\documentclass[11pt]{article}
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\def\bkQ{\mathbb{Q}}
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\def\bkC{\mathbb{C}}
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 \def\mathrmdef#1{\expandafter\def\csname#1\endcsname{{\rm#1}}}
\mathrmdef{arcsec}\mathrmdef{csch}\mathrmdef{mdc}\mathrmdef{sech}

\def\ds{\displaystyle }
\def\limm{\ds\lim_{n\to\infty} }
\def\limi{\ds\lim_{x\to +\infty} }
\def\lima{\ds\lim_{x\to a} }

\def\eps{\varepsilon }
\def\Rw{\Rightarrow }
\def\Lrw{\Leftrightarrow }

\def\r{\rule{0pt}{1.1em}}

\begin{document}
\centerline{{\large\sf Departamento de Matem\'atica da
Universidade de Coimbra}}

\centerline{\large\sf An\'alise Infinitesimal I}

{\sf Ano lectivo $2003/04$ \hfill Folha $1$}

\vspace*{6mm}

{\large\sf CAP\'ITULO I: Fundamentos}

\begin{enumerate}

\item Qual o valor de verdade de cada uma das seguintes proposi\c
c\~oes?

\begin{tabular}{p{6cm}p{6cm} }
(a) $8$ \'e par ou $6$ \'e \'{\i}mpar.&(b) $8$ \'e par e $6$ \'e
\'{\i}mpar.\\
(c) $8$ \'e \'{\i}mpar e $6$ \'e \'{\i}mpar.& (d) $8$ \'e \'{\i}mpar ou $6$ \'e
\'{\i}mpar.
\end{tabular}

\item Quais das seguintes frases s\~ao a nega\c c\~ao \`a
proposi\c c\~ao apresentada?

\underline{Proposi\c c\~ao 1:} Os pepinos s\~ao verdes e t\^em
sementes.
\begin{enumerate}
\item Os pepinos n\~ao s\~ao verdes e n\~ao t\^em sementes.
\item Os pepinos n\~ao s\~ao verdes ou n\~ao t\^em sementes.
\item Os pepinos s\~ao verdes e n\~ao t\^em sementes.
\end{enumerate}

\underline{Proposi\c c\~ao 2:} Tem-se $2 < 7$ e $3$ \'e \'{\i}mpar.

\begin{tabular}{p{6cm}p{6cm} }
(a) Tem-se $2 > 7$ e $3$ \'e par.& (b) Tem-se $2 \geq 7$ e $3$ \'e
par.\\
(c) Tem-se $2 \geq 7$ ou $3$ \'e \'{\i}mpar.&(d) Tem-se $2 \geq 7$ ou
$3$ \'e par.
\end{tabular}

\item Construa e compare as tabelas de verdade para as seguintes
express\~{o}es:

\begin{tabular}{p{4cm}p{4cm}p{4cm} }
(a) $p\, \vee \sim p$& (b) $p \, \wedge \sim p$& (c) $\sim(p \wedge q)$\\
(d) $\sim p \, \vee \sim q$& (e) $p \wedge (q  \vee r)$ & (f) $(p
\wedge q) \vee (p \wedge r)$
\end{tabular}

\item Qual o valor de verdade de cada uma das seguintes proposi\c
c\~oes?

\begin{tabular}{p{7cm}p{7cm} }
(a) Se $8$ for \'{\i}mpar ent\~ao $6$ \'e \'{\i}mpar.& (b) Se $8$ for par
ent\~ao $6$ \'e \'{\i}mpar.\\
(c) Se $8$ for \'{\i}mpar ent\~ao $6$ \'e par.& (d) Se $8$ for \'{\i}mpar e
$6$ for par ent\~ao $8 < 6$.
\end{tabular}
\item
Escreva as proposi\c c\~oes rec\'{\i}proca, nega\c c\~ao e
contra-rec\'{\i}proca de cada uma das seguintes proposi\c c\~oes:

 (a) $(p \wedge q) \Rightarrow r$ \hfill
 (b) $p \Rightarrow (q \Rightarrow p)$ \hfill
 (c) $(p \Leftrightarrow q) \Rightarrow (p \Rightarrow q)$.


\item
Escreva o rec\'{\i}proco, o contra-rec\'{\i}proco e a nega\c c\~ao das
seguintes frases:

\begin{enumerate}
\item Se chove ent\~{a}o h\'{a} nuvens no c\'{e}u. \item Se 229 \'{e} primo ent\~{a}o
Roma \'{e} a capital de Fran\c{c}a. \item Se 147 \'{e} primo ent\~{a}o Paris \'{e} a
capital de Fran\c{c}a. \item Se a economia melhorar arranjarei um
emprego melhor. \item Se $2<4$ e $5+5=10$ ent\~ao $\sin (\pi
/3)=1/2.$ \item Se acabar o meu trabalho vou andar de bicicleta se
n\~ao chover. \item Se $f$ diferenci\'avel implicar $f$ cont\'{\i}nua
ent\~ao $f$ \'e cont\'{\i}nua.
\end{enumerate}

\item
Escreva cada uma das frases na forma de implica\c c\~ao $p
\Rightarrow q.$
\begin{enumerate}
\item Se tocares nesse bolo apanhas.
\item Toca nesse bolo e arrepender-te-\'as.
\item Sai ou chamo a pol\'{\i}cia.
\item Vou-me embora se n\~ao pararem de falar.
\end{enumerate}

\item
Determine a proposi\c c\~ao contra-rec\'{\i}proca de cada uma das
proposi\c c\~oes do exerc\'{\i}cio anterior.

 \item
 Construa tabelas de verdade para as seguintes proposi\c c\~oes:

\begin{tabular}{p{6cm}p{6cm} }
(a) $[p\wedge ( p \Rightarrow q)] \Rightarrow q$&
  (b) $[ \sim q \wedge ( p \Rightarrow q)] \Rightarrow \sim p$\\
  (c) $(p \Rightarrow q) \Leftrightarrow (q \Rightarrow p)$ & (d)
$(p\; \vee \sim p) \Rightarrow (q\; \wedge \sim q)$\\
(e) $\sim ((p\; \wedge \sim q) \Rightarrow \sim r)$& (f) $(p
\Rightarrow q) \Leftrightarrow (\sim q \Rightarrow \sim p).$
\end{tabular}

\item Sem construir tabelas de verdade verifique que as seguintes
express\~{o}es s\~{a}o tautologias:
  \begin{enumerate}
  \item $(p\, \vee \sim r) \wedge [ (p\, \vee \sim r) \Rightarrow (q \wedge r)]
  \Rightarrow ( q \wedge r)$
  \item $[(p\, \vee \sim r) \wedge (q \Rightarrow ( \sim p \wedge r))] \Rightarrow \sim q$
  \end{enumerate}

\item Determine o antecedente e o consequente de cada uma das seguintes
proposi\c c\~oes:
\begin{enumerate}
\item Um aumento significativo no poder dos computadores \'e uma
condi\c c\~ao necess\'aria para futuros avan\c{c}os tecnol\'ogicos.
\item Erros ser\~ao introduzidos se efectuarmos uma modifica\c
c\~ao neste programa. \item Para poupar combust\'{\i}vel \'e
necess\'ario instalar um bom isolamento t\'ermico, assim como
janelas duplas.
\end{enumerate}

\item Sejam $p$, $q$ e $r$ as seguintes proposi\c c\~oes:
                        $p$: Eu erro.\hfill
                        $q$: Eu existo.\hfill
                        $r$: Eu penso.

Traduza as seguintes proposi\c c\~oes compostas em nota\c c\~ao
simb\'olica.
\begin{enumerate}
\item Ou penso ou erro.
\item Sempre que penso n\~ao erro.
\item Eu existo sempre que erro, mesmo que n\~ao pense.
\item Eu erro ou se  penso e n\~ao erro ent\~ao  existo.
\end{enumerate}

\item\begin{enumerate}
\item Sendo $p \Rightarrow q$ uma proposi\c c\~ao verdadeira, o que
pode afirmar relativamente ao valor de verdade de $\sim p \wedge q
 \Leftrightarrow
p \vee q$?
\item Sendo $p \Leftrightarrow q$ uma proposi\c c\~ao verdadeira, o que pode
afirmar relativamente ao valor de verdade de $p \Leftrightarrow
\sim q$ e $\sim p \Leftrightarrow q$ ?
\item Supondo agora que $p \Leftrightarrow q$ \'e falso, o que pode afirmar
relativamente ao valor de verdade de $p \Leftrightarrow \sim q$ e
$\sim p \Leftrightarrow q$ ?
\end{enumerate}

\item Sendo $p$, $q$ e $r$ proposi\c c\~oes, construa tabelas de verdade
para as seguintes proposi\c c\~oes compostas.

\begin{tabular}{p{4.5cm}p{4cm}p{5.5cm} }
(a) $p\; \wedge \sim (\sim p\; \vee \sim q)$& (b) $p \wedge q
\Rightarrow \sim p$& (c) $(p \Rightarrow q) \Rightarrow [(p \vee
r) \Rightarrow (q \vee r)]$\\
(d) $p \Rightarrow (q \Rightarrow p)$&(e) $p \wedge q
\Leftrightarrow \sim q\; \vee \sim p$&(f) $(p \; \vee \sim q)
\wedge \sim (p \wedge q)$\\ (g) $((p \vee q) \wedge \sim r)
\Rightarrow \sim p \vee r$
\end{tabular}

 \item Num certo pa\'{\i}s cada habitante \'e um
amante da verdade ou \'e um amante da mentira e, como tal, diz
sempre a verdade ou diz sempre a mentira. Ao viajar neste pa\'\i s
encontrei o Pedro e o Lu\'\i s. O Pedro disse-me: ``Se eu for um
amante da verdade ent\~ao o Lu\'\i s \'e um amante da verdade."
Ser\'a Pedro um amante da verdade ou da mentira? E o Lu\'{\i}s?
\end{enumerate}\newpage

\centerline{{\large\sf Departamento de Matem\'atica da
Universidade de Coimbra}}

\centerline{\large\sf An\'alise Infinitesimal I}

{\sf Ano lectivo $2003/04$ \hfill Folha $2$}

\vspace*{6mm}

{\large\sf CAP\'ITULO I: Fundamentos}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{15} \item
\begin{enumerate}
\item Mostre que bastam os conectivos l\'{o}gicos $\sim$ e $\vee$ para
representar todas as opera\c{c}\~{o}es l\'{o}gicas. \item Mostre que basta o
conectivo l\'{o}gico $|$, dado pela tabela de
verdade \begin{tabular}{cc||c} $p$&$q$&$p\, |\, q$\\
\hline
F&F&V\\
F&V&V\\
V&F&V\\
V&V&F\end{tabular}\\ para representar todas as opera\c{c}\~{o}es l\'{o}gicas.
\end{enumerate}

\item O Artur, o Bernardo e o Carlos, suspeitos de terem assaltado
uma loja de chocolates, fazem os seguintes depoimentos:

Artur: ``Bernardo \'{e} culpado, mas Carlos \'{e} inocente".\\
Bernardo: ``Se Artur \'{e} culpado ent\~{a}o Carlos \'{e} culpado".\\
Carlos: ``Estou inocente, mas um dos outros dois \'{e} culpado".
\begin{enumerate}
\item Os tr\^{e}s depoimentos s\~{a}o compat\'{\i}veis? \item Supondo os tr\^{e}s
r\'{e}us inocentes, quem mentiu? \item Supondo que todos disseram a
verdade, quem \'{e} inocente e quem \'{e} culpado? \item Supondo que os
inocentes disseram a verdade e os culpados mentira, quem \'{e}
inocente e quem \'{e} culpado?
\end{enumerate}

\item Para cada par de express\~{o}es a seguir indique qual delas \'{e}
consequ\^{e}ncia da outra e apresente uma interpreta\c{c}\~{a}o que as torne
n\~{a}o equivalentes:

(a) $(\forall x)(\exists y) p(x,y)$ e $(\exists y)(\forall x)
p(x,y)$\hfill (b) $(\exists x) (p(x) \wedge q(x))$  e $((\exists
x) p(x)) \wedge ((\exists x)q(x))$

(c) $((\forall x) p(x)) \wedge ((\forall x)q(x))$ e $(\forall x)
(p(x) \wedge q(x))$

(d) $(\forall x) p(x) \Rightarrow (\forall x) q(x)$ e $(\forall x)
(p(x) \Rightarrow q(x))$.

%\begin{enumerate}
%\item $(\forall x)(\exists y) p(x,y)$ \ \ e \ \ $(\exists
%y)(\forall x) p(x,y)$ \item $(\exists x) (p(x) \wedge q(x))$ \ \ e
%\ \ $((\exists x) p(x)) \wedge ((\exists x)q(x))$ \item $((\forall
%x) p(x)) \wedge ((\forall x)q(x))$ \ \ e \ \ $(\forall x) (p(x)
%\wedge q(x))$ \item $(\forall x) p(x) \Rightarrow (\forall x)
%q(x)$ \ \ e \ \ $(\forall x) (p(x) \Rightarrow q(x))$
%\end{enumerate}
\item
De entre as seguintes frases assinale as que s\~ao proposi\c
c\~oes atribuindo-lhe o respectivo valor de verdade.

\begin{tabular}{p{7cm}p{7.2cm} }
(a) Para todo o $x$ real, $x^2 =x$.&(b) Para exactamente um $x$
real, $x^2 =x$.\\
(c) Para algum $x \in \bkR$ verifica-se $x^2 =x$.&(d) $x^2 =x$.\\
(e) $x y =x z$ implica $y = z$.&(f) Para $x, y, z$ reais $x y = x
z$ implica $y = z$.
\end{tabular}

\item Considere as seguintes express\~oes proposicionais:

\begin{tabular}{p{4cm}p{4cm}p{4cm} }
         $a(x,y)$: ``$x$ ama $y$",& $b(x)$: ``$x$ \'e belo"&
         $h(x)$: ``$x$ \'e homem",\\$e(x)$: ``$x$ \'e encantador"&
         $M$: ``Maria",& $m(x)$: ``$x$ \'e mulher".
\end{tabular}

Agora, apresente uma tradu\c c\~ao em portugu\^es dos seguintes
predicados:\vspace*{-2mm}
\begin{enumerate}
\item $(\forall x)[m(x) \Rightarrow (\forall y)(a(x,y)\Rightarrow h(y)\wedge
b(y))]$;
\item $(\exists x)(h(x) \wedge b(x)\wedge a(x,M))$;
\item $(\exists x)[m(x) \wedge e(x)\wedge (\forall y)(a(x,y)
\Rightarrow b(y) \wedge h(y))]$.
\end{enumerate}


\item Para cada uma das proposi\c c\~oes determine uma
interpreta\c c\~ao onde a proposi\c c\~ao seja verdadeira e outra
onde seja falsa.

\begin{tabular}{p{6cm}p{6cm} }
(a) $(\forall x) (\forall y)(p(x,y) \Rightarrow q(y,x))$& (b)
$(\forall x) (p(x) \Rightarrow (\exists y)q(x,y))$.
\end{tabular}

\item Determine a proposi\c c\~ao nega\c c\~ao da proposi\c c\~ao
 apresentada em cada al\' \i nea.
\begin{enumerate}
\item Algumas pessoas gostam de matem\'atica.
\begin{enumerate}
\item Algumas pessoas n\~ao gostam de matem\'atica.
\item Todas as pessoas gostam de matem\'atica.
\item Ningu\'em gosta de matem\'atica.
\end{enumerate}
\item Todas as pessoas s\~ao altas e magras.
\begin{enumerate}
\item Existe algu\'em que \'e baixo e gordo.
\item Ningu\'em \'e alto e magro
\item Existe algu\'em que \'e baixo ou gordo.
\end{enumerate}
\item Todas as pessoas gostam de gelados.
\begin{enumerate}
\item Ningu\'em gosta de gelados.
\item Todas as pessoas n\~ao gostam de gelados.
\item Existe algu\'em que n\~ao gosta de gelados.
\end{enumerate}
\item H\'a pessoas belas e inteligentes.
\begin{enumerate}
\item N\~ao h\'a pessoas belas e inteligentes.
\item Algumas pessoas n\~ao s\~ao belas, mas s\~ao inteligentes.
\item Qualquer pessoa n\~ao \'e bela ou n\~ao \'e inteligente.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item Analise a validade dos seguintes argumentos:
\begin{enumerate}
\item Bom tempo \'e necess\'ario para se conseguir um belo jardim.
Como o jardim est\'a muito bonito o tempo tem estado bom.
\item Se hoje for segunda-feira amanh\~a ser\'a ter\c ca-feira.
Mas hoje n\~ao \'e segunda feira, logo, amanh\~a n\~ao \'e ter\c
ca.
\item Hoje \'e segunda ou ter\c ca-feira.
Mas hoje n\~ao \'e segunda. Ent\~ao hoje \'e ter\c ca-feira.
\item Sendo $p \Rightarrow q$ uma tautologia para que $q \Rightarrow p$
seja uma tautologia \'e necess\'ario e suficiente que $p
\Leftrightarrow q$ seja uma tautologia. Sabendo que $p\Rightarrow
q$ \'e uma tautologia e $p\Leftrightarrow q$ n\~ao \'e uma
tautologia ent\~ao $q\Rightarrow p$ n\~ao \'e uma tautologia.
\item O Artur n\~ao possui carro pr\'oprio.
A Maria gosta de rapazes que tenham carro. Ent\~ao a Maria n\~ao
gosta do Artur.
\item Algumas pessoas admiram a Am\'alia.
Mas existem pessoas que n\~ao admiram quem admire a Am\'alia.
Ent\~ao existem pessoas que n\~ao s\~ao admiradas por todas as
pessoas.
\end{enumerate}

\item Determine a nega\c c\~ao de cada uma das seguintes express\~oes
numa forma que n\~ao contenha o conectivo $\sim$ como conectivo
principal.

\begin{enumerate}
\item $(\forall x)(p(x)\vee \sim p(x))$ \item $(\exists
x)(p(x)\wedge q(x) \wedge r(x))$ \item $(\forall
x)(p(x)\Rightarrow (q(x)\vee r(x)))$\item $(\forall
x)(p(x)\Rightarrow (q(x)\Rightarrow p(x)))$ \item $(\forall
x)((q(x)\wedge \sim r(x))\Leftrightarrow p(x))$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\newpage

\centerline{{\large\sf Departamento de Matem\'atica da
Universidade de Coimbra}}

\centerline{\large\sf An\'alise Infinitesimal I}

{\sf Ano lectivo $2003/04$ \hfill Folha $3$}

\vspace*{6mm}

{\bf CAP\'ITULO I: Fundamentos}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{24} \item Seja $S = \{2, 5, 17, 27 \}$.
Quais das seguintes proposi\c c\~oes s\~ao verdadeiras?\vspace*{2mm}\\
\begin{tabular}{clp{5mm}clp{5mm}clp{5mm}cl}
(a)& $5 \in S$ &&(b)& $2 + 5 \in S$ &&(c)& $\emptyset \in S$
&&(d)& $S \in S$.
\end{tabular}

\item Verifique que
\begin{enumerate}
\item $\{x \in \bkN;\ x^2 < 15 \}=\{ x \in \bkN;\ 2x<7\}$

\item $\{x \in \bkQ;\ x^2=2 \}=\{x \in A;\ x$ \'e tigre e $x$ \'e
cor-de-rosa$\}$,
\end{enumerate}
onde $A$ \'e o conjunto dos animais terrestres conhecidos at\'e
1/10/2003.

\item D\^e exemplos de conjuntos, $A$ e $B$, tais que $A \in B$ e
$A \subseteq B$.

\item Considere os conjuntos\vspace*{1mm}\\
\begin{tabular}{lp{2mm}lp{2mm}lp{2mm}l}
        $R = \{1, 3, \pi , 4.1 , 9 , 10 \}$ && $S = \{ \{1\}, 3, 9, 10
        \}$&&
        $T = \{1, 3, \pi \}$ &&  $U = \{ \{1, 3, \pi \}, 1 \}$.
\end{tabular}\vspace*{2mm}\\
Indique, de entre as seguintes proposi\c c\~oes, as que s\~ao
falsas (justifique a sua resposta).\vspace*{2mm}\\
\begin{tabular}{clp{1.5cm}clp{1.5cm}cl}
(a) & $S \subseteq R$ &&(b)& $1 \in R$ && (c)& $1 \in S$\vspace*{1mm}\\
 (d) & $\{1\} \subseteq  T$ && (e) & $\{1\} \subseteq U$ &&(f) & $\{1\} \subseteq S$ \vspace*{1mm}\\
(g) & $T \not \subseteq R$ && (h) & $\{1\} \in S$ && (i) & $\emptyset \subseteq S$ \vspace*{1mm}\\
(j) & $T \subseteq  U$ && (l) & $T \in  U$ && (m) & $T \not\in R$ \vspace*{1mm}\\
(n) & $T \subseteq R$ && (o) & $S \subseteq
\{1,3,9,10\}.$&&\vspace*{1mm}
\end{tabular}

\item Para $A$, $B$ e $C$ conjuntos arbitr\'arios apresente o valor de
 verdade
de cada uma das seguintes proposi\c c\~oes.\vspace*{2mm}\\
\begin{tabular}{lp{1cm}l}
    (a) Se $A \subseteq B$ e $B \subseteq A$ ent\~ao $A = B$ &&
    (b) $\{ \emptyset \} =\emptyset$ \vspace*{1mm}\\
    (c) $\{ \emptyset \} \subseteq A$ &&
    (d) $\emptyset \in \{ \emptyset \}$ \vspace*{1mm}\\
    (e) $\emptyset \in A$ &&
    (f) Se $ A \not\subseteq B$ e $B \subseteq C$ ent\~ao $A \not\subseteq C$\vspace*{1mm}\\
    (g) $\{ \emptyset \} =  \{ \{\emptyset \}\}$ &&
    (h) Se $A \neq B$ e $B \neq C$ ent\~ao $A \neq C$ \vspace*{1mm}\\
    (i) Se $A \in B$ e $B \not\subseteq C$ ent\~ao $A \not\in C.$\vspace*{1mm}
\end{tabular}

\item Para $A = \{2, 4, 5, 6, 8 \}, B = \{1, 4, 5, 9\}$, $C = \{x: x
 \in\mathbb{Z}$ e $2 \leq x < 5 \}$ subconjuntos de $S =
\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \}$ determine:\vspace*{2mm}\\
\begin{tabular}{clp{8mm}clp{8mm}cl}
(a) & $A \cup B$ &&(b) & $A \cap B$ && (c) &  $A \cap C$\vspace*{1mm}\\
(d) & $B \cup C$ &&(e)& $A-B$ &&(f) & $A^c$ \vspace*{1mm}\\
(g) & $A \cap A^c$ && (h) & $(A \cap B)^c$ && (i)& $C-B$\vspace*{1mm}\\
(j) & $(B-A)^c \cap (A-B)$ && (l) & $(C \cap B) \cup A^c$ && (m)
& $(C^c \cup B)^c$
\vspace*{1mm}\\
(n) & $B \times C.$ &&&&&\vspace*{1mm}
\end{tabular}

\item Sendo $A$ e $B$ subconjuntos arbitr\'arios de um conjunto $X$, indique as igualdades
verdadeiras:\vspace*{2mm}\\
\begin{tabular}{lp{1cm}l}
(a) $A \cup A = A$ &&(b) $B \cap B = B$\vspace*{1mm}\\
(c) $(A \cap B)^c = A^c \cap B^c$ &&(d) $(A^c)^c = A$\vspace*{1mm}\\
(e) $A-B = (B-A)^c$ &&(f) $(A-B) \cap (B-A) = \emptyset$\vspace*{1mm}\\
(g) Se $A \cap B= \emptyset$ ent\~ao $A=B^c$ &&(h) $B \times A = A
\times B$\vspace*{1mm}\\
(i) $\emptyset \times A = \emptyset$ &&(j) $\emptyset \cap
\{\emptyset \} = \emptyset$.\vspace*{1mm}
\end{tabular}

\item Para cada uma das seguintes proposi\c c\~oes, indique condi\c c\~oes
a impor aos conjuntos $A$ e $B$ para que as proposi\c c\~oes sejam
verdadeiras.\vspace*{1mm}\\
(a) $A \cup B = A$ \hfill (b) $A \cup \emptyset = \emptyset$
\hfill (c) $A \cap B = A$\hfill (d) $B - A = \emptyset$ \hfill (e)
$(A \cup B) \subseteq (A \cap B).$

\item
Mostre que para conjuntos arbitr\'arios $X, Y$ e $Z$ se tem
\begin{enumerate}
\item Se $X \subseteq Y$ e $X \subseteq Z$ ent\~ao $X \subseteq Y \cap Z.$
\item Se $X \subseteq Z$ e $Y \subseteq Z$ tamb\'em $X \cup Y \subseteq
Z$.
\end{enumerate}

\item Sejam $A$ e $B$ conjuntos arbitr\'arios. Prove que:
\begin{enumerate}
\item $A \subseteq B \Rightarrow B^c \subseteq A^c.$
\item Use a al\'{\i}nea anterior para provar que
$B^c \subseteq A^c \Rightarrow A \subseteq B$.
\item Conclua, agora, que
$A = B$ se e s\'o se $A^c = B^c$.
\end{enumerate}

\item
Prove ou refute que, sendo $A, B$ e $C$ subconjuntos
arbitr\'arios de um conjunto $X$, se verificam as seguintes
propriedades:\vspace*{1mm}\\
\begin{tabular}{cp{50mm}cl}
(a)&  $A \subseteq B$ se e s\'o se $A \cup B = B$.& (b)&  $A
\subseteq B$ se e s\'o se $A \cap B = A$.\vspace*{1mm}\\
(c)& $A - (B-C) = (A-B) - C.$ &(d)& $(A-B)^c = A^c- B^c.$\vspace*{1mm}\\
(e)& $A \cup (B-A) = A \cup B.$ &(f)& $A \cap (B \cup C) = (A
\cap B) \cup C.$\vspace*{1mm}\\
(g)& $A - B = A \cap B^c.$&(h)& $(A \cap B) \cup C=A \cap (B \cup
C)$ se e s\'o se $C \subseteq A$.\vspace*{1mm}
\end{tabular}

\item
Sejam $A$ e $B$ conjuntos arbitr\'arios.
\begin{enumerate}
\item Prove que, se $A \subseteq B$
ent\~ao ${\mathcal P}(A)\subseteq {\mathcal P}(B)$.
\item Prove que ${\mathcal P}(A \cap B)
= {\mathcal P}(A) \cap {\mathcal P}(B)$.
\item Prove que ${\mathcal P}(A) \cup {\mathcal P}(B)\subseteq {\mathcal P}(A \cup B)$.
\item Apresente um exemplo que mostre que a inclus\~ao rec\'{\i}proca
da inclus\~ao apresentada na al\'{\i}nea anterior n\~ao \'e verdadeira.
\item Prove que se ${\mathcal P}(A) \cup {\mathcal P}(B)= {\mathcal P}(A \cup B)$
ent\~ao $A \subseteq B$ ou $B \subseteq A$.
\end{enumerate}

\item Sejam $A$, $B$, $C$ e $D$ conjuntos arbitr\'arios. Prove as
seguintes afirma\c c\~oes:\vspace*{2mm}\\
\begin{tabular}{p{60mm}p{80mm} }
(a) $(A\cup B)\times C=(A\times C)\cup (B\times C)$; & (b) $(A\cap
B)\times C=(A\times C)\cap (B\times C)$;\vspace*{1mm}\\
(c) $(A-B)\times C=(A\times C)-(B\times C)$; & (d) $A\subseteq C$,
$B\subseteq D$ $\Rightarrow $ $A\times B\subseteq C\times D$.
\end{tabular}

\item Sejam $A$ e $B$ subconjuntos de um conjunto $X$.
\begin{enumerate}
\item Mostre que, em geral, $A^c\times B^c\neq (A\times B)^c$.
\item Quando \'{e} que $A^c\times B^c=(A\times
B)^c$?
\end{enumerate}

\item Determine $x$, $y$ e $z$ tais que\\
(a) $((x,y+2),z+3)=((3,5),6)$ \hfill (b)
$\{x,y+2,z+3\}=\{3,5,6\}$.
\end{enumerate}
\newpage

\centerline{{\large\sf Departamento de Matem\'atica da
Universidade de Coimbra}}

\centerline{\large\sf An\'alise Infinitesimal I}

{\sf Ano lectivo $2003/04$ \hfill Folha $4$}

\vspace*{6mm}

{\large\sf CAP\'ITULO I: Fundamentos}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{39}

\item Considere a fun\c{c}\~{a}o
\[\begin{array}{rcl}
f:\mathbb{N}\times\mathbb{N}&\to&\mathbb{N}\\
(n,m)&\mapsto&m\times n.\end{array}\]
\begin{enumerate}
\item Verifique se a fun\c{c}\~{a}o $f$ \'{e} injectiva.
\item Verifique se a fun\c{c}\~{a}o $f$ \'{e} sobrejectiva. \'{E} bijectiva?
\item Calcule $f(A)$, quando:\vspace*{2mm}\\
\begin{tabular}{clp{10mm}cl}
i.&$A=\{(n,m)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}\,;\, n+m\leq 5\}$;
&&ii.&$A=\{2\}\times\mathbb{N}$;\vspace*{1mm}\\iii.&
$A=\{(n,m)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}\,;\,n\mbox{ e }m\mbox{
pares}\}$.&&&\vspace*{2mm}\end{tabular} \item Calcule $f^{-1}(B)$,
quando:
\vspace*{1mm}\\
i. $B=\{1,2,3\}$\hfill ii. $B=\{n\in\mathbb{N}\,;\,n$ \'e
par$\}$;\hfill iii. $B=\{n\in\mathbb{N}\,;\,n$ \'e \'\i mpar$\}$.
\end{enumerate}

\item Sejam $f:X\to Y$ uma fun\c{c}\~{a}o e $A$ e $B$ subconjuntos de $X$.
Prove que:
\begin{enumerate}
\item $f(A-B)\supseteq f(A)-f(B)$; \item se $f$ \'{e} injectiva, ent\~{a}o
$f(A-B)=f(A)-f(B)$; \item $f$ \'{e} injectiva se e s\'{o} se
$f(X-A)=f(X)-f(A)$.
\end{enumerate}

\item Prove que, dada uma fun\c{c}\~{a}o $f:X\to Y$:\vspace*{1mm}\\
\begin{tabular}{p{55mm}p{85mm} }
(a) $\forall A\subseteq X\;\;A\subseteq f^{-1}(f(A))$; & (b) $f$ \'{e}
injectiva $\Leftrightarrow\;\forall A\subseteq X \;\;
A=f^{-1}(f(A))$;\vspace*{1mm}\\
(c) $\forall B\subseteq Y\;\;f(f^{-1}(B))\subseteq B$;& (d) $f$ \'{e}
sobrejectiva $\Leftrightarrow\;\forall B\subseteq
Y\;\;f(f^{-1}(B))=B$.
\end{tabular}

\item Sejam $f:X\to Y$ e $g:Y\to Z$ duas fun\c{c}\~{o}es. Prove que:
\begin{enumerate}
\item Se $f$ e $g$ s\~{a}o injectivas, ent\~{a}o $g\circ f$ \'{e} injectiva.
\item Se $f$ e $g$ s\~{a}o sobrejectivas, ent\~{a}o $g\circ f$ \'{e} sobrejectiva.
\item Se $f$ e $g$ s\~{a}o sobrejectivas, ent\~{a}o $g\circ f$ \'{e} sobrejectiva.
\item Se $g\circ f$ \'e injectiva, ent\~{a}o $f$ \'{e} injectiva.
\item Se $g\circ f$ \'{e} sobrejectiva, ent\~{a}o $g$ \'{e} sobrejectiva.
\end{enumerate}

\item De entre as correspond\^{e}ncias seguintes, indique as que s\~{a}o
fun\c{c}\~{o}es, fun\c{c}\~{o}es injectivas, fun\c{c}\~{o}es sobrejectivas e bijec\c{c}\~{o}es.
Descreva a fun\c{c}\~{a}o inversa para cada fun\c{c}\~{a}o
bijectiva.\vspace*{1mm}\\
\begin{tabular}{p{55mm}p{93mm} }
(a) $f:\bkZ\to\bkN$, $f(x)=x^2+1$;&(b) $g:\bkN\to\bkQ$,
$g(x)=\frac{1}{x}$;\vspace*{1mm}\\
(c) $h:\bkZ\times\bkN\to\bkQ$, $h(z,n)=\frac{z}{n+1}$;& (d)
$f:\{1,2,3\}\to\{p,q,r\}$,
$G(f)=\{(1,q),(2,r),(3,p)\}$;\vspace*{1mm}\\
(e) $g:\bkN\to\bkN$, $g(x)=2^x$;& (f) $h:\bkR^2\to\bkR^2$,
$h(x,y)=(y+1,x+1)$.\end{tabular}

\item Seja $(A_{i,j})_{(i,j)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}}$ uma
fam\'\i lia de conjuntos com \'{\i}ndices em
$\mathbb{N}\times\mathbb{N}$. Verifique se a seguinte igualdade
\[\bigcup_{i=1}^\infty\left(\bigcap_{j=1}^\infty
\;A_{i,j}\right)=\bigcap_{j=1}^\infty\left(\bigcup_{i=1}^\infty\;A_{i,j}\right)\]
\'{e} verdadeira.

\item\begin{enumerate} \item Prove que, se $(A_i)_{i\in I}$ \'{e} uma
fam\'{\i}lia de subconjuntos de um conjunto $X$, ent\~{a}o:\vspace*{1mm}\\
\begin{tabular}{p{60mm}p{60mm} }
i. $X\setminus (\ds\bigcup_{i\in I}A_i)=\bigcap_{i\in
I}(X\setminus A_i)$;& ii. $X\setminus(\ds\bigcap_{i\in
I}A_i)=\bigcup_{i\in I}(X\setminus A_i)$.
\end{tabular}
\item Demonstre que, se $f:X\to Y$ \'{e} uma fun\c{c}\~{a}o e $(A_i)_{i\in I}$
e $(B_j)_{j\in J}$ s\~{a}o fam\'{\i}lias de subconjuntos de $X$ e $Y$,
respectivamente, ent\~{a}o:
\vspace*{1mm}\\
\begin{tabular}{p{60mm}p{60mm} }
i. $f(\ds\bigcup A_i)=\bigcup f(A_i)$;& ii. $f(\ds\bigcap
A_i)\subseteq \bigcap f(A_i)$;\vspace*{1mm}\\
iii. $f^{-1}(\ds\bigcup B_j)=\bigcup f^{-1}(B_j)$;& iv.
$f^{-1}(\ds\bigcap B_j)=\bigcap f^{-1}(B_j)$.
\end{tabular}
\end{enumerate}

\item Denotando por $\mathcal{F}(X;Y)$ o conjunto das fun\c{c}\~{o}es de
$X$ em $Y$, dados conjuntos $X$, $Y$ e $Z$ estabele\c{c}a uma bijec\c{c}\~{a}o
entre os conjuntos $\mathcal{F}(X\times Y;Z)$ e
$\mathcal{F}(X;\mathcal{F}(Y;Z))$.

\item Teste a reflexividade, simetria, anti-simetria e
transitividade da rela\c{c}\~{a}o $\rho$ em $X$, quando:
\begin{enumerate}
\item $X=\bkN$, $x\rho y$ se $x+y$ for um n\'{u}mero par; \item
$X=\bkN$, $(x,y)\in\rho$ se $x=y^2$; \item $X=\bkN\times\bkN$,
$(x,y)\rho(x',y')$ se $x+y'=x'+y$; \item $X=\{0,1\}$ e $x\rho y$
se $x=y^2$; \item $X$ conjunto das linhas do plano e $x\rho y$ se
$x$ for paralela a $y$ ou $x$ coincidir com $y$; \item
$X=\{1,2,3\}$ e $\rho=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3)\}$.
\end{enumerate}

\item  Seja $f: X \to Y$ uma fun\c{c}\~{a}o.
\begin{enumerate}
\item Prove que $\rho$, definida em $X$ por
 $x \rho y$ se $f(x)=f(y)$,
\'e uma rela\c c\~ao de equival\^encia.

($\rho$ diz-se a equival\^encia n\'ucleo de $f$.) \item Para
$X=Y=\mathbb{Z}$ e $f(x)=3x^2$ determine a classe de
equival\^encia do elemento $4$ pela rela\c c\~ao de equival\^encia
n\'ucleo de $f$.
\end{enumerate}

\item Em $\bkN\times\bkN$ considere a rela\c{c}\~{a}o bin\'{a}ria $\rho$
definida por $(a,b)\rho (c,d)$ se $a< c$ ou $a=c$ e $b\leq d$.
\begin{enumerate}
\item Mostre que $\rho$ \'{e} uma rela\c{c}\~{a}o de ordem em
$\bkN\times\bkN$. \'{E} total? \item Determine, caso existam, os
minorantes, m\'{\i}nimo, \'{\i}nfimo, majorantes, m\'{a}ximo, supremo, dos
seguintes subconjuntos de $\bkN\times\bkN$:\vspace*{1mm}\\
 i. $X=\{1\}\times\bkN$; \hfill ii. $Y=\bkN\times\{1\}$; \hfill
 iii. $Z=\{(n,m)\in\bkN\times\bkN\,;\,n+m=10\}$.
\end{enumerate}

\item Considere a rela\c{c}\~{a}o de inclus\~{a}o $\subseteq$ no conjunto das
partes do conjunto $X=\{1,2,3\}$.
\begin{enumerate}
\item Mostre que $(\mathcal{P}(X),\subseteq)$ \'{e} um conjunto
parcialmente ordenado, mas n\~{a}o uma cadeia. \item Determine, caso
existam, os minorantes, m\'{\i}nimo, \'{\i}nfimo, majorantes, m\'{a}ximo e
supremo, dos conjuntos:
\begin{enumerate}
\item $A=\{S\subseteq X\,;\,1\in S\}$; \item $B=\{S\subseteq
X\,;\,2\not\in S\}$; \item $C=\{S\subseteq X\,;\,S$ \'e um
conjunto singular$\}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item Seja $X$ um conjunto.
\begin{enumerate}
\item $({\mathcal P}(X),\subseteq)$ tem elemento m\' \i nimo?
Qual? \item E elemento m\'aximo? Indique-o. \item Sejam $A$ e $B$
subconjuntos arbitr\'arios de $X$. Prove que o \' \i nfimo e o
supremo de $\{A,B\}$ existem. Indique esses elementos.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage

\centerline{\large\sf Departamento de Matem\'atica da Universidade
de Coimbra}

\centerline{\large\sf An\'alise Infinitesimal I}

{\sf Ano lectivo $2003/04$ \hfill Folha $5$}

\vspace*{6mm}

{\large\sf CAP\'ITULO I: Fundamentos}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{52}

 \item Prove que um subconjunto $A$ de
$\bkR$ \'e limitado se e s\'o: $\exists b\in\bkR\;\;:\;\;\forall
x\in A\;\;|x|\leq b$.

\item Prove que todo o subconjunto finito n\~ao vazio de $\bkR$
tem m\'aximo e m\'\i nimo.

\item Sejam $A\subseteq \bkR$ e $\alpha$ um majorante de $A$.
\begin{enumerate}
\item Mostre que as seguintes afirma\c c\~oes se equivalem:
\begin{itemize}
\item[(i)] $\alpha$ \'e o supremo de $A$; \item[(ii)] $\forall
\eps>0\;\;\exists x\in A\;:\;x>\alpha-\eps$; %\item[(iii)] $\forall
%x\in A\;\;(x=\alpha\;\vee(\;\exists x'\in A\;:\;x'\in\,
%]\,x,\alpha\,]\,)\,)$.
\end{itemize}
\item Formule as correspondentes caracteriza\c c\~oes de \'\i
nfimo de $A$.
\end{enumerate}

\item Sejam $A$ um subconjunto de $\bkR$ e $\alpha$ o supremo de
$A$.
\begin{enumerate}
\item Determine o conjunto dos majorantes de $A$; \item Se
$x\in\bkR$ for tal que $x<\alpha$, o que pode concluir sobre $x$,
relativamente a $A$? E se $x>\alpha$?
\end{enumerate}

\item Sejam $A$ e $B$ subconjuntos de $\bkR$.
\begin{enumerate}
\item Suponha que $A\subseteq B$. Prove que:
\begin{enumerate}
\item Se $\alpha$ \'e um majorante de $B$, tamb\'em \'e um
majorante de $A$. \item Se $A$ for n\~ao vazio e $B$ for limitado
superiormente, ent\~ao $\sup A\leq\sup B$.
\end{enumerate}
\item Mostre que, se $\alpha$ \'e um majorante de $A$ e $\beta$
\'e um majorante de $B$, ent\~ao $\max\{\alpha,\beta\}$ \'e um
majorante de $A\cup B$ e $\min\{\alpha,\beta\}$ \'e um majorante
de $A \cap B$. \item Se $A$ e $B$ forem n\~{a}o vazios e limitados
superiormente, ent\~{a}o
\[\mathrm{sup}(A \cup B)=\mathrm{max}\{ \mathrm{sup}\,A,\mathrm{sup}\,B
\}.\]
\end{enumerate}

\item Sejam $A$ e $B$ subconjuntos n\~ao vazios de $\bkR$ tais
que: $\forall x\in A\;\;\forall y\in B\;\;x<y$. Prove que:
\begin{enumerate}
\item $\sup A\leq\inf B$; \item pode ocorrer $\sup A=\inf B$;
\item se $\sup A=\inf B$, ent\~ao
\[\forall\delta>0\;\;\exists x\in A\;\;\exists y\in B\;:\;x+\delta
>y;\]
\item a condi\c c\~ao necess\'aria da al\'\i nea anterior \'e
tamb\'em suficiente.
\end{enumerate}

\item Prove que um subconjunto de $\bkR$ \'e aberto se e s\'o se
\'e reuni\~ao de intervalos abertos.

\item \begin{enumerate} \item Prove que a intersec\c c\~ao de uma
fam\'\i lia finita de subconjuntos abertos de $\bkR$ \'e um
subconjunto aberto de $\bkR$.

\item D\^e exemplos de fam\'\i lias de subconjuntos abertos de
$\bkR$ cuja intersec\c c\~ao seja, respectivamente,
\begin{enumerate}
\item um conjunto aberto; \item um conjunto fechado; \item um
conjunto que n\~ao seja aberto nem fechado.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item Sendo $A$ e $B$ subconjuntos abertos de $\bkR$ mostre que
s\~ao abertos os conjuntos
\begin{enumerate}
\item $A+B=\{x+y;\ x \in A \ \wedge \ y \in B\}$; \item
$A*B=\{xy;\ x \in A \ \wedge \ y \in B\}$.
\end{enumerate}

\item Verifique se os seguintes subconjuntos de $\bkR$ s\~ao
abertos e/ou fechados:
\vspace*{2mm}\\
\begin{tabular}{clp{15mm}clp{15mm}cl}
(a)&$\bkQ$&&(b)&$\bkR\setminus\bkQ$&&(c)& $\bkR\setminus\bkZ$\vspace*{2mm}\\
(d)&$\{\frac{1}{n}\,;\,n\in\bkN\}$&&(e)&$\{\frac{1}{n}\,;\,n\in\bkN\}\,\cup\,\{0\}$.
\end{tabular}\vspace*{2mm}

\item Determine o interior e o fecho de cada um dos conjuntos do
exerc\'\i cio anterior.

 \item Se $A$ \'e um subconjunto de $\bkR$ e
$x\in\bkR$, $A$ diz-se {\em vizinhan\c ca de $x$} se $x$ for ponto
interior de $A$. Mostre que:
\begin{enumerate}
\item A intersec\c c\~ao de duas vizinhan\c cas de $x$ ainda \'e
uma vizinhan\c ca de $x$. \item Se $A$ for vizinhan\c ca de $x$ e
$A\subseteq B$, ent\~ao $B$ \'e vizinhan\c ca de $x$. \item Se $x$
e $y$ s\~ao n\'umeros reais distintos, ent\~ao existem uma
vizinhan\c ca $U$ de $x$ e uma vizinhan\c ca $V$ de $y$ tais que
$U\,\cap\,V=\emptyset$. \item Se $\alpha=\sup A$, ent\~ao $A$ e
$\bkR\setminus A$ n\~ao s\~ao vizinhan\c cas de $\alpha$.
\end{enumerate}

\item Para $A\subseteq\bkR$, mostre que:
\begin{enumerate}
\item $A$ \'e aberto se e s\'o se \'e vizinhan\c ca de todos os
seus pontos; \item um ponto $x\in\bkR$ \'e ponto aderente de $A$
se e s\'o se toda a vizinhan\c ca de $x$ intersecta $A$.
\end{enumerate}

 \item Seja $A$ um subconjunto
de $\bkR$. Prove que, se $\alpha=\sup A$ e $\alpha\not\in A$,
ent\~ao $\alpha$ \'e ponto de acumula\c c\~ao de $A$.

\item Determine o conjunto dos pontos de acumula\c c\~ao dos
seguintes subconjuntos de $\bkR$.
\vspace*{2mm}\\
\begin{tabular}{clp{10mm}clp{10mm}clp{10mm}cl}
(a)&$\bkZ$&&(b)&$\{\frac{1}{n}\,;\,n\in\bkN\}$&&(c)&$\bkQ$&&(d)&$]0,1]$.
\end{tabular}\vspace*{2mm}

\item D\^e exemplo de um subconjunto de $\bkR$:
\begin{enumerate}
\item infinito sem pontos de acumula\c c\~ao; \item com
exactamente um ponto de acumula\c c\~ao; \item com um conjunto de
pontos de acumula\c c\~ao infinito numer\'avel; \item numer\'avel
com um conjunto de pontos de acumula\c c\~ao n\~ao numer\'avel.
\end{enumerate}

\item Verifique que, para $A$ e $B$ subconjuntos de $\bkR$,
\begin{enumerate}
\item se $A$ \'e aberto ent\~ao $A$ \'{e} vazio ou $A$ n\~ao \'e
numer\'avel; \item se $A$ \'e aberto e $B$ \'e finito ent\~ao
$A-B$ \'e aberto; \item se $A$ \'e aberto e $B$ \'e numer\'avel
ent\~ao $A-B$ pode ser ou n\~ao ser aberto.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\centerline{{\large\sf Departamento de Matem\'atica da
Universidade de Coimbra}}

\centerline{\large\sf An\'alise Infinitesimal I}

{\sf Ano lectivo $2003/04$ \hfill Folha $6$}

\vspace*{6mm}

{\large\sf CAP\'ITULO II: Limites}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{69}

\item Prove que cada uma das sucess\~oes cujo termo geral se
indica a seguir \'e limitada.

Estude a monotonia destas sucess\~oes.\vspace*{2mm}\\
\begin{tabular}{clp{1.5cm}cl}
(a)& $\ds x_n=\frac{2n}{3n+16}$;&& (b)& $\ds
x_n=\frac{100}{n}+2(-1)^n$;\vspace*{2mm}\\ (c)& $\ds
x_n=\left\{\begin{array}{ll}
10&\mbox{ se }n=1\\
\frac{(-1)^nn-8}{3n-2}&\mbox{ se }n\neq 1;\end{array}\right.$&&
(d) & $x_n=\ds \frac{2003^n}{n!}$.
\end{tabular}

\item Verifique que as seguintes sucess\~oes n\~ao s\~ao
limitadas:
\vspace*{2mm}\\
\begin{tabular}{clp{1.5cm}cl}
(a)& $(2n)_{n\in\bkN}$;&& (b)& $((-1)^nn^2+2n)_{n\in\bkN}$.
\end{tabular}

\item Sejam $X$ um subconjunto limitado de $\bkR$ e $s$ o seu
supremo. Mostre que existe uma sucess\~ao com valores em $X$ que
converge para $s$.

\item \begin{enumerate}
\item Sejam $X$ um subconjunto denso de $\bkR$ e $a\in\bkR$. Mostre
que existe uma sucess\~ao com valores em $X$ que converge para
$a$.
\item Conclua que qualquer n\'umero real \'e limite de uma
sucess\~ao de n\'umeros racionais e limite de uma sucess\~ao de
n\'umeros irracionais.
\end{enumerate}

\item Considere a sucess\~ao $(x_n)_{n\in\bkN}$ definida por $\ds
x_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k!}$.
\begin{enumerate}
\item Mostre que $(x_n)$ \'e uma sucess\~ao crescente.
\item Prove que, para todo o n\'umero natural $n$, $x_n\leq 2$.
(Sugest\~ao: Mostre que $n!\geq 2^{n-1}$.)
\item Ser\'a $(x_n)$ uma sucess\~ao convergente? Justifique.
\end{enumerate}

\item Seja $(x_n)_{n\in\bkN}$ uma sucess\~ao de n\'umeros reais.
\begin{enumerate}
\item Mostre que, se $(x_n)$ for convergente e $\ds
a=\lim_{n\to\infty}x_n$, ent\~ao a sucess\~ao
$(|x_n|)_{n\in\bkN}$ \'e tamb\'em convergente, com limite $|a|$.
\item D\^e um exemplo que mostre que a rec\'\i proca pode ser falsa quando $a\neq 0$.
\end{enumerate}

\item Diga, justificando, quais das proposi\c c\~oes seguintes
s\~ao verdadeiras e quais s\~ao falsas:
\begin{enumerate}
\item Toda a sucess\~ao convergente \'e limitada.
\item Toda a sucess\~ao limitada \'e convergente.
\item Toda a sucess\~ao convergente \'e mon\'otona.
\item Toda a sucess\~ao de termos positivos que tende para $0$ \'e
mon\'otona decrescente (a partir de certa ordem).
\item Para que uma sucess\~ao seja limitada basta que possua uma
subsucess\~ao limitada.
\item Se $\ds\lim_{n\to\infty} u_n<0$, ent\~ao tem-se $u_n< 0$
a partir de uma certa ordem.
\item Se $\ds\lim_{n\to\infty} u_n\leq 0$, ent\~ao tem-se $u_n\leq 0$
a partir de uma certa ordem.
\item Se $(u_n)_{n\in\bkN}$ for convergente e se $u_n<0$ para
todo o $n\in\bkN$, ent\~ao $\ds\lim_{n\to\infty}u_n<0$.
\item Se uma sucess\~ao convergente \'e soma de duas sucess\~oes,
ent\~ao cada uma das sucess\~oes parcelas tamb\'em \'e
convergente.
\end{enumerate}

\item Usando dois processos, a \'algebra dos limites e a defini\c
c\~ao de limite, verifique as seguintes igualdades:
\vspace*{2mm}\\
\begin{tabular}{clp{1.5cm}cl}
(a)& $\ds \lim_{n\to\infty}\frac{1+n}{1-n^2}=0$ (quando $n\geq
2$);&& (b)&
$\ds\lim_{n\to\infty}\frac{2n-7}{\pi-n}=-2$;\vspace*{2mm}\\
(c)&
$\ds\lim_{n\to\infty}\frac{n+\sin(\frac{n\pi}{3})}{2n}=\frac{1}{2}$;
&& (d)&$\ds\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n+1000}{n^2}$.
\end{tabular}

\item Sejam $(x_n)_{n\in\bkN}$ uma sucess\~ao de n\'umeros reais e
$(u_n)_{n\in\bkN}$ e $(v_n)_{n\in\bkN}$ as subsucess\~oes
definidas por $u_n=x_{2n}$ e $v_n=x_{2n-1}$. Mostre que:
\begin{enumerate}
\item Se $a\in\bkR$ e $\ds\lim_{n\to\infty}u_n=a$ e
$\ds\lim_{n\to\infty}v_n=a$, ent\~ao tamb\'em
$\ds\lim_{n\to\infty}x_n=a$.
\item Se $\ds\lim_{n\to\infty}u_n=+\infty$ e
$\ds\lim_{n\to\infty}v_n=+\infty$, ent\~ao tamb\'em
$\ds\lim_{n\to\infty}x_n=+\infty$.
\end{enumerate}

\item Diga, justificando, quais das proposi\c c\~oes seguintes
s\~ao verdadeiras e quais s\~ao falsas:
\begin{enumerate}
\item Toda a sucess\~ao superiormente ilimitada tende para
$+\infty$.
\item Toda a sucess\~ao que tende para $+\infty$ \'e %mon\'otona
crescente (a partir de uma certa ordem).
\item Toda a sucess\~ao mon\'otona e n\~ao limitada inferiormente
tende para $-\infty$.
\item Toda a sucess\~ao crescente tende para $+\infty$.
\end{enumerate}

\item Mostre, usando a defini\c c\~ao, que:
\vspace*{2mm}\\
\begin{tabular}{clp{1.5cm}cl}
(a)& $\limm (n-n^2)=-\infty$;&& (b) $\limm (2n+(-1)^nn)=+\infty$.
\end{tabular}

\item Indique, quanto \`a converg\^encia, o comportamento da
sucess\~ao $(a^n)_{n\in\bkN}$ para $a\in\bkR$.

\item Estude a converg\^encia das sucess\~oes de termo geral
\vspace*{2mm}\\
\begin{tabular}{clp{1mm}cl}
(a)& $\ds u_n=\left\{\begin{array}{ll}
1-\frac{4}{n}&\mbox{ se $n$ \'\i mpar}\\
\frac{n^2-3n-2}{n^2+n}&\mbox{ se $n$ par}\end{array}\right.$ &&
(b)& $\ds u_n=\left\{\begin{array}{ll}
(-1)^n+\frac{2}{n}&\mbox{ se $n$ \'\i mpar}\\
\cos((n-1)\pi)&\mbox{ se $n$
par}\end{array}\right.$\vspace*{2mm}\\
(c)& $\ds u_n=\left\{\begin{array}{ll}
0&\mbox{ se }n=3k,\;k\in\bkN\\
(-1)^n\frac{1}{n}&\mbox{ se
}n=3k+1,\;k\in\bkN\\
(\frac{1}{\pi})^n&\mbox{ se }n=3k+2,\;k\in\bkN\end{array}\right.$
&& (d)& $\ds u_n=\left\{\begin{array}{ll}
1+\frac{1}{n}&\mbox{ se $n$ par}\\
\frac{\sin n}{n}&\mbox{ se $n$ \'\i mpar}\end{array}\right.$
\end{tabular}

\item Descubra o erro do seguinte racioc\'\i nio:
\begin{quotation}
\noindent Considere a sucess\~ao $(x_n)_{n\in\bkN}$ definida por
$\ds x_n=\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\cdots+\frac{1}{n}$ ($n$
parcelas). Como o limite da soma \'e igual \`a soma dos limites,
caso existam os limites das parcelas, tem-se
\[\lim_{n\to\infty}x_n=\limm\left(\frac{1}{n}+\cdots+\frac{1}{n}\right)=
\limm\frac{1}{n}+\cdots+\limm\frac{1}{n}=0+\cdots+0=0.\] Por
outro lado,
\[\limm x_n=\limm\left(\frac{1}{n}+\cdots+\frac{1}{n}\right)=
\limm n\frac{1}{n}=\limm 1=1.\] Como o limite \'e \'unico, tem-se
$0=1$.\end{quotation}\end{enumerate}
\newpage

 \centerline{{\large\sf Departamento de Matem\'atica da Universidade
de Coimbra}}

\centerline{\sf An\'alise Infinitesimal I}

{\sf Ano lectivo $2003/04$ \hfill Folha $7$}

\vspace*{6mm}

{\large\sf CAP\'ITULO II: Limites}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{83}

\item Usando o Teorema das Sucess\~oes Enquadradas, determine o
limite das sucess\~oes:\vspace*{2mm}\\
\begin{tabular}{clp{1.5cm}cl}
(a)& $\ds u_n=\frac{\cos^2(n)}{n+1},\;n\in\bkN$;&& (b)& $\ds
u_n=\sqrt[n]{3^n+4^n+7^n},\;n\in\bkN$;\vspace*{2mm}\\
(c)& $\ds u_n=\sum_{i=1}^n\frac{1}{(n+i)^2},\;n\in\bkN$;&& (d)&
$\ds u_n=\sum_{i=4}^{n+6}\frac{1}{\sqrt[3]{n^3+i}},\;n\in\bkN$.
\end{tabular}

\item Calcule, caso existam, os seguintes limites:
\vspace*{2mm}\\
\begin{tabular}{ll}
(a)  $\ds\lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)^2}{n^2+1}$;&(b)
$\ds\lim_{n\to\infty}\frac{2n^2+(-3n)+1}{\sqrt{n^4+1}}$;\vspace*{2mm}\\
(c) $\ds\lim_{n\to\infty}\sqrt{n(n+1)}-n$& (d)
$\ds\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{3n-1}-\sqrt{n+2}}{\sqrt{2n+5}-\sqrt{4n+1}}$;
\vspace*{2mm}\\
(e)
$\ds\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^nn^2-3\sqrt{n+1}+n}{\sqrt{n^3}-n^2}$
$(n\geq 2)$;\hspace*{3mm}& (f)
$\ds\lim_{n\to\infty}\frac{\log(3n+19)}{\log
n}$ $(n\geq 2)$;\vspace*{2mm}\\
(g) $\ds\lim_{n\to\infty}\frac{3^n+(-2)^n}{3^{n+1}+(-2)^{n+1}}$;&
(h) $\ds\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n^2}{3}\sin^2\frac{\pi}{3n}\right)^3$;\vspace*{2mm}\\
(i) $\ds\lim_{n\to\infty}-n(16+\cos(\log n))$;&
(j) $\ds\lim_{n\to\infty} n!(1+\sin^2n)$;\vspace*{2mm}\\
(k) $\ds\lim_{n\to\infty}n^3\sin^2\frac{1}{n}$; &(l)
$\ds\lim_{n\to\infty} \frac{n^n}{n!}$.\end{tabular}

\item Indique sucess\~oes $(x_n)$ e $(y_n)$ de n\'umeros reais que
tendam para $+\infty$ e tais que:
\begin{enumerate}
\item $\ds\lim_{n\to\infty} (x_n-y_n)=+\infty$; \item
$\ds\lim_{n\to\infty} (x_n-y_n)=-\infty$; \item $\ds
\lim_{n\to\infty} (x_n-y_n)=\infty$ (sem ser $+\infty$ nem
$-\infty$); \item $\ds\lim_{n\to\infty} (x_n-y_n)=a$, sendo $a$ um
n\'umero real previamente fixado. \item $(x_n-y_n)_{n\in\bkN}$ \'e
uma sucess\~ao divergente, mas limitada. \item
$(x_n-y_n)_{n\in\bkN}$ \'e ilimitada mas n\~ao tende para
$\infty$.
\end{enumerate}

\item D\^e exemplos de sucess\~oes $(x_n)_{n\in\bkN}$ e
$(y_n)_{n\in\bkN}$, que tendam para $+\infty$ e $0$,
respectivamente, e tais que
\begin{enumerate}
\item $\limm x_ny_n=+\infty$; \item $\limm x_ny_n=-\infty$; \item
$\limm x_ny_n=\infty$, sem ser $+\infty$ e $-\infty$; \item
$\ds\lim_{n\to\infty} x_ny_n=a$, sendo $a$ um n\'umero real
qualquer, previamente dado; \item $(x_ny_n)_{n\in\bkN}$ \'e
divergente mas limitada; \item $(x_ny_n)_{n\in\bkN}$ \'e
divergente e ilimitada, mas n\~ao tende para $\infty$.
\end{enumerate}

\item D\^e exemplos:
\begin{enumerate}
\item De uma sucess\~ao limitada com quatro pontos de acumula\c
c\~ao.
\item De uma sucess\~ao n\~ao limitada com quatro pontos de
acumula\c c\~ao.
\end{enumerate}

%\item \begin{enumerate}
%\item Mostre que se $\limm x_{2n}=a$ e $\limm x_{2n+1}=a$, ent\~ao
%$(x_n)_{n\in\bkN}$ converge e $\limm x_n=a$.
%\item Se $a_1=1$ e
%$a_{n+1}=1+\frac{1}{1+a_n}$, encontre os primeiros oito termos da
%sucess\~ao $(a_n)$.
%\item Use a al\'\i nea (a) para provar que $(a_n)$ \'e
%convergente.
%\end{enumerate}

\item Seja $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ uma sucess\~ao de n\'umeros
reais e seja $c \in ]0,1[$. Prove que
\begin{enumerate}
\item Se para todo o $n \in \mathbb{N}$ se tem $0 < \left|
\frac{x_{n+1}}{x_n} \right| \leq c$ ent\~ao $\displaystyle{\lim_{n
\rightarrow \infty} x_n=0}$. \item Se para todo o $n \in
\mathbb{N}$ se tem $|x_{n+2}-x_{n+1}| \leq c |x_{n+1}-x_n|$
ent\~ao $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ \'e convergente.
\end{enumerate}

\item Foram investidos 1000 euros a uma taxa de juros de 6\%,
compostos anualmente. \begin{enumerate} \item Indique o valor
$v_n$ do investimento ao fim de $n$ anos. \item Verifique se a
sucess\~ao $(v_n)_{n\in\bkN}$ \'e convergente.
\end{enumerate}

\item Considere a sucess\~ao $(x_n)_{n\in\bkN}$ definida por
recorr\^encia da seguinte forma:
\[x_1=\sqrt{2},\;x_{n+1}=\sqrt{2+\sqrt{x_n}},\;n\geq 1.\]
\begin{enumerate}
\item Prove, por indu\c c\~ao, que:
\begin{enumerate}
\item  $x_{n+1}\geq x_n$, para qualquer $n\in\bkN$;
\item $x_n\leq 2$ para qualquer $n\in\bkN$.
\end{enumerate}
\item Conclua que $(x_n)_{n\in\bkN}$ \'e convergente.
\item Mostre que o limite de $(x_n)_{n\in\bkN}$ \'e raiz do
polin\'omio $P(x)=x^4-4x^2-x+4$.
\end{enumerate}

\item Mostre que cada uma das sucess\~oes a seguir definidas \'e
convergente e calcule o respectivo limite:
\begin{enumerate}
\item $x_1=\ds\frac{1}{2}$, $x_{n+1}=x_n^2$, $n\in\bkN$;
\item $x_1=1$, $x_{n+1}=1+\sqrt{x_n}$, $n\in\bkN$;
\item dado $a\in\bkR$ com $0<a<1$, $x_1=a$, $x_{n+1}=x_n^2-x_n+1$,
$n\in\bkN$. \end{enumerate}


\item Sejam $a$ e $b$ n\'umeros positivos, com $a>b$. Denotemos
por $a_1$ a sua m\'edia aritm\'etica, e por $b_1$ a sua m\'edia
geom\'etrica; isto \'e,
\[a_1=\frac{a+b}{2}\;\;\mbox{ e }\;\;b_1=\sqrt{ab}.\]
Iterando este processo, obtemos duas sucess\~oes,
$(a_n)_{n\in\bkN}$ e $(b_n)_{n\in\bkN}$, sendo, para todo o
$n\in\bkN$,
\[a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\;\;\mbox{ e
}\;\;b_{n+1}=\sqrt{a_n b_n}.\]
\begin{enumerate}
\item Use o Princ\'\i pio da Indu\c c\~ao Matem\'atica para provar
que, para todo o $n\in\bkN$,
\[a_n>a_{n+1}>b_{n+1}>b_n.\]
\item Mostre que $\limm a_n=\limm b_n$.

(A este limite Gauss chamou {\em m\'edia
aritm\'etica-geom\'etrica} dos n\'umeros $a$ e $b$.)
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\newpage

 \centerline{{\large\sf Departamento de Matem\'atica da Universidade
de Coimbra}}

\centerline{\sf An\'alise Infinitesimal I}

{\sf Ano lectivo $2003/04$ \hfill Folha $8$ }

\vspace*{6mm}

{\large\sf CAP\'ITULO II: Limites}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{93}

\item Represente graficamente as seguintes fun\c c\~oes e indique
o seu dom\'\i nio e o seu contradom\'\i nio:\vspace*{3mm}\\
\begin{tabular}{clp{2mm}clp{2mm}cl}
(a)&$a(x)=1+|x|$&&(b)&$b(x)=|\sin x|$&&(c)&$c(x)=\sin |x|$
\end{tabular}\vspace*{3mm}\\
\begin{tabular}{clp{2mm}cl}
(d)&$d(x)=\left\{\begin{array}{ll} |\log |x||&\mbox{ se
$x\not\in\bkZ_0^+$}\\1&\mbox{ se }x\in\bkZ_0^+\end{array}\right.$
&&(e)&$e(x)=\left\{\begin{array}{ll} -x-5&\mbox{ se }x\geq 1\\
-1&\mbox{ se }-1\leq x<1\\x^2&\mbox{ se
}x<-1\end{array}\right.$\vspace*{3mm}\\
(f)&$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1&\mbox{ se }x\geq -1\\
\frac{1}{x}&\mbox{ se }x<-1\end{array}\right.$&&
(g)&$g(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sin\frac{1}{x}&\mbox{ se }x\neq
0\\0&\mbox{ se }x=0\end{array}\right.$\end{tabular}\vspace*{3mm}\\
\begin{tabular}{cl} (h)& $h(x)=x-[x]$, onde $[x]$ representa a
{\em caracter\'\i stica} de $x$,\\& isto \'e, o maior inteiro
menor ou igual a $x$.\end{tabular}

\item Considere a fun\c c\~ao $f:\bkR\to\bkR$ definida por
$f(x)=ax^2+bx+c$, com $a$, $b$ e $c$ constantes reais. Analise a
representa\c c\~ao gr\'afica de $f$, consoante o valor dos
par\^ametros $a$, $b$ e $c$.

\item Sendo $f(x)=kx^2+5x+k$, determine $k$ de modo que $f(x)>0$
para todo o $x\in\bkR$.

\item Sendo $f(x)=kx^2+3x+2k+1$, determine $k$ de modo que
$\sqrt{f(x)+2}$ tenha dom\'\i nio $\bkR$.

\item Determine o dom\'\i nio das seguintes fun\c c\~oes:
\vspace*{2mm}\\
\begin{tabular}{lp{1mm}lp{1mm}l}
(a) $f(x)=\sqrt{x^2-3}$&&(b) $g(x)=\sqrt[3]{x-1}$&&
(c) $h(x)=\sqrt{-2x}+\ds\frac{1}{\sqrt{1+x}}$\vspace*{1mm}\\
(d) $j(x)=1+2\cos x$&&(e) $l(x)=\log\ds\frac{x^2-2x+1}{x-1}$&&
(f) $m(x)=\ds\frac{\tan (x+1)}{\sqrt[4]{x}}$\vspace*{1mm}\\
(g) $n(x)=\sqrt{x}-\ds\frac{2^x}{x}$&&(h)
$o(x)=e^{\sqrt{x+1}}-\sin x$&&(i)
$p(x)=\log(1-\sqrt{x^2-1})$.\end{tabular}

\item Diga quais dos seguintes conjuntos de pontos s\~ao
gr\'aficos de fun\c c\~oes:
\vspace*{3mm}\\
\begin{tabular}{ll}
(a) $A=\{(x,y)\in\bkR^2\,;\,x^2+y^2=4\}$;&
(b) $B=\{(x,y)\in\bkR^2\,;\,x^2\leq 3\,\wedge\,y=-\sqrt{3-x^2}\}$;\vspace*{3mm}\\
(c) $C=\{(x,y)\in\bkR^2\,;\,xy=1\}$;&
(d) $D=\{(x,y)\in\bkR^2\,;\,|x|+|y|=1\}$;\vspace*{3mm}\\
(e) $E=\{(x,y)\in\bkN^2\,;\,y$ \'e divisor de $x\}$;& (f)
$F=\{(x,y)\in [-1,1]\times\bkR\,;\,x=\sin
y\}$;\vspace*{3mm}\\
(g) $G=\{(x,y) \in \bkR^2: x^2+y=4\}$;&(h) $H=\{(x,y) \in \bkR^2:
x^3+y^3=4\}$.\vspace{3mm}
\end{tabular}

\item Sendo $f:A\to B$, identifique as seguintes defini\c c\~oes:
\begin{enumerate}
\item $(\forall x\in A\;\exists y\in B\;:\;f(x)=y)\;\wedge\;
(\forall x_1,x_2\in A\;x_1=x_2\;\Rw\;f(x_1)=f(x_2))$. \item
$(\forall x_1,x_2\in A\;x_1\neq x_2\;\Rw\;f(x_1)\neq
f(x_2))\;\wedge\; (\forall y\in B\;\exists x\in A\;:\;f(x)=y)$.
\item $\forall x\in A\;-x\in A\;\wedge\;f(-x)=f(x)$. \item
$\forall x\in A\;-x\in A\;\wedge\;f(-x)=-f(x)$.
\end{enumerate}

\item Verifique quais das seguintes fun\c c\~oes s\~ao pares e
quais s\~ao \'\i mpares:\vspace*{2mm}\\
\begin{tabular}{clp{15mm}cl}
(a)&$f(x)=\ds\log\frac{2+x}{2-x}$;&&
(b)&$g(x)=\ds\frac{2}{3}(e^x+e^{-x})$;\vspace*{2mm}\\
(c)&$h(x)=\sqrt[3]{x+2}+\sqrt[3]{x-2}$;&& (d)&$l(x)=\sin^2
x-\cos(x+\pi)$.\vspace*{2mm}\end{tabular}

\item Verifique, usando a defini\c c\~ao, se s\~ao ou n\~ao
bijectivas as seguintes fun\c c\~oes:
\vspace*{2mm}\\
\begin{tabular}{clp{1mm}clp{1mm}cl}
(a)&$f(x)=\ds\frac{1}{7x+9}$&&(b)&$g(x)=5-3x^2$&&(c)&$h(x)=\tan
x$, $x\in \ds \left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[$.
\vspace*{2mm}\end{tabular}

\item Determine em que casos a fun\c c\~ao \'e invert\'\i vel e,
quando o for, determine a sua inversa e fa\c ca a representa\c
c\~ao gr\'afica de ambas as fun\c c\~oes:
\vspace*{2mm}\\
\begin{tabular}{clp{1mm}clp{1mm}cl}
(a)&$f(x)=\sin x$;&&(b)&$g(x)=\ds\frac{1}{x}$;&&(c)&$h(x)=x|x|$;\vspace*{2mm}\\
(d)&$i(x)=3x^2-2$;&&(e)&$j(x)=e^{x+1}$;&&(f)&$l(x)=\log
(x^3)$.\vspace*{2mm}\end{tabular}

\item Dada a fun\c c\~ao $f:\bkR\to\bkR$ tal que $f(x)=x^2$,
determine: \begin{enumerate} \item $f(\bkR)$; \item $f(A)$, com
$A=\{x\in\bkR\,;\,x\geq 4\}$; \item $f^{-1}(B)$, quando
$B=\{y\in\bkR\,;\,y>3\}$; \item $f^{-1}(C)$, para
$C=\{y\in\bkR\,;\,y<-3\;\vee\;y=1\}$.\end{enumerate}

\item Considere as fun\c c\~oes
\[f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x&\mbox{ se }x> 0\\
\ds\frac{1}{x}&\mbox{ se }x<0\\ 1&\mbox{ se
}x=0\end{array}\right.\;\mbox{
\hspace*{10mm} }\;g(x)=\left\{\begin{array}{ll} x+1&\mbox{ se }x\neq 0\\
0&\mbox{ se }x=0\end{array}\right.\] Indique o dom\'\i nio e a
express\~ao anal\'\i tica das fun\c c\~oes\vspace*{2mm}\\
(a) $h=f+g$,\hfill (b) $j=f\cdot g$,\hfill (c) $k=f/g$,\hfill (d)
$l=g/f$,\hfill (e) $m=\sqrt{f}$.\vspace*{2mm}

\item Determine o dom\'\i nio e a express\~ao anal\'\i tica de
$g\circ f$, sendo:
\begin{enumerate}
\item $f(x)=\sqrt{x}$ e $g(x)=\ds\frac{1}{x^2-1}$;\vspace*{2mm}
\item $f(x)=x+1$ e $g(x)=\sqrt{2x+3}$;\vspace*{2mm} \item
$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 2&\mbox{ se }x\geq 0\\
1&\mbox{ se }x<0\end{array}\right.$ e $g(x)=x^2-1$;\vspace*{2mm}
\item $f(x)=|x|$ e $g(x)=\ds\left\{\begin{array}{ll}
\log(x+1)&\mbox{ se
}x>-1\\
\ds\frac{1}{x}&\mbox{ se }x<-1.\end{array}\right.$\end{enumerate}

\item Sendo $f(x)=x^4$ e $g(x)=4^x$, determine o dom\'\i nio, o
contradom\'\i nio e a express\~ao anal\'\i tica das fun\c c\~oes
compostas $f\circ g$ e $g\circ f$.

\end{enumerate}

\newpage
\hspace*{10mm} \vspace*{-10mm}

 \centerline{{\large\sf Departamento de Matem\'atica da Universidade
de Coimbra}}

\centerline{\sf An\'alise Infinitesimal I}

{\sf Ano lectivo $2003/04$ \hfill Folha $9$}

\vspace*{6mm}

{\large\sf CAP\'ITULO II: Limites}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{107}

\item Para $X \subseteq \bkR$ limitado, $a \in X'$ e $f:X \to
\bkR$ traduza as seguintes afirma\c c\~oes para portugu\^es
corrente:
\begin{enumerate}
\item $\forall\varepsilon >0 \ \exists \delta >0: \forall x \in X
\ \ 0<|x-a|<\varepsilon \Rightarrow |f(x)-L|<\delta$; \item
$\exists \delta >0:\forall \varepsilon >0\ \forall x \in X \ \
0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$.
\end{enumerate}

\item Demonstre, usando a defini\c c\~ao, que:\vspace*{2mm}\\
\begin{tabular}{clp{1mm}clp{1mm}cl}
(a)&$\ds\lim_{x\to 4}\frac{1}{2}(3x-2)=5$;&&
(b)&$\ds\lim_{x\to\frac{\pi}{2}} [\sin x]=0$;&&
(c)&$\ds\lim_{x\to 3} \frac{9-x^2}{x-3}=-6$;\vspace*{1mm}\\
(d)&$\ds\lim_{x\to 0} x\sin\frac{1}{x}=0$;&& (e)&$\ds\lim_{x\to 4}
\sqrt{x}=2$;&& (f)&$\ds\lim_{x\to 0}
x^4\sin\frac{1}{\sqrt[3]{x}}=0$.\vspace*{1mm}
\end{tabular}

\item \begin{enumerate}
\item Mostre que, se $\lima f(x)$ existir e for $L$, ent\~ao
tamb\'em existe $\lima |f(x)|$ e \'e igual a $|L|$.
\item D\^e exemplos que mostrem que $\lima |f(x)|$ pode existir
n\~ao existindo $\lima f(x)$.
\item Mostre que $\lima f(x)=0$ se e s\'o se $\lima |f(x)|=0$.
\end{enumerate}

\item Sejam $f:D\subseteq\bkR\to\bkR$ positiva e $a\in D'$. Mostre
que, se existir $\lima f(x)=L>0$, ent\~ao existe $\lima
\frac{1}{f(x)}$ e \'e igual a $\ds\frac{1}{L}$.

\item Use o Teorema das Fun\c c\~oes Enquadradas para provar que:
\begin{enumerate}
\item $\ds\lim_{x\to 0}\frac{|x|}{\sqrt{x^4+4x^2+7}}=0$; \item
$\ds\lim_{x\to 0}x^2f(x)=0$, sendo $f$ tal que, para todo o
$x\in\bkR$, $0\leq f(x)\leq c\in\bkR$; \item Se $f$ e $g$ s\~ao
fun\c c\~oes com dom\'\i nio $X \subseteq \bkR$, $a \in X'$,
$\ds\lim_{x \to a} g(x)=0$ e $f$ \'e limitada numa vizinhan\c ca
de $a$, ent\~ao $\ds\lim_{x \to a} g(x)f(x)=0$.
\end{enumerate}

\item Supondo $a > 0$, calcule:\vspace*{1mm}\\
(a)\ $\displaystyle{\lim_{x \to 0} \frac{x}{a}
\Big[\;\frac{b}{x}\;\Big]}$; \hspace{20mm} (b)\
$\displaystyle{\lim_{x \to 0} \frac{b}{x}
\Big[\;\frac{x}{a}\;\Big]}$.

\item Demonstre, usando a defini\c c\~ao, que:\vspace*{2mm}\\
\begin{tabular}{clp{1mm}clp{1mm}cl}
(a)&$\limi \frac{x^2-4}{x^2}=1$;&&(b)&$\limi
\frac{7+2\sqrt{x}}{4\sqrt{x}}=\frac{1}{2}$;&& (c)&$\limi
\frac{1}{x}\sin x=0$; \vspace*{1mm}\\ (d)&$\limi
(x^2-2)=+\infty$;&&(e)&$\limi (x^2+4)=+\infty$;&&
(f)&$\ds\lim_{x\to 4} \frac{2}{|x-4|}=+\infty$.\vspace*{1mm}
\end{tabular}

\item Seja $p$ um polin\'omio real de grau $n$; isto \'e,
$p(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$, com $a_n,\cdots,a_1,a_0\in\bkR$ e
$a_n\neq 0$. Estude $\limi p(x)$ e $\ds\lim_{x\to -\infty}p(x)$.

\item Determine, usando propriedades dos limites, os seguintes
limites: \vspace*{2mm}\\
\begin{tabular}{clp{1mm}clp{1mm}cl}
(a)&$\ds\lim_{x\to 0}
\frac{2+x\sin\frac{1}{x}}{(x+3)^2}$;&&(b)&$\lima\frac{\sqrt{x-b}-\sqrt{a-b}}{x^2-a^2}\;
(a>b)$;&&
(c)&$\limi
\frac{3^x-2^x}{3^{x+1}+2^{x-3}}.$\vspace*{1mm}\end{tabular}

\item Verifique as seguintes igualdades, usando a teoria das
sucess\~oes:\vspace*{2mm}\\
\begin{tabular}{clp{15mm}clp{15mm}cl}
(a)&$\limi\frac{x^2-1}{x^2+1}=1$;&&(b)&$\limi\frac{x-a^x}{x+a^x}=-1$
($a>1$).\vspace*{1mm}\end{tabular}

\item Mostre que n\~ao existem os seguintes limites:
\vspace*{2mm}\\
\begin{tabular}{clp{10mm}clp{10mm}clp{10mm}cl}
(a)&$\ds\lim_{x\to 3}\frac{|x+3|}{9-x^2}$;&&(b)&$\ds\lim_{x\to 0}
\sin\frac{1}{x}$;&&(c)&$\ds\lim_{x\to 0^+}\sin\frac{1}{x}$;\vspace*{1mm}\\
(d)&$\ds\lim_{x\to 0^-}\sin\frac{1}{x}$;&&(e)&$\limi\sin x$;&&
(f)&$\ds\lim_{x\to -\infty}\sin x$.\vspace*{1mm}
\end{tabular}

\item Calcule os seguintes limites:\vspace*{2mm}\\
\begin{tabular}{lll}
(a) $\ds\lim_{x\to 1}\frac{x^2-7x+6}{x^3-x}$;& (b) $\ds\lim_{x\to
0^+}\left(\frac{\sin (\pi x)}{x}\right)^x$;& (c) $\limi
\frac{\sqrt{2x^4-3}}{\sqrt[3]{x^2-1}}$;\vspace*{2mm}\\
(d) $\ds\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}$;&(e)
$\limi(\sqrt{x^2-2}-\sqrt{x^2+3})$;&(f) $\limi(x^2-\cos x\log
x)$;\vspace*{2mm}\end{tabular}\\
(g) $\ds\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\tan
x$;\hfill (h) $\ds\lim_{x\to 0} \frac{\tan 2x}{\sin 3x}$;\hfill
(i) $\ds\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{\tan
x}\right)$;\hfill (j) $\displaystyle{\lim_{x \to
4}\frac{2-\sqrt{x}}{x-4} }$.

\item Estude a exist\^encia de limite, nos pontos indicados, das
fun\c c\~oes definidas por:\vspace*{1mm}\\
\begin{tabular}{ll}
(a) $\ds f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^2\sin\frac{1}{x}&\mbox{
se }x<0\\ (1+x)^\frac{1}{x}&\mbox{ se
}x>0\end{array}\right.,\;x=0$; & (b) $\ds
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{7+2\sqrt{x}}{4\sqrt{x}}&\mbox{ se }x\geq 1\\
\frac{-7+2\sqrt{1-x}}{4\sqrt{1-x}}&\mbox{ se
}x<1\end{array}\right.,\; x=1$;\vspace*{2mm}\\ (c) $\ds
f(x)=\frac{1}{1+e^\frac{1}{x}},\;x=0$; &(d) $\ds
f(x)=\frac{x+2+|x+2|}{x^2-4},\;x=2,\;x=-2$.\vspace*{1mm}\end{tabular}

\item Seja $f:\bkR\to\bkR$ a fun\c c\~ao de Dirichlet, que \'{e}
definida
por $f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1&\mbox{ se $x$ racional}\\
0&\mbox{ se $x$ irracional.}\end{array}\right.$\\
 Mostre que $f$ n\~ao tem limite em nenhum ponto.

\item Sejam $X=Y \cup Z \subseteq \bkR$, $a \in Y' \cap Z'$ e $f:X
\to \bkR$. Mostre que $$ \lim_{x \to a}f \big|_Y(x)=\lim_{x \to
a}f \big|_Z(x)=L \Rightarrow \lim_{x \to a}f(x)=L.$$

\item Seja $f:\bkR\to\bkR$ a fun\c c\~ao definida
por $f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1-x&\mbox{ se $x$ racional}\\
(x-1)^2-2&\mbox{ se $x$ irracional.}\end{array}\right.$\\
 Estude o limite
de $f$ nos pontos $1$ e $2$.

\item Determine os pontos de acumula\c{c}\~{a}o $a$ do dom\'\i nio de $f$
para os quais existe $\lima f(x)$, quando:
\begin{enumerate}
\item $f:\bkR\to\bkR$, com $f(x)=[x]$.
 \item $f:[0,2\pi]\to\bkR$, com
$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{1}{2}&\mbox{ se $x$ racional}\\
\sin x&\mbox{ se $x$ irracional.}\end{array}\right.$
\item $f:\bkR\to\bkR$, com $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\sin x&\mbox{ se $x$ racional}\\
\cos x&\mbox{ se $x$ irracional.}\end{array}\right.$ \item
$f:]0,1[\to\bkR$ tal que $\ds f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{1}{q}&\mbox{ se $x=\ds\frac{p}{q}$ com $p,q\in\bkN$, $p<q$,
$\mdc (p,q)=1$}\\
0&\mbox{ se $x$ irracional.}\end{array}\right.$
\item $f:\bkR\to\bkR$, com $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
1&\mbox{ se $x\in\bkN$}\\
0&\mbox{ se $x\in\bkQ\setminus\bkN$}\\
-1&\mbox{ se }x\in\bkR\setminus\bkQ.\end{array}\right.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage

 \centerline{{\large\sf Departamento de Matem\'atica da Universidade
de Coimbra}}

\centerline{\sf An\'alise Infinitesimal I}

{\sf Ano lectivo $2003/04$ \hfill Folha $10$}

\vspace*{6mm}

{\large\sf CAP\'ITULO III: Continuidade}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{124} \item Determine $k \in \bkR$ de forma a
que a fun\c c\~ao definida por
\[f(x)=\left\{ \begin{array}{ccc} \frac{1}{kx-2}   &\mbox{ se }& x>1\\
                                0                &\mbox{ se }& x=1\\
                                \frac{1}{k^2 x -4}&\mbox{ se }& x<1
        \end{array} \right.\]
tenha, em $a=1$:
\begin{enumerate}
\item uma descontinuidade remov\'\i vel; \item um p\' olo; \item
uma descontinuidade essencial de 1$^{\mathrm{a}}$ esp\'ecie.
\end{enumerate} \item Estude a continuidade das
fun\c c\~oes seguintes, indicando, nos pontos de descontinuidade,
o tipo de descontinuidade que ocorre:
\begin{enumerate}
\item $f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x\sin\ds\frac{1}{x}&\mbox{ se
}x\neq 0\\1&\mbox{ se }x=0\end{array}\right.$\vspace*{2mm}
  \item
$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\ds\frac{x+2+|x+2|}{x^2-4}&\mbox{ se $x\neq 2$ e $x\neq -2$}\\
0&\mbox{ se $x=2$ ou $x=-2$}\end{array}\right.$\vspace*{2mm}
 \item
$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \ds\tan x&\mbox{ se }x\not\in
\{\frac{\pi}{2}+k\pi\,;\, k\in\bkZ\}\vspace*{1mm}\\
\ds 0&\mbox{ se }x\in\{\frac{\pi}{2}+k\pi\,;\,
k\in\bkZ\}\end{array}\right.$\vspace*{2mm} \item
$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\ds\cos\frac{1}{x}&\mbox{ se }x\in\left]-\frac{\pi}{2},0\right[\\
0&\mbox{ se }x=0\\
\ds\frac{1}{\log(\sin x)}&\mbox{ se
}x\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[\end{array}\right.$\vspace*{2mm}
\item $f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \ds\frac{1}{\sin
x}-\frac{1}{2\pi-x}&\mbox{ se }x\in
\left]\frac{3}{2}\pi,\frac{5}{2}\pi\right[\setminus\{2\pi\}\\
0&\mbox{ se }x=2\pi\end{array}\right.$\vspace*{2mm} \item
$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
1-x&\mbox{ se }x\in\bkQ\\
(x-1)^2-2&\mbox{ se }x\not\in\bkQ.\end{array}\right.$\vspace*{2mm}
\end{enumerate}

\item Encontre uma bijec\c c\~ao $f:\bkR\to\bkR$ que seja
descont\'\i nua em todos os pontos.

\item Prove que a equa\c c\~ao $x^3-9x^2+7$ tem tr\^es
ra{\'\i}zes, uma em cada um dos intervalos abertos $]-1,0[$,
$]0,1[$ e $]6,9[$. Melhore o resultado aproximando-as at{\'e}
{\`a}s d\'ecimas.

\item Seja $f(x)=\tan x$. Verifique que $\ds
f\left(\frac{\pi}{4}\right)=1$ e $\ds
f\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-1$. Pode concluir que existe $c\in
\ds\left]\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right[$ tal que $f(c)=0$?

\item Prove que existe um n\'umero real $c$ tal
que:\vspace*{2mm}\\
\begin{tabular}{ll}
(a) $0<c<\ds\frac{\pi}{2}$ e $\sin c=0,7$;\hspace*{20mm} &(b)
$\ds\frac{\pi}{2}<c<\pi$ e $\cos
c=-\ds\frac{3}{4}$;\vspace*{1mm}\\
(c) $c^3=2$; &(d) $c>0$ e $c^2=3$.
\end{tabular}

 \item \begin{enumerate} \item Mostre que:
\begin{enumerate}
\item a equa\c c\~ao $x^4+x-1=0$ tem uma solu\c c\~ao em $\bkR$;
\item o polin\'omio $p(x)=x^4+2x^3-2$ admite pelo menos uma raiz no
intervalo $[0,1]$.\end{enumerate}
\item Ser\'a que todo o polin\'omio de grau 4 tem uma raiz real?
\end{enumerate}

\item Mostre que:
\begin{enumerate}
\item a equa\c c\~ao $x^3-x-1=0$ tem uma solu\c c\~ao em $\bkR$.
\item Qualquer polin\'omio de grau \'\i mpar tem pelo menos
uma raiz real.
\end{enumerate}
Conclua que, para cada $a\in\bkR$ e $p\in\bkN$ \'\i mpar, existe
pelo menos um n\'umero real $b$ tal que $b^p=a$.

\item \begin{enumerate}
\item Seja $f$ uma fun\c c\~ao cont\'\i nua em $[0,1]$ tal que $0
\leq f(x) \leq 1$. Mostre que existe $c \in [0,1]$ tal que
$f(c)=c$. (A um ponto $x$ tal que $f(x)=x$ chama-se {\em ponto
fixo} da fun\c c\~ao $f$.)
\item D\^e um exemplo de uma fun\c c\~ao cont\'\i nua
$f:[0,1[\to[0,1[$ que n\~ao tenha nenhum ponto fixo.
\end{enumerate}

\item Seja $f$ uma fun\c c\~ao cont\'\i nua em $[0,\frac{\pi}{2}]$
tal que $0 \leq f(x) \leq 1$ para todo o $x \in
[0,\frac{\pi}{2}]$. Prove que existe $c \in [0,\frac{\pi}{2}]$ tal
que $f(c)=\cos c$.

\item Seja $f(x)=\ds\frac{x-2}{x}$.
\begin{enumerate}
\item Verifique que $f(-1)>0$ e que $f(1)<0$.
\item A fun\c c\~ao anula-se nalgum ponto entre $-1$ e $1$?
\item Compare as suas conclus\~oes com o Teorema do Valor
Interm\'edio.
\end{enumerate}

\item Considere a fun\c c\~ao definida por $f(x)=x^2-3x+2$.
\begin{enumerate}
\item Calcule $f(0)$ e $f(3)$.
\item Mostre que existe pelo menos um $c\in [0,3]$ tal que
$f(c)=0$.
\item Explique porque \'e que esta situa\c c\~ao n\~ao contradiz o
Teorema do Valor Interm\'edio.
\end{enumerate}

\item D\^e exemplos de fun\c c\~oes invert\'\i veis, com pontos de
descontinuidade, cujas inversas sejam fun\c c\~oes cont\'\i nuas.

\item Verifique se a fun\c c\~ao $f$ indicada em seguida \'e
limitada e determine os seus extremos, caso
existam.\vspace*{2mm}\\
\begin{tabular}{ll}
(a) $f:[-1,2[\to\bkR$, com $f(x)=x^2-1$; &(b) $f(x)=\tan x$, com $
0\leq x<\frac{\pi}{4}$;\vspace*{1mm}\\
(c) $f:]0,2]\to\bkR$, definida por $
f(x)=\frac{4}{x^2}$;\hspace*{20mm} &(d) $ f(x)=\frac{|x-2|}{x-2}$.
\end{tabular}

\item Indique os extremos da fun\c c\~ao
\[\begin{array}{rcl}
f:[0,2]\setminus\{1\}&\to&\bkR\\
x&\mapsto&\frac{x^2-1}{x-1}.\end{array}\] A fun\c c\~ao toma todos
os valores entre eles? Justifique a sua resposta.
\end{enumerate}
\newpage

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de Coimbra}}

\centerline{\sf An\'alise Infinitesimal I}

{\sf Ano lectivo $2003/04$ \hfill Folha $11$}

\vspace*{6mm}

{\large\sf CAP\'ITULO IV: C\'alculo Diferencial}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{139}

\item Calcule, usando a defini\c c\~ao, a derivada da fun\c c\~ao
$f$ no ponto $a$ indicado:\vspace*{2mm}\\
\begin{tabular}{lll}
(a) $f(x)=x^2-4$, $a=0$;&(b) $f(x)=9-x^2$, $a=1$;&\hspace*{3mm}
(c) $f(t)=3t^2-t$, $a=-1$;\vspace*{1mm}\\ (d)
$f(x)=(x-1)\sqrt{x}$, $a=1$;\hspace*{3mm} & (e)
$f(x)=\frac{1}{x-2}$, $a=1$.\end{tabular}

\item Usando a defini\c c\~ao, determine a fun\c c\~ao derivada
das seguintes fun\c c\~oes:
\begin{enumerate}
\item $f(x)=\cos x$; \item $f(x)=e^x$ (sabendo que $\ds\lim_{h\to
0} \frac{e^h-1}{h}=1$); \item $f(x)=a$, com $a\in\bkR$; explique
como pode concluir imediatamente o resultado do gr\'afico de
$f$;\item $f(x)=ax+b$, com $a,b\in\bkR$; explique como pode
concluir imediatamente o resultado do gr\'afico de $f$;\item
$f(x)=x|x|$; \item $f(t)=t^2-1$;\item $f(x)=x-x^2$; \item
$g(u)=\frac{1}{u^2}$; \item $f(x)=(x-a)^n$, com $a\in\bkR$.
\end{enumerate}

\item Sejam $f,g,h:X\to\bkR$ tais que $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$
para todo o $x\in X$ e $a\in X\cap X'$. Mostre que, se
$f(a)=h(a)$, $f$ e $h$ s\~ao deriv\'aveis em $a$ e $f'(a)=h'(a)$,
ent\~ao $g$ \'e deriv\'avel em $a$ e $f'(a)=g'(a)=h'(a)$.

\item Sejam $f(x)=x^2$ e $a=3$.
\begin{enumerate}
\item Qual a fun\c c\~ao linear $l(x)$ que melhor aproxima $f(x)$
quando $x$ est\'a pr\'oximo de $a$? \item Use $l(x)$ para obter um
valor aproximado de $(3.12)^2$ (cujo valor real \'e 9.7344).
\end{enumerate}

\item Para cada uma das fun\c c\~oes $f$ seguintes, use a
aproxima\c c\~ao linear em $a$ para calcular um valor aproximado
de $c$. Compare estes valores com os valores obtidos numa
calculadora.\vspace*{2mm}\\
\begin{tabular}{clp{5mm}cl}
(a)& $f(x)=x^3$, $a=1$, $c=(1.06)^3$;&&(b)&$f(x)=\frac{x}{1+x}$,
$a=2$, $c=\frac{2.04}{1+2.04}$;\vspace*{1mm}\\
(c)&$f(x)=\cos x$, $a=\frac{\pi}{3}$, $c=\cos 1$;&& (d)&$f(x)=\sin
x$, $a=\frac{\pi}{6}$, $c=\sin 0.5$.\end{tabular}

\item Em cada um dos casos seguintes, escolha uma fun\c c\~ao e um
ponto $a$ adequados, e use a aproxima\c c\~ao linear dessa fun\c
c\~ao em $a$ para obter um valor aproximado dos seguintes
n\'umeros:\vspace*{2mm}\\
\begin{tabular}{clp{5mm}clp{5mm}cl}
(a)&$(3.026)^2$;&&(b)&$\frac{1}{(0.97)^3}$;&&(c)&$\sqrt[4]{15}$;\vspace*{1mm}\\
(d)&$\tan 3$;&&(e)&$\sin 0.045$;&&(f)&$\tan 0.092$.\end{tabular}

\item Determine a fun\c c\~ao derivada de cada uma das fun\c
c\~oes seguintes:
\vspace*{2mm}\\
\begin{tabular}{lll}
(a) $f(x)=\tan x-3\sec x$;&(b) $f(x)=\cot x+2\csc x$;&(c)
$f(x)=\sin x\cos x$;\vspace*{1mm}\\
(d) $f(x)=\sqrt[4]{x}(x^2+1)$;& (e)
$f(x)=\frac{\sqrt[3]{x}-1}{x^3+1}$;&(f) $f(x)=x^\frac{1}{3}\cos
x-x^{-\frac{1}{3}}\sin x$.\end{tabular}

\item Determine as fun\c c\~oes derivadas das fun\c c\~oes
seguintes:
\begin{enumerate}
\item $f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \sqrt{x}&\mbox{ se }x>0\\
-5&\mbox{ se }x=0\\
\tan x&\mbox{ se }-\frac{\pi}{2}<x<0\end{array}\right.$ \item
$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x^3&\mbox{ se }x<0\\
2&\mbox{ se }0\leq x\leq 1\\
(x-1)^2+2&\mbox{ se }x>1\end{array}\right.$ \item
$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 2x&\mbox{ se }x\leq 0\\
-x^2+4x&\mbox{ se }0<x<2\\
5&\mbox{ se }x>2\end{array}\right.$ \item $f(x)=1+|\sin x|$,
$x\in[0,2\pi]$; \item $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x+\log(2-x)&\mbox{ se }x<1\\
e^{1-x}&\mbox{ se }x\geq 1\end{array}\right.$ \end{enumerate}

\item Use o M\'etodo de Newton com o valor inicial $x_1$ dado,
para encontrar a terceira apro\-xi\-ma\c c\~ao, $x_3$, da raiz da
equa\c c\~ao dada:
\vspace*{2mm}\\
\begin{tabular}{clp{5mm}cl}
(a)& $x^3+x+1=0$, $x_1=-1$; &&(b)& $x^3-x^2-1=0$, $x_1=1$;\vspace*{1mm}\\
(c)& $x^4-20=0$, $x_1=2$;&&(d)&$x^7-100=0$, $x_1=2$.\end{tabular}

\item Explique porque \'e que o M\'etodo de Newton n\~ao funciona
para encontrar as ra\'\i zes da equa\c c\~ao $x^3-3x+6=0$ se o
valor inicial escolhido for $x_1=1$.

\item Usando o Teorema da derivada da fun\c c\~ao composta,
determine a derivada das fun\c c\~oes definidas
por:\vspace*{2mm}\\
\begin{tabular}{lll}
(a) $f(x)=\sin\sqrt{x}$ & (b) $f(x)=\sqrt{4-x^2}$ &
(c) $f(x)=\log x$ \vspace{0.5em}\\
(d) $f(x)=4^x$ & (e) $f(x)=4^{\sqrt{x^2-1}}$ &
(f) $f(x)=\sin(\log x)$ \vspace{0.5em}\\
(g) $f(x)=\log(\sin x)$ & (h) $f(x)=\log \big( \sin x^{\cos x}
\big)$ &
(i) $f(x)=\sin x^{\cos x}$ \vspace{0.5em}\\
(j) $f(x)=g(x)^{h(x)}$ \vspace{0.5em} & (k) $f(x)=\sqrt{\log
\sqrt{x}}$ & (l) $f(x)=\log \sqrt{\log \sqrt{x}}.$
\end{tabular}

\item Use as identidades
\[\cos x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\mbox{ e
}\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x\] e o Teorema da derivada
da fun\c c\~ao composta para calcular a derivada da fun\c c\~ao
$\cos$ \`a custa da derivada da fun\c c\~ao $\sin$.

\item D\^e uma demonstra\c c\~ao da f\'ormula
\[\left(\frac{f}{g}\right)'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}\]
usando a f\'ormula do produto e o Teorema da derivada da fun\c
c\~ao composta.

\item Cada uma das equa\c c\~oes seguintes define uma ou mais
fun\c c\~oes $y$ na vari\'avel $x$. Usando o regra da derivada da
fun\c c\~ao impl\'\i cita, determine $y'$:
\vspace*{2mm}\\
\begin{tabular}{clp{5mm}clp{5mm}cl}
(a)&$x^2+y^2=3$;&&(b)&$\ds\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=1$;&&(c)&$y=(x+y)^2$;\vspace*{2mm}\\
(d)&$\sin(x+y)=\sin x+\sin y$;&&(e)&$\ds
x=\frac{y-1}{y+1}$&&(f)&$\ds x^2-y^2=\frac{x^2}{y^2}$.
\end{tabular}
\end{enumerate}
\newpage

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de Coimbra}}

\centerline{\sf An\'alise Infinitesimal I}

{\sf Ano lectivo $2003/04$ \hfill Folha $12$}

\vspace*{6mm}

{\large\sf CAP\'ITULO IV: C\'alculo Diferencial}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{153}

\item Determine o m\'aximo e o m\'\i nimo absolutos das seguintes
fun\c c\~oes nos intervalos indicados:

$\begin{array}{ll} \mbox{(a) }f(x)=3x^2-10x+7,\ X=[-1,3]; &
\mbox{(b) }f(x)=5-6x^2-2x^3,\ X=[-3,1];\vspace*{0.5em}\\
\mbox{(c) }f(x)=x^3+1,\ X=[-1,1]; & \mbox{(d) }f(x)=\sin x \cos
x,\ X=[0,\pi].
\end{array}$

 \item Considere a fun\c c\~ao $f:\bkR\to\bkR$ definida por
$f(x)=|x|$. \begin{enumerate} \item Verifique que $f'$ toma
valores positivos e negativos mas nunca se anula. Estar\'a este
facto em contradi\c c\~ao com o Teorema de Darboux? \item Mostre
que $f(-1)=f(1)$ mas $f'(c)\neq 0$ para todo o $c$ no intervalo
$]-1,1[$. Estar\'a este facto em contradi\c c\~ao com o Teorema de
Rolle?
\end{enumerate}

\item Considere a fun\c c\~ao $f:\bkR\to\bkR$ definida por
$f(x)=x^2\sin\frac{1}{x}$ se $x\neq 0$ e $f(0)=0$.
\begin{enumerate}
\item Calcule $f'(x)$ quando $x\neq 0$. \item Verifique que n\~ao
existem $\ds\lim_{x\to 0^-}f'(x)$ e $\ds\lim_{x\to 0^+} f'(x)$.
\item Poder-se-\'a concluir da al\'\i nea anterior que n\~ao
existe $f'(0)$? Verifique, usando a defini\c c\~ao, se $f$ \'e
deriv\'avel em $0$.
\end{enumerate}

\item O que acontece ao tentarmos aplicar o Teorema de Rolle \`a
fun\c c\~ao $f(x)=x^{\frac{2}{3}}$ no intervalo $[-1,1]$?

\item Aplicando o Teorema de Rolle \`a fun\c c\~ao $f(x)=(x-1)\tan
x$ no intervalo $[0,1]$, mostre que a equa\c c\~ao $\sin 2x=2-2x$
tem pelo menos uma solu\c c\~ao entre $0$ e $1$.

\item Seja $f(x)=(x-1)(x-2)(x^2+1)$.
\begin{enumerate}
\item Porque \'e que $f'(x)$ tem que ser $0$ para algum $x$ entre
$1$ e $2$? \item Calcule $f'(x)$ e confirme, usando o Teorema de
Darboux, que a equa\c c\~ao $f'(x)=0$ tem uma solu\c c\~ao entre
$1$ e $2$.
\end{enumerate}

 \item \begin{enumerate}
 \item Explique porque \'e que a equa\c c\~ao $x^3+x-1=0$
n\~ao pode ter mais do que uma raiz real. \item Use o Teorema de
Rolle para provar que a equa\c c\~ao $\alpha x^3+\beta x^2+\gamma
x+\delta=0$ n\~ao pode ter mais do que uma solu\c c\~ao real
quando $\beta^2<3\alpha\gamma$.
\end{enumerate}

\item Suponha que $f:[a,b]\to\bkR$ \'e cont\'\i nua e que $f'(x)$
existe e n\~ao se anula em $]a,b[$. Se $f(a)$ e $f(b)$ t\^em
sinais opostos, prove que a equa\c c\~ao $f(x)=0$ tem uma e uma
s\'o solu\c c\~ao em $]a,b[$.

 \item Seja $f:[a,b]\to\bkR$ uma fun\c c\~ao cont\'\i nua,
deriv\'avel em $]a,b[$ tal que $f(a)=f(b)=0$. Mostre que existe
$c\in ]a,b[$ tal que $f'(c)=f(c)$. (Sugest\~ao: Use a fun\c c\~ao
$g(x)=f(x)e^{-x}$.)

\item Seja $f:[a,b]\to\bkR$ uma fun\c c\~ao cont\'\i nua em
$[a,b]$, duas vezes deriv\'avel em $]a,b[$ e que se anula em
tr\^es pontos distintos de $[a,b]$. Mostre que existe $c\in ]a,b[$
tal que $f''(c)=0$.

\item Considere a fun\c c\~ao $f$ definida por
$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} (\log |x|)+1&\mbox{ se }x<0,\\
(\log x)-7&\mbox{ se }x>0.\end{array}\right.$
\begin{enumerate}
\item Verifique que $f$ possui derivada em todos os pontos do
dom\'\i nio e que $f'(x)=(\log |x|)'$. \item Verifique que a fun\c
c\~ao $h(x)=f(x)-\log |x|$ n\~ao \'e constante. \item Estar\~ao
estes resultados em contradi\c c\~ao com o Teorema de Lagrange?
Porqu\^e?
\end{enumerate}

\item Mostre que, ao aplicar o Teorema do Valor M\'edio \`a fun\c
c\~ao $f(x)=\alpha x^2+\beta x+\gamma$ num intervalo $[a,b]$
qualquer, o ponto $x$ onde a tangente ao gr\'afico \'e paralela
\`a recta que passa por $(a,f(a))$ e $(b,f(b))$ \'e o ponto
m\'edio do intervalo $[a,b]$.

\item Seja $f$ uma  fun\c c\~ao cont\'\i nua em $[0,1]$ e
deriv\'avel em $]0,1[$ tal que $f(1)=4$. Prove que existe $c \in
]0,1[$ tal que $f(c)+cf^{\prime}(c)=4$.

\item Indique, justificando,  se as afirma\c c\~oes seguintes
s\~ao verdadeiras ou falsas:
\begin{enumerate}
\item Se $I$ for um intervalo contendo $0$ no seu interior, n\~ao
existe nenhuma fun\c c\~ao deriv\'avel $f:I\to\bkR$ cuja derivada
seja a fun\c c\~ao $g:I\to\bkR$, definida por
\[g(x)=\left\{\begin{array}{ll} \sin^2 x&\mbox{ se }x\neq 0,\\
-5&\mbox{ se }x=0.\end{array}\right.\]

\item Existe uma fun\c c\~ao $f:\bkR\to\bkR$ cuja derivada \'e a
fun\c c\~ao
$h:\bkR\to\bkR$, com \[h(x)=\left\{\begin{array}{ll} x-4 &\mbox{ se }x<3,\\
-1&\mbox{ se }x=3,\\
\frac{1}{x-3}&\mbox{ se }x>3.\end{array}\right.\]

\item Se existirem as derivadas laterais de uma fun\c c\~ao $f$
num ponto $a$ do seu dom\'\i nio, ent\~ao $f$ \'e cont\'\i nua em
$a$.

\item Existem uma fun\c c\~ao deriv\'avel em $[-1,1]$ e $c\in
]-1,1[$ tais que o declive da tangente ao gr\'afico de $f$ no
ponto $(c,f(c))$ \'e igual a $\frac{1}{2}(f(1)-f(-1))$.

\item Se $f:X\to\bkR$ for constante num subconjunto $Y$ de $X$,
ent\~ao, em cada ponto de $Y\cap Y'$, a derivada de $f$ existe e
\'e zero.

\item Se $f:X\to\bkR$ for constante num intervalo $Y$ contido em
$X$, ent\~ao, em cada ponto de $Y$, a derivada de $f$ existe e \'e
zero.

\item Se $f:X\to\bkR$ for constante num aberto $Y$ de $X$,
ent\~ao, em cada ponto de $Y$, a derivada de $f$ existe e \'e
zero.

\item Uma fun\c c\~ao cont\'\i nua num ponto \'e deriv\'avel nesse
ponto.

\item Sejam $f$ e $g$ duas fun\c c\~oes deriv\'aveis num ponto de
acumula\c c\~ao $a$ do seu dom\'\i nio. Se $f(a)=g(a)$, ent\~ao
$f'(a)=g'(a)$.

\item Se $f,g:X\to\bkR$ forem duas fun\c c\~oes deriv\'aveis em
todos os pontos do dom\'\i nio e tais que $f'(x)=g'(x)$ para todo
o $x\in X$, ent\~ao $f=g$.

\item Se $f,g:X\to\bkR$ forem duas fun\c c\~oes deriv\'aveis em
todos os pontos do dom\'\i nio e tais que $f'(x)=g'(x)$ para todo
o $x\in X$, ent\~ao $f-g:X\to\bkR$ \'e uma fun\c c\~ao constante.

\item Seja $f:X\to\bkR$ uma fun\c c\~ao deriv\'avel em $a\in X\cap
X'$. Se $f'(a)>0$, ent\~ao existe um intervalo aberto $I$,
contendo $a$, tal que $f$ \'e crescente em $X\cap I$.

\item Seja $f:X\to\bkR$ uma fun\c c\~ao deriv\'avel num ponto
$a\in X\cap X'$. Se $f'(a)=0$, ent\~ao n\~ao existe nenhum
intervalo aberto $I$, contendo $a$, tal que $f$ seja mon\'otona em
$X\cap I$.

\item A equa\c c\~ao $\cos x=2x$ tem uma \'unica solu\c c\~ao em
$[0,\frac{\pi}{4}]$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage

 \centerline{{\large\sf Departamento de Matem\'atica da Universidade
de Coimbra}}

\centerline{\sf An\'alise Infinitesimal I}

{\sf Ano lectivo $2003/04$ \hfill Folha $13$}

\vspace*{6mm}

{\large\sf CAP\'ITULO IV: C\'alculo Diferencial}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{167} \item Considere as fun\c c\~oes cujos
gr\'aficos est\~ao esbo\c cados em seguida. Com a excep\c c\~ao da
fun\c c\~ao da al\'\i nea (l), todas as fun\c c\~oes t\^em a sua
derivada tamb\'em representada. Identifique cada uma das
derivadas, justificando a sua resposta.\vspace*{18mm}\\
\hspace*{-5mm}\begin{tabular}{cp{38mm}cp{38mm}cp{38mm}}
  (a)&&(b)&&(c)&\vspace*{34mm}\\
  (d)&&(e)&&(f)&\vspace*{34mm}\\
  (g)&&(h)&&(i)&\vspace*{34mm}\\
  (j)&&(k)&&(l)&\vspace*{18mm}\end{tabular}\vspace*{2mm}

\item Diz-se que a fun\c c\~ao $F:X\to\bkR$ \'e uma primitiva de
$f:X\to\bkR$ se, para todo o $x\in X$, $F'(x)=f(x)$.

Determine todas as primitivas das fun\c c\~oes seguintes:
\vspace*{2mm}\\
\begin{tabular}{clp{10mm}clp{10mm}cl}
(a)&$f(x)=1-x$;&&(b)&$f(x)=x^2-4$;&&(c)&$f(x)=x-|x|$;\vspace*{1mm}\\
(d)&$f(x)=\sin x$;&&(e)&$f(x)=\cos x$;&&(f)&$f(x)=\tan
x$.\end{tabular}

\item Determine a equa\c c\~ao de uma curva que passa na origem e
que cuja recta tangente ao ponto $(x,y)$ tem declive $2(x-1)$.

\item Confirme que a fun\c c\~ao $f:\bkR\to\bkR$, definida por
$f(x)=\sin^2x$, \'e uma primitiva de $g(x)=2\sin x\cos x$. Da
igualdade $2\sin x\cos x=\sin 2x$ resulta que outra primitiva de
$g$ \'e dada por $h(x)=\ds -\frac{1}{2}\cos 2x$. Atendendo a um
dos corol\'arios do Teorema de Lagrange, as fun\c c\~oes $f$ e $h$
diferem por uma constante. Qual \'e essa constante?

\item As fun\c c\~oes $f(x)=\ds\frac{|x|}{x}$ e $g(x)=2$ t\^em a
mesma derivada em todos os pontos $x$ diferentes de zero. No
entanto, a sua diferen\c ca n\~ao \'e uma fun\c c\~ao constante.
Explique porque \'e que esta situa\c c\~ao n\~ao invalida o
corol\'ario do Teorema do Valor M\'edio referido no exerc\'\i cio
anterior.

\item Calcule os limites das fun\c c\~oes
seguintes, nos pontos indicados:\vspace*{2mm}\\
\begin{tabular}{clp{5mm}clp{5mm}cl}
(a)&$\ds\limi\frac{x^2}{x+1}$;&&(b)&$\ds\lim_{x\to 0}\frac{x\sin
x}{1-\cos x}$;&&(c)&$\limi x\tan\frac{1}{x}$;\vspace*{1mm}\\
(d)&$\ds\lim_{x\to
0}(1+3x)^{\frac{1}{2x}}$;&&(e)&$\ds\lim_{x\to\frac{\pi}{2}^-}(\cos
x)^{\frac{\pi}{2}-x}$;&&(f)&$\limi
\left(1+\frac{k}{x}\right)^x$;\vspace*{1mm}\\
(g)&$\limi x^{\frac{1}{x}}$;&&(h)&$\ds\lim_{x\to 2\pi}
(\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{2\pi-x})$;&&(i)&$\ds\lim_{x\to
0}(\frac{1}{x^2}-\frac{\sin^2 x}{x^4})$.
\end{tabular}

\item \begin{enumerate} \item Usando a Regra de Cauchy, prove que:
 \item  $\limi \frac{x^\alpha}{\log x}=+\infty$,
qualquer que seja o n\'umero real positivo $\alpha$; \item $\limi
\frac{x^n}{e^x}=0$, qualquer que seja o n\'umero natural $n$;
\item usando a al\'\i nea anterior, conclua que $\limi
\frac{x^\alpha}{e^x}=0$, qualquer que seja $\alpha\in\bkR
$.\end{enumerate}

\item Verificando que n\~ao se pode aplicar a Regra de Cauchy,
calcule os seguintes limites:
\vspace*{2mm}\\
\begin{tabular}{clp{5mm}clp{5mm}cl}
(a)&$\limi\frac{x-\cos x}{x}$;&&(b)&$\ds\lim_{x\to
0}\frac{x^2\sin\frac{1}{x}}{x}$;&& (c)&$\limi\frac{x-\sin
x}{x+\sin x}$;\vspace*{2mm}\\
(d)&$\ds\lim_{x\to 0}\frac{x^2\sin\frac{1}{x}}{\sin
x}$;&&(e)&$\ds\lim_{x\to
0^+}\frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x}$.\end{tabular}

\item Seja $f:\bkR\to\bkR$ definida por $f(x)=x^3-1$. Determine os
seus polin\'omios de Taylor de ordem 4
 no ponto 0 e no ponto 1.

\item Determine o polin\'omio de Taylor da fun\c c\~ao
$f(x)=x+\frac{1}{x}$ de ordem 3 no ponto -1.

 \item Seja
$f:\bkR\to\bkR$ uma fun\c c\~ao tr\^es vezes deriv\'avel tal que
$f''(x)+xf'(x)+x^2=1$, $f'(0)=1$, $f(0)=-1$. Determine o
polin\'omio de Taylor, de ordem tr\^es, de $f$ em $0$.

\item\label{taylor} Determine o polin\'omio de Taylor de ordem n,
no ponto zero, da fun\c c\~ao $f$, quando:
\vspace*{2mm}\\
\begin{tabular}{clp{10mm}clp{10mm}cl}
(a)& $f(x)=x^3-1$;&&(b)& $f(x)=e^x$;&&(c)&$f(x)=\frac{1}{1+x}$ \vspace*{1mm}\\
(d)&$f(x)=\log
(1+x)$;&&(e)&$f(x)=\frac{1}{2-x}$;&&(f)&$f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x}}$.\end{tabular}

\item\label{taylor2} Determine o polin\'omio de Taylor:
\begin{enumerate} \item de ordem $2n$, quando $f(x)=\cos x$, no
ponto 0; \item de ordem $2n+1$, para $f(x)=\sin x$, no ponto 0.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
\newpage

 \centerline{{\large\sf Departamento de Matem\'atica da Universidade
de Coimbra}}

\centerline{\sf An\'alise Infinitesimal I}

{\sf Ano lectivo $2003/04$ \hfill Folha $14$}

\vspace*{6mm}

{\large\sf CAP\'ITULO IV: C\'alculo Diferencial}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{166}

\item \begin{enumerate} \item Escreva a f\'ormula de Taylor de
ordem $n$ no ponto $0$, com resto de Lagrange, da fun\c c\~ao
$\log(1+x)$.
 \item Usando a
f\'ormula anterior, demonstre que \[x-\ds\frac{x^2}{2}<\log
(1+x)<x,\] para qualquer $x\in\bkR^+$.
\end{enumerate}

\item Considere a fun\c c\~ao $f(x)=e^x$ e o seu polin\'omio de
Taylor $p_n(x)$ (j\'a calculado no Exerc\'\i cio \ref{taylor}) e
seja $r_n(x)=e^x-p_n(x)$.
\begin{enumerate}
\item Mostre que
\[|r_n(x)|\leq \frac{e^{|x|}}{(n+1)!}|x|^{n+1}.\]
\item Use o polin\'omio de Taylor de ordem 4 para calcular um
valor aproximado de $e^{0.2}$.
\item O valor de $e$ pode ser
calculado tomando $x=1$ na f\'ormula de Taylor da fun\c c\~ao $f$.
\begin{enumerate}
\item Usando o facto de $e<3$, explique porque porque \'e que
\[|r_n(1)|<\frac{3}{(n+1)!}.\]
\item Qual o valor de $n$ que guarante que no valor estimado de
$e$ as tr\^es primeiras casas decimais est\~ao
correctas?\end{enumerate}
 \item Determine um valor aproximado de $\sqrt{e}$ a menos
de $10^{-3}$.\end{enumerate}

\item No Exerc\'\i cio \ref{taylor2} determinou-se o polin\'omio
de Taylor de ordem $n$, no ponto $0$, da fun\c c\~ao $\sin$.
Escreva a f\'ormula de Taylor de ordem $n$ desta fun\c c\~ao, no
ponto $0$, e mostre que
\[|r_n(x)|\leq \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}.\]

\item \begin{enumerate} \item Explique porque \'e que $|\sin
x-x|\leq \frac{1}{6}|x|^3$. \item Deduza que \[\left|\frac{\sin
x}{x}-1\right|\leq\frac{1}{6}|x|^2\] para todo o $x\neq 0$ e use
esta desigualdade para provar que $\ds\lim_{x\to 0}\frac{\sin
x}{x}=1$. \end{enumerate}

\item D\^e um exemplo de uma fun\c c\~ao deriv\'avel, definida num
intervalo, que tenha um m\'aximo nesse intervalo e cuja derivada
nunca se anule.

\item Ser\'a que a fun\c c\~ao $f:]0,\pi[\to\bkR$ definida por
$\ds\frac{\sin x}{x}$ atinge um m\'aximo e um m\'\i nimo em
$]0,\pi[$? Justifique.

\item Determine, caso existam, os extremos locais das seguintes
fun\c c\~oes:
\begin{enumerate}
\item $f(x)=\ds\frac{x^5}{5}-\frac{x^3}{3}+1$, $x\in [-2,3[$;
\item $f(x)=\ds\frac{x}{\log x}$, $x\in\,]1,+\infty[$; \item
$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} -x&\mbox{ se }x<3,\\
-5&\mbox{ se }x=3,\\
(x-2)^2-9&\mbox{ se }x>3;\end{array}\right.$ \item $f:\bkR\to\bkR$
definida por $f(x)=\ds\frac{1}{|x|}$ se $x\neq 0$ e
$f(0)=4$.\end{enumerate}

 \item Fa\c ca o estudo completo das
seguintes fun\c c\~oes:
\vspace*{2mm}\\
\begin{tabular}{clp{3mm}clp{3mm}cl}
(a)& $f(x)=x^3-3x+2$;&&(b)& $f(x)= x^4-8x^2+16$; &&(c)&
$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$;\vspace*{2mm}\\
(d)& $f(x)=\frac{4(x-1)}{x^2}$;&&(e)& $f(x)=\sqrt{|x|}$;&&(f)&
$f(x)=\sqrt{4-x^2}$.\end{tabular}\vspace*{2mm}

\item Fa\c ca o estudo completo das seguintes fun\c c\~oes
trigonom\'etricas:\vspace*{2mm}\\
\begin{tabular}{clp{5mm}clp{5mm}clp{5mm}cl}
(a)& $y=\tan x$;&&(b)& $y=\cot x$;&&(c)& $y=\sec x$;&&(d)& $y=\csc
x$.\end{tabular}\vspace*{2mm}

\item Seja $y=\sqrt{3-x}$. \begin{enumerate} \item Verifique que
$y'=\frac{3(2-x)}{2\sqrt{3-x}}$. \item Use a igualdade anterior
para provar que $y''=\frac{3(x-4)}{4(3-x)^{\frac{3}{2}}}$. \item
Analise a afirma\c c\~ao: Existe um ponto de inflex\~ao em $x=4$
porque $y''$ muda a\'{\i} de sinal. Qual \'e a afirma\c c\~ao
correcta a fazer sobre o sinal de $y''$? \item Esboce o gr\'afico
de $y$.
\end{enumerate}

\item A equa\c c\~ao $y^2=4x$ representa uma par\'abola. Use
deriva\c c\~ao impl\'\i cita na an\'alise da sua concavidade e
esboce o gr\'afico.

\item A equa\c c\~ao $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
representa uma hip\'erbole. Use deriva\c c\~ao impl\'\i cita para
provar que $y''=\frac{b^4}{a^2y^3}$ e discuta a sua concavidade.

\item O gr\'afico de $x^\frac{2}{3}+y^\frac{2}{3}=a^\frac{2}{3}$
($a>0$) \'e um {\em hipocicl\'oide com quatro c\'uspides}.
\begin{enumerate}
\item Verifique que
\[y'=-\left(\frac{y}{x}\right)^\frac{1}{3}\;\;\mbox{ e
}\;\;y''=\frac{a^\frac{2}{3}}{3x^\frac{4}{3}y^\frac{1}{3}}.\]
\item Esboce a curva.
\end{enumerate}


 \item Fa\c ca o estudo completo
das seguintes fun\c c\~oes:
\vspace*{2mm}\\
\begin{tabular}{clp{3mm}cl}
(a)& $f(x)=\ds\frac{x^2-2x+2}{x-1}$; &&(b)&
$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} e-\frac{1}{x+1}&\mbox{ se }-1<x<0,\\
0&\mbox{ se }x=0,\\
\frac{1-x}{e^x}&\mbox{ se }x>0;\end{array}\right.$ \vspace*{3mm}\\
(c)& $f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 2-\frac{1}{4}\log x&\mbox{ se }x>1,\\
\sqrt{5-x}&\mbox{ se }x\leq 1;\end{array}\right.$&&(d)&
$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x+1&\mbox{ se }x\leq -1,\\
1-x^2&\mbox{ se }-1<x<1,\\
1+e^{-x}&\mbox{ se }x\geq 1.\end{array}\right.$\end{tabular}
\end{enumerate}\end{document}
\newpage

 \centerline{{\large\sf Departamento de Matem\'atica da Universidade
de Coimbra}}

\centerline{\sf An\'alise Infinitesimal I}

{\sf Ano lectivo $2003/04$ \hfill Folha $15$}

\vspace*{6mm}

{\large\sf CAP\'ITULO IV: C\'alculo Diferencial}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{180} \item As fun\c c\~oes $f$ e $g$ definidas
por $f(x)=\sin(\arcsin x)$ e $g(x)=\arcsin(\sin x)$ s\~ao
diferentes. Justifique esta afirma\c c\~ao.

\item Considere a fun\c c\~ao $\arcsec$, definida como a inversa
da restri\c c\~ao da fun\c c\~ao $\sec$ ao conjunto
$[0,\frac{\pi}{2}[\,\cup\,[\pi,\frac{3\pi}{2}[$.
\begin{enumerate}
\item Mostre que $(\arcsec\; x)'=\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$. \item
Fa\c ca o estudo completo da fun\c c\~ao.\end{enumerate}

\item Use deriva\c c\~ao para mostrar que:
\begin{enumerate}
\item $\arcsin \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\arctan x$, para todo o
$x\in\bkR$; \item $\arctan \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x$, para
todo o $x\in\, ]-1,1[$.
\end{enumerate}

\item Use a f\'ormula $\cosh^2t-\sinh^2t=1$ para provar as
igualdades:
\vspace*{2mm}\\
\begin{tabular}{clp{5mm}cl} (a)& $\tanh^2t+\sech^2\;t=1$&&(b)&
$\coth^2t-\csch^2\;t=1$.\end{tabular}

\item Use as defini\c c\~oes de $\sinh$ e de $\cosh$ para provar
as igualdades:
\begin{enumerate}
\item $\sinh(u+v)=\sinh u\cosh v+\cosh u\sinh v$; \item $\cosh
(u+v)=\cosh u\cosh v+\sinh u\sinh v$.\end{enumerate}

\item Mostre que: \vspace*{2mm}\\
\begin{tabular}{clp{5mm}cl} (a)&
$(\tanh x)'=\sech^2\;x$;&&(b)& $(\coth x)'=-\csch^2\;x$;\\
(c)& $(\sech\; x)'=-\sech\; x\tanh x$; &&(d)& $(\csch\;
x)'=-\csch\; x\coth x$.\end{tabular}

\item Use a f\'ormula de Euler
\[e^{ix}=\cos x+i\sin x\]
para concluir que $e^{-ix}=\cos x-i\sin x$. Prove ent\~ao que
\[\cos x=\frac{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix})\;\;\mbox{ e }\;\;\sin
x=\frac{1}{2i}(e^{ix}-e^{-ix}).\]

\item De Moivre provou que, para qualquer n\'umero natural $n$, se
tem
\[(\cos t+i\sin t)^n=\cos (nt)+i\sin (nt).\]
\begin{enumerate}
\item Use indu\c c\~ao matem\'atica e as f\'ormulas para
$\sin(u+v)$ e $\cos(u+v)$ para provar esta f\'ormula. \item Prove
que, para qualquer n\'umero natural $n$,
\[(\cosh t+\sinh t)^n=\cosh (nt)+\sinh (nt).\]
\end{enumerate}

\item Gera-se um cilindro circular recto pela rota\c c\~ao de um
rect\^angulo de per\'\i metro $P$ em torno de um dos seus lados.
Quais as dimens\~oes do rect\^angulo que gerar\'a um cilindro de
volume m\'aximo?

 \item Encontre dois n\'umeros positivos cujo
produto seja 100 e cuja soma seja m\'\i nima.

\item Prove que, para n\'umeros reais $a$, $b$ e $c$ quaisquer, se
tem
\[\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc},\]
estudando a fun\c c\~ao $f(x)=\frac{a+b+x}{\sqrt[3]{abx}}$.

\item Encontre a \'area do maior rect\^angulo que pode ser
inscrito num semi-c\'\i rculo de raio $r$.

\item Uma lata cil\'\i ndrica \'e feita para receber um litro de
\'oleo. Encontre as dimens\~oes que minimizar\~ao o custo do metal
para produzir a lata.

\item Na produ\c c\~ao de umas caixas, uma companhia de embalagens
pinta a base, o topo e dois lados de  branco e os restantes dois
lados de vermelho. Se a tinta vermelha custar 50\% mais do que a
branca, quais as dimens\~oes da caixa com volume $V$ que tem menor
custo de pintura?

\item O n\'umero de bact\'erias numa determinada cultura cresce de
forma proporcional \`a po\-pu\-la\c c\~ao. O n\'umero inicial de
bact\'erias \'e 20000, sendo 48000 ao fim de 3 horas.
\begin{enumerate}
\item Encontre a fun\c c\~ao que apresenta a popula\c c\~ao de
bact\'erias como fun\c c\~ao do tempo. \item Qual \'e a popula\c
c\~ao ao fim de 7 horas? \item Quanto tempo \'e necess\'ario para
a popula\c c\~ao atingir um milh\~ao?
\end{enumerate}

\item \begin{enumerate} \item Mostre que, se $y=ce^{kx}$, onde $c$
e $k$ s\~ao constantes, ent\~ao $y'=ky$, isto \'e, a fun\c c\~ao
$y$ varia com uma raz\~ao proporcional a si pr\'opria. \item
Suponha agora que $y=f(x)$ \'e uma fun\c c\~ao que varia
proporcionalmente a si pr\'opria, isto \'e, $y'=ky$, onde $k$ \'e
constante.
\begin{enumerate}
\item Verifique que, se $g(x)=f(x)e^{-kx}$, ent\~ao $g'(x)=0$.
\item Conclua que $f(x)=ce^{kx}$ para alguma constante $c$. \item
A fun\c c\~ao nula tem a propriedade descrita acima (isto \'e,
varia em propor\c c\~ao com ela pr\'opria). Isto entra em
contradi\c c\~ao com a al\'\i nea anterior?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item \begin{enumerate} \item Mostre que, se $r$ \'e uma raiz real
da equa\c c\~ao $ax^2+bx+c=0$, ent\~ao a fun\c c\~ao $y=e^{rx}$
\'e solu\c c\~ao da equa\c c\~ao diferencial $ay''+by'+cy=0$.
\item Use a al\'\i nea anterior para obter duas solu\c c\~oes de
cada uma das equa\c c\~oes diferenciais:
\begin{enumerate}
\item $y''-y=0$; \item $y''-3y'+2y=0$; \item
$y''-y'=0$.\end{enumerate}
\item Mostre que as fun\c c\~oes
$y=e^x$ e $y=xe^x$ s\~ao ambas solu\c c\~oes da equa\c c\~ao
diferencial $y''-2y'+2y=0$.  \item Mostre que $y=e^x\sin x$ e
$y=e^x\cos x$ s\~ao ambas solu\c c\~oes da equa\c c\~ao
diferencial $y''-2y'+2y=0$. \item Compare estes dois \'ultimos
casos com os anteriores.
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{document}
