FHI, A RAZÃO DA NOSSA PROPORÇÃO
SER DIVINA!
Semíramis
Coelho da Silva Guabiraba, Universidade
Luterana
do Brasil, sra.guabiraba@gmail.com
Malcus
Cassiano Kuhn Universidade
Luterana
do Brasil, malcusck@yahoo.com.br
Introdução
“É
impossível explicar honestamente as belezas contidas nas leis da natureza, de
uma forma que as pessoas possam sentí-las, sem que elas tenham uma boa
compreensão da Matemática”. (RICHARD
FEYNMAN)
Certas formas
capturam nosso olhar e mexem com nossos sentidos, bem mais do que outras e,
mesmo que não saibamos a princípio o que as diferenciam umas das outras, temos
uma sensação de harmonia, encantamento e perfeição. Quando examinamos
profundamente o padrão de uma flor, uma concha ou o balanço de um pêndulo,
descobrimos uma ordenação incrível, que desperta em nós o maravilhoso que
experimentávamos quando crianças. Algo infinitamente maior do que nós se revela,
e percebemos que o ilimitado emerge dos limites, dos padrões bem definidos.
Algumas das
referências mais antigas aos prazeres que essas formas causam aos nossos
sentidos, e sua ligação com a Matemática estão ligadas ao nome do filósofo
grego Pitágoras (569 –
Quando você acha
algo muito bonito ou entra num lugar que transmite uma inexplicável sensação de
harmonia, saiba que isso acontece por causa de determinadas formas que obedecem
a uma regra geométrica especial, chamada de proporção áurea. Uma flor, uma
construção, as ondas do mar ou a disposição das sementes no interior de uma
maçã: a Matemática está presente em tudo que é belo.
O Número de Ouro
Também chamado de razão áurea, razão de ouro, divina proporção, proporção em extrema razão, divisão de extrema razão, o número de ouro é encontrado a partir da razão entre a medida de um segmento AB e as medidas de suas partes AC e CB.
Relativamente a esta divisão, o matemático
alemão Zeizing formulou, em 1855, o seguinte princípio: "Para que um
todo dividido em duas partes desiguais pareça belo do ponto de vista da forma,
deve apresentar a parte menor e a maior a mesma relação que entre esta e o
todo."
O número de
ouro É representado pela letra grega Φ (fhi maiúsculo) em homenagem
ao matemático grego Fídias e seu
valor aproximado é 1,618.
1 Contexto Histórico
“A geometria possui dois grandes tesouros: um é o
teorema de Pitágoras; o outro, a divisão de uma linha em extrema e média razão.
O primeiro, podemos comparar a uma medida do áureo; ao segundo, podemos chamar
de jóia preciosa.” (KEPLER, 1571 – 1630)
A escola grega de
Pitágoras estudou e observou muitas relações e modelos numéricos que apareciam
na natureza, beleza, estética, harmonia musical e outros, mas provavelmente a
mais importante é a razão áurea, razão divina ou proporção divina.
Um outro fato
familiar à escola de Pitágoras era que há cinco, e somente cinco sólidos
convexos regulares que podem cada um, ser circunscritos por uma esfera: o
tetraedro, o cubo, o octaedro, o icosaedro e o dodecaedro.
Um gosto pelos
mistérios levou os gregos antigos a atribuir um significado especial ao último
deles: suas doze facetas regulares correspondiam aos doze signos do zodíaco.
Era um símbolo do Universo. Mais que isso, cada face pentagonal, associada à
divisão áurea, era de um interesse especial para os pitagóricos. O ponto P de
duas diagonais divide cada uma delas na proporção áurea (Figura 1). P divide AQ
e AB internamente e QB externamente nessa proporção. Um outro fato do
conhecimento desses antigos geômetras era que a razão do raio do circuncírculo
de um decágono regular para um dos lados é a razão áurea.
No
final do séc XII o matemático Fibonacci, provou através de uma fórmula numérica
que de um retângulo que possuía seus lados proporcionais em extrema e média
razão, chamado de retângulo perfeito, derivam uma infinidade de quadrados e
retângulos todos com as mesmas proporções do primeiro que, em projeções
harmoniosas, cria-se uma série de espirais que são a essência da vida.
Os arquitetos e
escultores gregos incorporavam esta razão em suas obras. Fídias, o famoso
escultor grego, fazia uso delas. As dimensões do Partenon (Figura 2), em
Atenas, construído no século V a.C., podiam ser encaixadas quase exatamente em
um retângulo áureo quando seu frontão triangular ainda estava intacto.
Figura 2: Partenon
Assim, sugeriu-se, no início do
século XX, que a letra grega Φ – a letra inicial do nome de Fídias – fosse
adotada para designar a razão áurea. A ubiqüidade do Φ (fhi) na matemática
despertou o interesse de muitos matemáticos na Idade Média e durante a Renascença.
Em 1509, foi publicado um tratado de Luca Pacioli, De Divina Proportione,
ilustrado por Leonardo da Vinci. Reproduzido em 1956 em uma vistosa edição, é
um compêndio fascinante da aparição do fhi em várias figuras planas e sólidas.
No Renascimento, demonstrou-se que o corpo humano (Figura 3)
obedece à regra de ouro: o umbigo divide a altura do corpo humano em
dois segmentos que estão na razão de ouro; a altura do seu crânio e a medida da
mandíbula até o alto da cabeça; a medida da cintura até a cabeça e o tamanho do
tórax; a medida do seu ombro à ponta do seu dedo e a medida do seu cotovelo à
ponta do seu dedo; o tamanho dos dedos e a medida da dobra central até a ponta;
a medida da dobra central até a ponta dividido e da segunda dobra até a ponta;
a medida do seu quadril ao chão e a medida do seu joelho ao chão.
Figura 3: Corpo Humano
Há registros
históricos de que um grego mediu as alturas de 65 mulheres e comparou os
resultados com as alturas de seus respectivos umbigos, tendo obtido a média de
1,618.
Da Vinci também usou o número de ouro em suas
obras e se aplicarmos o retângulo na face da Monalisa (Figura 4), veremos que
tem um rosto onde estas proporções são exatas. E se dividirmos o referido
retângulo por uma linha que passe nos olhos, o novo retângulo obtido também é
de ouro e o próprio tamanho do quadro representa a razão de ouro.
Figura 4: Monalisa
2.
Construção do retângulo áureo e da espiral logarítmica
Seja um segmento AB, com medida x, qualquer, trace uma perpendicular em B cuja altura deve ser 0,618 de x, construindo um retângulos áureo como mostra a figura 5.
Figura 5
Determine um ponto E em, tal que = e traçando uma perpendicular teremos um
quadrado e um retângulo, repetindo o processo no retângulo ADEF e, em cada retângulo
que aparece (Figura 6).
Figura 6: Retângulo áureo
Centro em E, faz-se o arco BF. Com raio DF determina-se G em AD e
H em EF.Com raio HF e centro em H, traça-se o arco GF (Figura 7).
Figura 7
Repetindo sucessivamente o procedimento acima, determina-se a Espiral Logarítmica também chamada Espiral Equiangular (Figura 8).
Figura 8: Espiral Logarítmica ou Equiangular
3. Cálculo Algébrico do
Número de Ouro
O problema de determinar a divisão
áurea de uma reta está solucionado
Tomemos um segmento AB de
comprimento 1u, dividido em dois segmentos pelo ponto C (Figura 9). Tomemos a e 1-a
como comprimentos de AC e CB, respectivamente. Se C é um ponto tal que 1 está para a assim como a está para 1-a, C é a secção áurea ou divisão
áurea de AB.
Figura.
09
Na terminologia dos
matemáticos antigos, AB está dividida pelo C em “extrema e média razão”. Kepler
a chamava de “divina proporção”.
Tomemos como base o segmento AB da
figura 02. Sendo a medida (AB) =
O valor algébrico de fhi pode
ser calculado facilmente a partir da relação acima:
Por se tratar de um cálculo envolvendo medida,
desprezaremos a raiz negativa, logo:
a =
Sendo a a medida do segmento maior dizemos que 0,618... é denominado SECÇÃO ÀUREA do segmento AB.Assim,
temos que:
=
O número 0,618... é o inverso do número de ouro.
4 Outras relações associadas ao Número de Ouro
O fhi também está relacionado com qualquer seqüência de inteiros formada de acordo com a lei segundo a qual cada termo é a soma dos dois termos anteriores, quaisquer que sejam os dois primeiros termos: . A razão de termos sucessivos, /, aproxima-se cada vez mais de fi à medida que n aumenta. Podemos tomar, como exemplo aleatório, 5 e 2 como termos iniciais, e , dando a seqüência 5, 2, 7, 9, 16, 25, ..., 280, 453, 733, ..., 13153, 21282, ..., a partir da qual podemos determinar aproximações do fi:
16/9 = 1,7777...
453/280 = 1,6178...
733/453 = 1,6181...
21282/13153 = 1,61803...
Este
processo nos leva cada vez mais próximos do valor de fi, que até a sétima casa
decimal é 1,6180340. Alguns cálculos demonstrarão que as aproximações oscilam,
sendo alternadamente maiores e menores que fi: 453/280 = 1,6178... < Φ,
733/453 = 1,6181... > Φ.
Na ausência de qualquer restrição aos dois termos iniciais da série, podemos começar com os mais simples, o que resulta na série de Fibonacci, assim chamada por Edward Lucas em 1877: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... . Calculando / a partir da seqüência de Fibonacci chegamos mais uma vez a razão áurea, ou seja, / = 102334155/63245986 = 1,61803398...
A
apreciação da arte baseia-se em dois fatores distintos, um hereditário e o
outro que depende de treinamento, um da natureza, outro da educação. O primeiro
é instintivo, baseado no inconsciente racial. O segundo, o fator educativo,
desenvolve-se através do treinamento. A fome é instintiva, mas a preferência
pelo leite materno, que independe de qualquer educação consciente, pode
evoluir, através do treinamento, para uma predileção por chocolate ou queijo.
Tanto na matemática como na música, há certas combinações que exigem somente um
mínimo de educação artística para a sua apreciação como objetos de beleza. Na
matemática, o círculo, a elipse, o quadrado; na música, intervalos musicais
simples – podem estimular alguma resposta emocional com treinamento preliminar
significante.
Certas
mensagens nervosas recebidas pelos centros visuais do cérebro podem despertar
ecos associativos nos centros auditivos. Há três intervalos musicais emocionalmente
potentes que se destacam de todos os demais graças à sua consonância: são o
uníssono, a oitava e a sexta maior. Estes intervalos são esteticamente
agradáveis porque estes pares de notas não produzem vibrações entre os seus
harmônicos. As vibrações são características da dissonância que ofende o ouvido
como desafinação. Correspondentes aos três intervalos musicais agradáveis, há
três retângulos próprios:
Intervalo Musical |
Razões de Freqüências |
Retângulo |
Razão dos segmentos laterais |
Uníssono |
256:256 = 1:1 |
Quadrado |
1:1 |
Oitava |
512:256 = 2:1 |
Quadrado duplo |
2:1 |
Sexta Maior |
512:320 = 8:5 |
Retângulo áureo |
8:5 |
De acordo com a
observação e a experiência, o intervalo musical que maior satisfação
proporciona ao maior número de pessoas é a sexta maior, com razão de freqüência
equivalente a 8:5, aproximadamente. O que corresponde ao prazer que se
experimenta quando se contempla o retângulo áureo, cujos lados adjacentes
acham-se na proporção de Φ:1, que é aproximadamente igual a 8:5.
5 O Número de Ouro em diversas àreas
Da
mesma forma, podemos encontrar as relações áureas na configuração de alguns
animais e plantas, encontrar proporções similares em conchas, nos girassóis e
em vários outros elementos da natureza.
Figura 10: Concha Figura 11: Figura 12:
Girassol Sementes de
maçã
Atualmente
essa proporção ainda é muito usada. Ao padronizar internacionalmente algumas
medidas usadas em nosso dia-a-dia, os projetistas procuraram
"respeitar" a proporção divina. A razão entre o comprimento e a
largura de um cartão de crédito, alguns livros, jornal, uma foto revelada,
entre outros.
Como diz Biembengut, “É dito que onde houver “harmonia” lá
encontraremos o Número de Ouro”. Este número Φ (fhi) é indicado como a máxima expressão da harmonia e
equilíbrio.
Considerações
finais
Observamos a importância da Razão Áurea no
desenvolvimento da humanidade. Seja nas construções, nas observações da
natureza ou na procura pela perfeição e pelo belo, o número Φ (fhi) está
sempre presente. Ainda hoje ele se faz presente nos estudos e desenvolvimentos
de novos produtos, que comumente seguem a Razão Áurea para que sejam
visualmente atrativos.
Pensar matematicamente acerca do mundo que nos rodeia, é ser capaz de ler a natureza e entendê-la através de uma linguagem que nem sempre é imediatamente perceptível, sob a qual, a natureza foi construída ou criada, ou simplesmente escrita.
A experiência de perceber a
beleza da matemática é tão difícil de interpretar, para as pessoas, quanto de
transmiti-la para um aluno. Ela é assimilada, e não ensinada. O estudante pode
apenas ser encorajado a ver o esplêndido da visão por si mesmo. O prazer,
mediado através do intelecto, origina em estratos inferiores da mente a arena
das emoções. Poincaré apud Huntley (1985), escreveu:
“Pode parecer surpreendente que a sensibilidade
deva ser apresentada simultaneamente com as demonstrações matemáticas, as
quais, parece-me, podem interessar somente ao intelecto. Mas não se tivermos em
mente o senso da beleza matemática, da harmonia e das formas e da elegância
geométrica. Ela é uma sensação estética real que todos os matemáticos
verdadeiros reconhecem, e esta é a verdadeira sensibilidade... As combinações
úteis são precisamente as mais belas; refiro-me àquelas que mais podem encantar
aquela sensibilidade especial que todos os matemáticos conhecem mas acerca das
quais os leigos são tão ignorantes que muitas vezes ficam tentados a rir
delas”. (p.140 -141)
A proporção áurea
tem o poder de criar harmonia porque une diferentes partes, de tal forma que
cada uma mantém sua identidade e ao mesmo tempo se integra ao todo. Ela nos
mostra que as limitações não são apenas restritivas, mas também criativas. E
isso não vale só para as formas, mas para tudo nesta vida. Afinal, respeitar e
integrar as diferenças entre as pessoas, por exemplo, cria muita harmonia.
Mais um motivo para
prestar atenção nessa organização maravilhosa que rodeia a todos nós e perceber
a beleza de cada coisa, de cada pessoa, de cada instante.
Referências
AFONSO, Luís. Proporções, medidas de grandeza e unidades-padrão. Disponível em: <http://www.revista-temas.comcontacto/NewFiles/Contacto13.html>
Acesso em em 26 ago. 2006.
BIEMBENGUT, Maria Salett. Número de ouro e secção áurea: Considerações e sugestões para a sala de aula. Blumenau: Ed da FURB, 1996.
HUNTLEY, H. E. A Divina Proporção: um ensaio sobre a beleza na Matemática. Trad. de Luís Carlos Ascêncio Nunes. Brasília: Editora Universidade de Brasília, 1985.
MARILVIA, e Oliveira. Disponível em: < http://www.sophie.org.br/sophie/ponto.asp > acesso em 26 ago.
READ, Herbert. As origens da Forma na Arte. 2.ed. Rio de Janeiro: Zahar editores, 1981.