_{xx}^{2}L(x, λ^{∗})d ≥ 0

para todos os x e d ∈ IR^{n}, então x^{∗} é um minimizante global.

3. Utilizando o resultado do exercício anterior resolva os problemas

(a)

minimizar ∥x∥_{2}^{2}
sujeito a Ax = b ,

em que b ∈ IR^{m} e a matriz A ∈ IR^{m×n} tem característica m (com m < n).

(b)

minimizar 3x_{1}^{2} + 2x_{2}^{2}
sujeito a 25 − x_{1}^{2} − x_{2} ≥ 0 ,
−27 + 9x_{1} − x_{2}^{2} ≥ 0 .

ATENÇÃO: Considere a notação e o enquadramento do Capítulo 12 para problemas de programação não linear com restrições de igualdade e de desigualdade.