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Antes de apresentar a resolução propriamente dita, há que fazer uma abordagem ao Teorema de Bolzano, para perceber a resolução do problema.

Teorema de Bolzano ou Teorema do valor intermédio:

Se $f$ é contínua no intervalo $[a,b]$ então para todo $z \in ]f(a),f(b)[$ exite $c \in ]a,b[$ tal que $ f(c)=z$

Notas a considerar:

        I.            O Teorema de Bolzano só pode ser aplicado a funções contínuas no intervalo considerado.

      II.            O Teorema de Bolzano apenas permite concluir a existência de solução, nunca permite concluir que essa solução não exista (há um corolário que permite concluir que não existe).

    III.            Ao serem verificadas as condições do Teorema de Bolzano podemos concluir que existe pelo menos uma solução, podendo essa solução ser única ou não.

Corolário do T. Bolzano (um dos corolários)

·         se $f$ é continua num intervalo (fechado) [a,b] e $f(a)\times f(b)<0$ então $f$ tem pelo menos  um zero em ]a,b[ (intervalo aberto).

Sendo a função $f(x)$ uma função contínua de domínio $[0,+\infty[$, definida por ramos.

Para o estudo da função $f(x)$ deve-se estudar o comportamento nos intervalos propostos, para garantir a aplicação do teorema de Bolzano se verifique, em qual dos intervalos garante a existência de pelo menos um zero da função $f(x)$ definida.

·    Avaliar cada uma das opções propostas e resolver:

(A) ]0,1[

-O estudo da função $f(x)$, neste intervalo, garante a existência de zeros ?

-A função $f(x)$ é continua no intervalo, pois a diferença entre uma exponencial (função continua em $R$), e uma constante.

-Verificando as imagens nos extremos do intervalo:

$f(0)=2^0-9=1-9=-8<0$

$f(1)=2^1-9=2-9=-7<0$

Pelas condições do corolário de Bolzano não se verifica $f(0)\times f(1)<0$, pelo que não se pode concluir acerca da existência de zeros no intervalo $]0,1[$.

Graficamente:   

(B) ]1,4[ 

 -A função $f(x)$ é igualmente contínua.

-Verificando as imagens de $f(x)$:

$f(1)=2^1-9=2-9=-7$

$f(4)=2^4-9=16-9=7$

Pelo Corolário do T. de Bolzano, podemos afirmar que existe $c\in ]1,4[$ tal que $f(c)=0$, pois  $f(1)\times f(4)<0$.

Graficamente:

(C) ]4,6[

Neste caso a função não é contínua no intervalo considerado, pois o limite da função no ponto x=5 não existe.

Não se pode aplicar o Teorema de Bolzano.

Graficamente os dois gráficos da função $f(x)$, observa-se que em $(x=5)$, o gráfico se encontra desfasado.

 (D) ]6,7[

-O estudo da função $f(x)$, neste intervalo, garante a existência de zeros ?

- $f(x)$ é continua no intervalo, pois é a diferença entre duas funções continuas é uma função continua.

- Verificando as imagens nos extremos do intervalo:

f(6)=   1-1^6/6  <0

f(7)=   1-1^7/7   <0

·         A opção correcta será o intervalo $(B)$.