%@@EDD2  40  1188  1170  77 AUTOR:<unregistered> CONT:
\documentstyle[11pt,fancyhea]{bookmmc}  %@@
\renewcommand{\baselinestretch}{1.1}  %@@

\hyphenation{con-si-de-rar}
\hyphenation{di-fe-ren-te}\hyphenation{di-fe-ren-tes}
\hyphenation{es-sen-ciais}  %@@
\hyphenation{fe-cha-do}  %@@
\hyphenation{na-tu-ral}  %@@
\hyphenation{vi-zi-nha}  %@@

\def\oo{$^{\mbox{\scriptsize o}}\,$}
\def\aa{$^{\mbox{\scriptsize a}}\,$}
%\input barred  %@@

\newcommand{\f}[1]{\overline{#1}}  %@@
\newcommand{\inte}[1]{\mbox{int}(#1)}  %@@

\def\bkQ{{\rm \kern.24em
            \vrule width.05em height1.4ex depth-.05ex
            \kern-.26em Q}}
\def\bkR{{\rm I\kern-.17em R}}
\def\bkN{{\rm I\kern-.20em N}}
\def\bkZ{{\rm Z\kern-.32em Z}}

\def\ds{\displaystyle }
\def\C{{\cal C} }
\def\rw{\rightarrow}  %@@
\def\lrw{\longrightarrow}  %@@
\def\lmp{\longmapsto}  %@@
\def\llw{\longleftarrow}  %@@
\def\Rw{\Rightarrow}  %@@
\def\LRw{\Leftrightarrow}  %@@
\def\DS{\displaystyle}  %@@
\def\sse{se e s\'o se }  %@@
\def\T{{\cal T} }  %@@
\def\S{{\cal S} }  %@@
\def\P{{\cal P} }  %@@
\def\B{{\cal B} }  %@@
\def\F{{\cal F} }  %@@
\def\U{{\cal U} }  %@@
\def\V{{\cal V} }  %@@
\def\eps{\varepsilon }
\def\limm{\ds\lim_{n\to\infty} }
\def\limxa{\ds\lim_{x\to a} }
\def\limxad{\ds\lim_{x\to a^+} }
\def\limxae{\ds\lim_{x\to a^-} }
\def\limxi{\ds\lim_{x\to +\infty} }
\def\limxii{\ds\lim_{x\to -\infty} }

\def\mathrmdef#1{\expandafter\def\csname#1\endcsname{{\rm#1}}}  %@@
\mathrmdef{diam}  %@@
\mathrmdef{ext}  %@@
\mathrmdef{fr}  %@@
\mathrmdef{ad}  %@@
\mathrmdef{card} \mathrmdef{id}

\newtheorem{pro}{Proposi\c c\~ao}[section]  %@@
\newtheorem{lem}[pro]{Lema}  %@@
\newtheorem{defi}[pro]{Defini\c c\~ao}  %@@
\newtheorem{defis}[pro]{Defini\c c\~oes}  %@@
\newtheorem{teo}[pro]{Teorema}  %@@
\newtheorem{exe}[pro]{Exemplo}  %@@
\newtheorem{exes}[pro]{Exemplos}  %@@
\newtheorem{obs}[pro]{Observa\c c\~ao}  %@@
\newtheorem{obss}[pro]{Observa\c c\~oes}  %@@
\newtheorem{cor}[pro]{Corol\'ario}  %@@

\newcommand{\DIV}[1]{\vspace*{.2cm}\noindent{\bf #1}\hspace*{.3cm}}  %@@
\def\mathrmdef#1{\expandafter\def\csname#1\endcsname{{\rm#1}}}  %@@

%\hoffset -32mm  %@@
\oddsidemargin -4mm  %@@
\evensidemargin -4mm  %@@
\addtolength{\textwidth}{40mm}  %@@
\voffset -25mm  %@@
\addtolength{\textheight}{61mm}  %@@

\pagestyle{fancyplain}  %@@
\lhead[\sf\thepage]{\sf An\'{a}lise Infinitesimal I}  %@@
\rhead[\sf Ano lectivo de 2003/04]{{\sf\thepage}}  %@@
\cfoot{\fancyplain{}}  %@@

\begin{document}
%\vspace*{1cm}

\thispagestyle{empty} %\begin{flushright} {\Large\sf An\'{a}lise
%Infinitesimal I}
%\end{flushright}

\begin{center}
{\Large\sf Sum\'arios Alargados}
\end{center}
%\vspace*{3mm}


\noindent {\large\sc Cap\'{\i}tulo I: Fundamentos -- o Rigor e a
Demonstra\c c\~ao em An\'{a}lise} \section{Operadores l\'{o}gicos e
quantificadores}

Recomenda-se a leitura de: \begin{itemize} \item[] Cap\'{\i}tulos 0 e 1
de: J. Lewin/M. Lewin, {\em An Introduction to Mathematical
Analysis}; \item[] Cap\'{\i}tulo 1 de: M. T. Oliveira-Martins, {\em
T\'{o}picos de Matem\'{a}tica Finita}; \item[] Cap\'{\i}tulos 1 e 2 de: R.
Pereira Coelho, {\em Li\c{c}\~{o}es de An\'{a}lise Infinitesimal}.
\end{itemize}

\section{Conjuntos}

Para as Sec\c{c}\~{o}es 2-6, recomenda-se a leitura de: \begin{itemize}
\item[] Cap\'{\i}tulos 1 e 2 do livro de Elon Lages Lima, {\em Curso de
An\'{a}lise, vol. 1}. \item[] Cap\'{\i}tulo 3 do livro de J. Lewin/M.
Lewin, {\em An Introduction to Mathematical Analysis}.
\end{itemize}

\subsection{Defini\c c\~ao.} Um {\em conjunto} $X$ \'{e} uma colec\c{c}\~{a}o
de objectos, a que chamamos {\em elementos} de $X$. Se $x$ \'{e} um
elemento de $X$, dizemos que {\em $x$ pertence a $X$} e escrevemos
$x\in X$.

\subsection{Defini\c{c}\~{a}o.}
Se todo o elemento de $X$ pertencer a $Y$, isto \'{e}, se
\[\forall x\;\; x\in X\;\Rightarrow\;x\in Y,\]
dizemos que o conjunto $X$ \'{e} um {\em subconjunto de $Y$}, ou uma
{\em parte de $Y$}, ou que {\em $X$ est\'{a} contido em $Y$}, e
escrevemos $X\subseteq Y$.

Dois {\em conjuntos} $X$ e $Y$ ser\~{a}o {\em iguais} se e s\'{o} se
tiverem exactamente os mesmos elementos; logo
\[X=Y\;\Leftrightarrow\;X\subseteq Y\mbox{ e }Y\subseteq X.\]
Se $X\subseteq Y$ mas $X\neq Y$ (isto \'e, se existir um elemento
$y$ de $Y$ que n\~{a}o pertence a $X$), dizemos que {\em $X$ est\'{a}
estritamente contido em $Y$}, ou que {\em $X$ \'e uma parte
pr\'opria de $Y$} e escrevemos $X\subset Y$.

Por exemplo,
\begin{itemize}
\item[] $\bkN\subset \bkZ\subset \bkQ$; \item[] para todo o
conjunto $X$, $\emptyset\subseteq X$.
\end{itemize}

\subsection{Defini\c{c}\~{a}o.}
Dado um conjunto $X$, designa-se por $\P(X)$ o {\em conjunto das
partes de $X$}:
\[\P(X)=\{A\,;\,A\subseteq X\}.\]

\subsection{Exemplos.}
\begin{enumerate}
\item Note-se que se tem sempre $\emptyset\in\P(X)$ e
$X\in\P(X)$.
\item $\P(\emptyset)=\{\emptyset\}$.
\item Se $X=\{1,2,3\}$, ent\~ao $\P(X)$ tem 8 elementos:
\[\P(X)=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}.\]
\end{enumerate}

\subsection{Defini\c{c}\~{o}es.}
Dados dois subconjuntos $A$ e $B$ de $X$, a sua {\em reuni\~{a}o} \'e
o conjunto
\[A\cup B=\{x\in X\,;\,x\in A\mbox{ ou }x\in B\};\]
a sua {\em intersec\c c\~ao} \'e o conjunto
\[A\cap B=\{x\in X\,;\,x\in A \mbox{ e }x\in B\}.\]
Se $A\cap B=\emptyset$, dizemos que $A$ e $B$ s\~{a}o {\em conjuntos
disjuntos}.

\subsection{Propriedades da reuni\~{a}o e da
intersec\c{c}\~{a}o.}\label{uniao} Se $A,B,C,D$ s\~{a}o subconjuntos de um
conjunto $X$, ent\~{a}o:
\[\begin{array}{lcl}
A\subseteq A\cup B&\hspace{5mm}&A\cap B\subseteq A\vspace*{1mm}\\
A\cup\emptyset=A&&A\cap\emptyset=\emptyset\vspace*{1mm}\\
A\cup A=A&&A\cap A=A\vspace*{1mm}\\
A\cup B=B\cup A&&A\cap B=B\cap A\vspace*{1mm}\\
(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)&&(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)\vspace*{1mm}\\
A\cup B=A\,\Leftrightarrow\, B\subseteq A&&A\cap
B=A\,\Leftrightarrow\,A\subseteq B\vspace*{1mm}\\
A\subseteq B\mbox{ e }C\subseteq D\,\Rightarrow\,A\cup C\subseteq
B\cup D&&A\subseteq B\mbox{ e }C\subseteq
D\,\Rightarrow\,A\cap C\subseteq B\cap D\vspace*{1mm}\\
A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)&&A\cap(B\cup C)=(A\cap
B)\cup(A\cap C).\end{array}\]

\subsection{Exerc\'{\i}cio.}
Demonstre as propriedades enunciadas.

\subsection{Defini\c{c}\~{a}o.}
Dados subconjuntos $A$ e $B$ de um conjunto $X$, a {\em diferen\c{c}a
entre $A$ e $B$} \'{e} o conjunto
\[A-B=\{x\in X\,;\,x\in A\mbox{ e }x\not\in B\}.\]
Chamamos {\em complementar de $A$} ao conjunto $X-A$, que tamb\'{e}m
designamos por $X\setminus A$ ou $A^c$.

\subsection{Propriedades do complementar.}
Se $A$ e $B$ s\~{a}o subconjuntos de $X$, ent\~{a}o: \[\begin{array}{lcl}
A^c=\emptyset\,\Leftrightarrow\,A=X&\hspace*{2cm}&A^c=X\,\Leftrightarrow\,A=\emptyset\\
(A^c)^c=A&&\\
(A\cup B)^c=A^c\cap B^c&&(A\cap B)^c=A^c\cup B^c.\end{array}\]

\subsection{Defini\c{c}\~{a}o.}
Dados conjuntos $X$ e $Y$, podemos formar o conjunto
\[X\times Y=\{(x,y)\,;\,x\in X\mbox{ e }y\in Y\}.\]
A $X\times Y$ chama-se {\em produto cartesiano de $X$ e $Y$}; cada
elemento $(x,y)$ de $X\times Y$ chama-se {\em par ordenado}, sendo
$x$ a {\em primeira coordenada} e $y$ a {\em segunda coordenada}.

Note-se que $(x,y)=(a,b)$ se e s\'{o} se $x=a$ e $y=b$.

\subsection{Observa\c{c}\~{a}o.} Se $X=\emptyset$ ou $Y=\emptyset$, ent\~{a}o
$X\times Y=\emptyset$.

\section{Fun\c{c}\~{o}es}

\subsection{Defini\c{c}\~{a}o.}
Uma {\em fun\c{c}\~{a}o} $f:X\to Y$ \'{e} constitu\'{\i}da por:
\begin{itemize}
\item[$-$] um conjunto $X$, a que se chama {\em dom\'{\i}nio de $f$}, e
que se designa habitualmente por $D_f$, \item[$-$] um conjunto
$Y$, a que se chama {\em conjunto de chegada de $f$}, e \item[$-$]
uma lei de correspond\^{e}ncia, que permite associar a cada elemento
$x$ de $X$ um (\'{u}nico) elemento $f(x)$ de $Y$; a $f(x)$ chama-se o
{\em valor de $f$ em $x$}.
\end{itemize}

Duas {\em fun\c{c}\~{o}es} $f:X\to Y$ e $g:Z\to W$ s\~{a}o {\em iguais} se
$X=Z$, $Y=W$ e
\[\forall x\in X\;\;\;\;f(x)=g(x).\]

\subsection{Defini\c{c}\~{a}o.}\label{graf} O {\em gr\'{a}fico de $f:X\to Y$} \'{e}
o subconjunto do produto cartesiano de $X$ e $Y$
\[G(f)=\{(x,y)\in X\times Y\,;\,y=f(x)\},\]
que tamb\'{e}m se costuma designar por $\Gamma(f)$.

\subsection{Defini\c{c}\~{o}es.}
Uma {\em fun\c{c}\~{a}o} $f:X\to Y$ diz-se:
\begin{itemize}
\item[$-$] {\em injectiva} se
\[\forall x\in X\;\;\forall x'\in
X\;\;f(x)=f(x')\;\Rightarrow\;x=x';\] isto \'{e}, a elementos
diferentes $f$ atribui valores diferentes; \item[$-$] {\em
sobrejectiva} se
\[\forall y\in Y\;\;\exists x\in X\;\;:\;\;f(x)=y;\]
isto \'{e}, todo o elemento do conjunto de chegada \'{e} imagem por $f$ de
algum elemento do dom\'{\i}nio; \item[$-$] {\em bijectiva} se for
simultaneamente injectiva e sobrejectiva; isto \'{e},
\[\forall y\in Y\;\;\exists^1 x\in X\;\;:\;\;f(x)=y.\]
\end{itemize}

\subsection{Defini\c{c}\~{o}es.}
Dada uma fun\c{c}\~{a}o $f:X\to Y$, para cada subconjunto $A$ de $X$
podemos considerar o seguinte subconjunto de $Y$
\[f(A)=\{f(x)\,;\,x\in A\},\]
e para cada subconjunto $B$ de $Y$ podemos considerar o
subconjunto de $X$
\[f^{-1}(B)=\{x\in X\,;\,f(x)\in B\}.\]
Estas correspond\^{e}ncias definem duas fun\c{c}\~{o}es entre os conjuntos de
partes de $X$ e de $Y$:
\[\begin{array}{rclcrcl}
f(\;\;):\P(X)&\to&\P(Y)&\mbox{ e }&f^{-1}(\;\;):\P(Y)&\to&\P(X)\\
A&\mapsto&f(A)&&B&\mapsto&f^{-1}(B).\end{array}\] A $f(\;\;)$
chamamos {\em fun\c{c}\~{a}o imagem directa de $f$} e a $f^{-1}(\;\;)$
chamamos {\em fun\c{c}\~{a}o imagem inversa de $f$}.

\subsection{Propriedades das fun\c{c}\~{o}es imagem directa e imagem
inversa.} Se $f:X\to Y$ \'{e} uma fun\c{c}\~{a}o e $A,C$ s\~{a}o subconjuntos de
$X$ e $B,D$ s\~{a}o subconjuntos de $Y$, ent\~{a}o:
\[\begin{array}{lcl}
f(\emptyset)=\emptyset&\hspace*{10mm}&f^{-1}(\emptyset)=\emptyset\vspace*{1mm}\\
f(X)\subseteq Y&&f^{-1}(Y)=X\vspace*{1mm}\\
A\subseteq C\;\Rw\;f(A)\subseteq f(C)&&B\subseteq
D\;\Rw\;f^{-1}(B)\subseteq f^{-1}(D)\vspace*{1mm}\\
f(A\cup C)=f(A)\cup f(C)&&f^{-1}(B\cup D)=f^{-1}(B)\cup
f^{-1}(D)\vspace*{1mm}\\
f(A\cap C)\subseteq f(A)\cap f(C)&&f^{-1}(B\cap
D)=f^{-1}(B)\cap f^{-1}(D)\vspace*{1mm}\\
&&f^{-1}(B^c)=(f^{-1}(B))^c.\end{array}\]

\subsection{Defini\c{c}\~{a}o.}
Se $f:X\to Y$ e $g:Z\to W$ s\~{a}o fun\c{c}\~{o}es com $Y=Z$ (isto \'{e}, o
dom\'{\i}nio de $g$ coincide com o conjunto de chegada de $f$),
define-se a {\em fun\c{c}\~{a}o composi\c{c}\~{a}o}
\[\begin{array}{rcl}g\circ f:X&\to&W\\
x&\mapsto&(g\circ f)(x):=g(f(x)).\end{array}\]

\subsection{Proposi\c{c}\~{a}o.}
{\em A composi\c{c}\~{a}o de duas fun\c{c}\~{o}es injectivas (respectivamente
sobrejectivas; bijectivas) \'{e} uma fun\c{c}\~{a}o injectiva
(respectivamente sobrejectiva; bijectiva).}

\subsection{Proposi\c{c}\~{a}o.}
{\em A atribui\c{c}\~{a}o das imagens directas e das imagens inversas
preserva a composi\c{c}\~{a}o de fun\c{c}\~{o}es; isto \'{e}, se $f:X\to Y$ e $g:Y\to
Z$, ent\~{a}o a fun\c{c}\~{a}o imagem directa de $g\circ f$ \'{e} a composi\c{c}\~{a}o das
fun\c{c}\~{o}es imagem directa de $f$ e de $g$, e analogamente para as
fun\c{c}\~{o}es imagem inversa:
\[(g\circ f)(\;\;)=g(\;\;)\circ f(\;\;)\hspace*{10mm}\mbox{ e }\hspace*{10mm}(g\circ
f)^{-1}(\;\;)=f^{-1}(\;\;)\circ g^{-1}(\;\;).\]}

%\subsection{Observa\c{c}\~{a}o.}
%Toda a fun\c{c}\~{a}o $f:A\to B$ se pode escrever como:
%\begin{itemize}
%\item[$-$] composi\c{c}\~{a}o de uma fun\c{c}\~{a}o injectiva com uma
%sobrejectiva: $f=i_{f(A)}\circ h$, onde $h:A\to f(A)$ \'{e} definida
%por $h(x):=f(x)$, e $i_{f(A)}:f(A)\to B$ \'{e} a inclus\~{a}o.
%\item[$-$] composi\c{c}\~{a}o de uma fun\c{c}\~{a}o sobrejectiva com uma
%injectiva: $f=\pi_2\circ g$, com $g:A\to A\times B$,
%$g(x)=(x,f(x))$ e $\pi_2:A\times B\to B$ a segunda projec\c{c}\~{a}o.
%\end{itemize}

\subsection{Defini\c{c}\~{o}es.}
\begin{enumerate}
\item Se $A$ \'{e} um subconjunto de $X$, chama-se {\em restri\c{c}\~{a}o de
$f:X\to Y$ a $A$} \`{a} fun\c{c}\~{a}o $g:A\to Y$ definida por $g(x)=f(x)$
para todo o $x\in A$. Denota-se por vezes por $f_{|A}$. \item Se
$f:X\to Y$ e $g:A\to Y$ s\~{a}o fun\c{c}\~{o}es tais que $A\subseteq X$ e,
para todo o $x\in A$, $f(x)=g(x)$, diz-se que {\em $f$ \'{e} uma
extens\~{a}o de $g$}.
\end{enumerate}

\subsection{Observa\c{c}\~{a}o.}
Note-se que a restri\c{c}\~{a}o de uma fun\c{c}\~{a}o a um subconjunto dado \'{e}
\'{u}nica, enquanto que cada fun\c{c}\~{a}o tem em geral diversas extens\~{o}es a
todo o conjunto que cont\'{e}m o dom\'{\i}nio.

\subsection{Defini\c{c}\~{o}es.}
Sejam $f:X\to Y$ e $g:Y\to X$ duas fun\c{c}\~{o}es.
\begin{enumerate}
\item A fun\c{c}\~{a}o $g$ diz-se {\em inversa \`{a} esquerda de $f$} se
$g\circ f=\id_X$. Neste caso, $f$ diz-se {\em inversa \`{a} direita de
$g$}. \item A fun\c{c}\~{a}o $g$ diz-se {\em inversa de $f$} se $g\circ
f=\id_X$ e $f\circ g=\id_Y$.
\end{enumerate}

\subsection{Proposi\c{c}\~{a}o.}
{\em Seja $f:X\to Y$ uma fun\c{c}\~{a}o.
\begin{enumerate}
\item Se $X\neq\emptyset$, ent\~ao $f$ tem inversa \`{a} esquerda se e
s\'{o} se \'{e} injectiva. \item A fun\c{c}\~{a}o $f$ tem inversa \`{a} direita se e
s\'{o} se \'{e} sobrejectiva. \item $f$ tem fun\c{c}\~{a}o inversa se e s\'{o} se \'{e}
bijectiva. Nesse caso a inversa de $f$ \'{e} \'{u}nica.
\end{enumerate}}

\section{Fam\'{\i}lias}

\subsection{Defini\c{c}\~{a}o.} Dados conjuntos $L$ e $X$, uma {\em fam\'{\i}lia} de
elementos de $X$ indexada por $L$ \'{e} uma fun\c{c}\~{a}o
\[\begin{array}{rcl}
x:L&\to&X\\
\lambda&\mapsto&x_\lambda,\end{array}\] que habitualmente
designamos por $(x_\lambda)_{\lambda\in L}$.

\subsection{Exemplos.}
\begin{enumerate}
\item Fam\'{\i}lias definidas por $L=\{1,2\}$ n\~{a}o s\~{a}o mais do que {\em
pares ordenados}. Podemos pois identificar $X\times X$ com o
conjunto das fam\'{\i}lias de elementos de $X$ indexadas por $\{1,2\}$.
\item Se $L=\{1,2,\cdots,n\}$, uma fam\'{\i}lia $L\to X$ diz-se um {\em
$n$-uplo de elementos de $X$}, e denota-se por
$(x_1,x_2,\cdots,x_n)$. \item Para o caso de $L$ ser infinito,
obtemos como caso particular importante $L=\bkN$, sendo ent\~{a}o uma
fam\'{\i}lia no conjunto $X$ exactamente uma {\em sucess\~{a}o} em $X$.
\end{enumerate}

\subsection{Defini\c{c}\~{o}es.}
Dada uma fam\'{\i}lia $(A_\lambda)_{\lambda\in L}$ de subconjuntos de
$X$ (isto \'{e}, uma fun\c{c}\~{a}o $a:L\to \P(X)$ com
$a(\lambda)=A_\lambda$), podemos definir a sua {\em reuni\~{a}o}
\[\bigcup_{\lambda\in L}\;A_\lambda:=\{x\in X\,;\,\exists
\lambda\in L\;:\;x\in A_\lambda\},\] e a sua {\em intersec\c{c}\~{a}o}
\[\bigcap_{\lambda\in L}\;A_\lambda:=\{x\in X\,;\,\forall
\lambda\in L\;\;\;x\in A_\lambda\}.\]

\subsection{Exerc\'{\i}cio.}
Enuncie e demonstre as propriedades da reuni\~{a}o e intersec\c{c}\~{a}o de
fam\'{\i}lias tendo por base as propriedades enunciadas em \ref{uniao}

\subsection{Defini\c{c}\~{a}o.}
Dada uma fam\'{\i}lia $(A_\lambda)_{\lambda\in L}$ de conjuntos,
definimos o seu produto cartesiano
\[\prod_{\lambda\in L} A_\lambda:=\{(a_\lambda)_{\lambda\in
L}\,;\,\forall \lambda\in L\;\;\;a_\lambda\in A_\lambda\},\] onde
cada $(a_\lambda)_{\lambda\in L}$ \'{e} uma fam\'{\i}lia; isto \'{e},
\[\prod_{\lambda\in L} A_\lambda:=\{a:L\to \bigcup_{\lambda\in L}
A_\lambda\,;\, a\mbox{ \'{e} uma fun\c{c}\~{a}o e }\forall\lambda\in L\;\;\;
a(\lambda)\in A_\lambda\}.\]

\section{Rela\c{c}\~{o}es de ordem}

\subsection{Defini\c{c}\~{a}o.}
Dados conjuntos $X$ e $Y$, uma {\em rela\c{c}\~{a}o bin\'{a}ria} de $X$ em $Y$
\'{e} um subconjunto de $X\times Y$. Dada uma rela\c{c}\~{a}o $\rho\subseteq
X\times Y$, escrevemos indiferentemente $(x,y)\in\rho$ ou $x\rho
y$.

Se $X=Y$, dizemos apenas que $\rho$ \'{e} uma {\em rela\c{c}\~{a}o bin\'{a}ria em
$X$}. Isto \'{e}, uma rela\c{c}\~{a}o bin\'{a}ria em $X$ \'{e} um subconjunto de
$X\times X$.

\subsection{Exemplo.}
Se $f:X\to Y$ \'{e} uma fun\c{c}\~{a}o, ent\~{a}o o gr\'{a}fico de $f$ (definido em
\ref{graf}) \'{e} uma rela\c{c}\~{a}o bin\'{a}ria de $X$ em $Y$.

\subsection{Exerc\'{\i}cio.} Identifique as rela\c{c}\~{o}es bin\'{a}rias de $X$ em $Y$ que s\~{a}o
gr\'{a}ficos de fun\c{c}\~{o}es.

\subsection{Defini\c{c}\~{o}es.}
Se $\rho$ \'{e} uma rela\c{c}\~{a}o bin\'{a}ria num conjunto $X$, diz-se que:
\begin{enumerate}
\item $\rho$ \'{e} {\em reflexiva} se
\[\forall x\in X\;\;\;x \rho x;\]
\item $\rho$ \'{e} {\em sim\'{e}trica} se
\[\forall x,y\in X\;\;\;x\rho y\;\Rw\;y\rho x;\]
\item $\rho$ \'{e} {\em anti-sim\'{e}trica} se
\[\forall x,y\in X\;\;\;x\rho y\mbox{ e }y\rho x\;\Rw\;x=y;\]
\item $\rho$ \'{e} {\em transitiva} se
\[\forall x,y,z\in X\;\;\;x\rho y\mbox{ e }y\rho z\;\Rw\;x\rho
z.\]
\end{enumerate}

\subsection{Defini\c{c}\~{a}o.}
Uma rela\c{c}\~{a}o bin\'{a}ria que seja simultaneamente reflexiva, sim\'{e}trica
e transitiva diz-se uma {\em rela\c{c}\~{a}o de equival\^{e}ncia}. Dados uma
rela\c{c}\~{a}o de equival\^{e}ncia $\rho$ em $X$ e um elemento $x$ de $X$,
chama-se {\em classe de equival\^{e}ncia de $x$, relativamente a
$\rho$}, ao conjunto
\[\{x'\in X\,;\,x\rho x'\}.\]

\subsection{Defini\c{c}\~{o}es.}
\begin{enumerate}
\item Uma {\em rela\c{c}\~{a}o de ordem} (ou {\em rela\c{c}\~{a}o de ordem
parcial})
 \'{e} uma rela\c{c}\~{a}o reflexiva, anti-sim\'{e}trica e
transitiva. Se $\rho$ \'{e} uma rela\c{c}\~{a}o de ordem parcial no conjunto
$X$, ao par $(X,\rho)$ chama-se {\em conjunto parcialmente
ordenado}. \item Uma {\em rela\c{c}\~{a}o de ordem} $\rho$ em $X$ diz-se
{\em total} se
\[\forall x,y\in X\;\;\;x\rho y\;\;\mbox{ ou }\;\;y\rho x.\]
O par $(X,\rho)$ diz-se ent\~{a}o um {\em conjunto totalmente
ordenado} ou {\em cadeia}.
\end{enumerate}

\subsection{Exemplos.}
\begin{enumerate}
\item Em $\bkQ\setminus\{0\}$, a rela\c{c}\~{a}o definida por $x\rho
y\;\;\mbox{ se }\;\;xy> 0$ \'e uma rela\c{c}\~{a}o de equival\^{e}ncia. \item
Em $\bkQ$, a rela\c{c}\~{a}o definida por $x\rho y \;\;\mbox{ se
}\;[x]=[y],$ onde $[a]$ \'{e} o maior inteiro menor ou igual a $a$, \'{e}
uma rela\c{c}\~{a}o de equival\^{e}ncia. \item O par $(\bkN,\leq)$ \'{e} um
conjunto totalmente ordenado, isto \'{e}, a rela\c{c}\~{a}o $\leq$ \'{e} uma
rela\c{c}\~{a}o de ordem total em $\bkN$. \item De modo an\'{a}logo,
$(\bkQ,\leq)$ \'{e} um conjunto totalmente ordenado. \item Para todo o
conjunto $X$, a rela\c{c}\~{a}o de inclus\~{a}o $\subseteq$ \'{e} uma rela\c{c}\~{a}o de
ordem parcial no conjunto $\P(X)$. Note-se que $(\P(X),\subseteq)$
n\~{a}o \'{e} em geral totalmente ordenado. \item A rela\c{c}\~{a}o
\[x\rho y \;\;\mbox{ se }\;x\mbox{ divide }y\]
\'{e} uma rela\c{c}\~{a}o de ordem parcial em $\bkN$.
\end{enumerate}

\subsection{Defini\c{c}\~{o}es.}
Sejam $(X,\leq)$ um conjunto parcialmente ordenado, $A$ um
subconjunto de $X$ e $x$ um elemento de $X$. Diz-se que:
\begin{enumerate}
\item $x$ \'{e} {\em minorante} de $A$ se
\[\forall a\in A\;\;\; x\leq a.\]
\item $x$ \'{e} elemento {\em m\'{\i}nimo} de $A$ se $x$ for minorante de
$A$ e pertencer a $A$. \item $x$ \'{e} {\em \'{\i}nfimo} de $A$ se $x$ for
minorante de $A$ e
\[\forall x'\in X\; ((\forall a\in A\;\; x'\leq a)\;\Rw\;x'\leq x).\]
\end{enumerate}
De modo an\'{a}logo, diz-se que:
\begin{enumerate}
\item $x$ \'{e} {\em majorante} de $X$ se
\[\forall a\in A\;\;\; a\leq x.\]
\item $x$ \'{e} elemento {\em m\'{a}ximo} de $A$ se $x$ for majorante de
$A$ e pertencer a $A$. \item $x$ \'{e} {\em supremo} de $A$ se $x$ for
majorante de $A$ e
\[\forall x'\in X\;((\forall a\in A\;\; a\leq x')\;\Rw\;x\leq x').\]
\end{enumerate}

\subsection{Proposi\c{c}\~{a}o.}
{\em Sejam $(X,\leq)$ um conjunto parcialmente ordenado, $A$ um
subconjunto de $X$ e $x$ um elemento de $X$.
\begin{enumerate}
\item Quando existe, o m\'{\i}nimo (respectivamente \'{\i}nfimo; m\'{a}ximo;
supremo) de $A$ \'{e} \'{u}nico. \item Se $x$ \'{e} elemento m\'{\i}nimo
(respectivamente m\'{a}ximo) de $A$, ent\~{a}o $x$ \'{e} \'{\i}nfimo
(respectivamente supremo) de $A$. \item Quando existe, o \'{\i}nfimo de
$A$ \'{e} o maior dos minorantes de $A$, enquanto que o supremo de $A$
\'{e} o menor dos majorantes de $A$.
\end{enumerate}}

\subsection{Defini\c{c}\~{a}o.}
Um {\em conjunto} parcialmente ordenado $(X,\leq)$ diz-se {\em bem
ordenado} se todo o subconjunto n\~{a}o vazio de $X$ tiver m\'{\i}nimo.

O Princ\'{\i}pio da Boa Ordena\c{c}\~{a}o dos n\'{u}meros naturais garante-nos que
$(\bkN,\leq)$ \'{e} bem ordenado.

\section{Conjuntos finitos e infinitos}

\subsection{Defini\c{c}\~{a}o.} Dois {\em conjuntos} $X$ e $Y$ dizem-se {\em numericamente
equivalentes} se existir uma bijec\c c\~ao $X\to Y$, e escreve-se
$X\sim Y$.

\subsection{Defini\c c\~ao.} Diz-se que o {\em conjunto $X$ \'e
numericamente inferior ou igual ao conjunto $Y$}, ou que {\em o
cardinal de $X$ \'e menor ou igual ao o cardinal de $Y$} se
existir uma fun\c c\~ao injectiva de $X$ em $Y$. Neste caso
escreveremos $X\leq^{\sharp} Y$.

\subsection{Proposi\c c\~ao.}
{\em Se $X$, $Y$ e $Z$ s\~ao conjuntos, ent\~ao:
\begin{itemize}
\item[\em (1)] $X\leq^\sharp X$;
\item[\em (2)] $X\leq^\sharp Y$ e $Y\leq^\sharp X\;\Rw\;X\sim Y$;
\item[\em (3)] $X\leq^\sharp Y$ e $Y\leq^\sharp
Z\;\Rw\;X\leq^\sharp Z$.
\end{itemize}}

A propriedade (2) segue do seguinte resultado.

\subsection{Teorema de Cantor-Bernstein-Schr\"oder.} {\em Se existirem fun\c c\~oes
injectivas $f:X\to Y$ e $g:Y\to X$, ent\~ao existe uma bijec\c
c\~ao $X\to Y$.}\footnote{Pode consultar a demonstra\c c\~ao deste
resultado no livro de P.R. Halmos, {\em Naive Set Theory}.}

\subsection{Defini\c{c}\~{o}es.}
Um {\em conjunto} $X$ diz-se {\em finito} se for vazio ou for
numericamente equivalente a $\{1,2,\cdots,n\}$ para algum n\'umero
natural $n$. Diz-se ent\~ao que $X$ tem $n$ elementos, ou que $X$
tem cardinal $n$.

Um {\em conjunto} diz-se {\em infinito} se n\~ao for finito.

\subsection{Defini\c{c}\~{a}o.}
Um {\em conjunto} diz-se {\em numer\'avel} se for finito ou
numericamente equivalente a $\bkN$. Caso contr\'ario, diz-se {\em
n\~ao numer\'avel}.

\subsection{Proposi\c c\~ao.}
{\em Se $X\subseteq\bkN$, ent\~ao $X$ \'e finito ou numericamente
equivalente a $\bkN$. Logo, um conjunto \'e numer\'avel se e s\'o
se \'e numericamente equivalente a uma parte de $\bkN$.}

\subsection{Proposi\c c\~ao.} {\em Seja $f:X\to Y$ uma fun\c c\~ao.
\begin{itemize}
\item[\em 1.] Se $f$ for injectiva e $Y$ for numer\'avel, ent\~ao $X$ \'e numer\'avel.
\item[\em 2.] Se $f$ for sobrejectiva e $X$ for numer\'avel, ent\~ao $Y$ \'e numer\'avel.
\end{itemize}}

\subsection{Corol\'ario.}
\begin{enumerate}
\item {\em O conjunto $\bkN\times\bkN$ \'e numer\'avel.}
\item {\em O produto cartesiano de dois conjuntos numer\'aveis \'e
numer\'avel.}
\item {\em $\bkQ$ \'e numer\'avel.}
\item {\em A reuni\~ao de uma fam\'\i lia numer\'avel de conjuntos
numer\'aveis \'e numer\'avel.}
\end{enumerate}

\subsection{Teorema.}
{\em O cardinal de $\bkN$ \'e menor ou igual ao cardinal de
qualquer conjunto infinito.}

\subsection{Proposi\c c\~ao.} Dado um conjunto $X$, o conjunto
${\cal P}(X)$ das suas partes \'e numericamente equivalente ao
conjunto das fun\c c\~oes de $X$ em $\{0,1\}$.

\subsection{Corol\'ario.} Se $X$ tem $n$ elementos, ent\~ao ${\cal
P}(X)$ tem $2^n$ elementos.

\subsection{Teorema de Cantor.}
{\em Se $X$ for um conjunto arbitr\'ario e $Y$ for um conjunto
com pelo menos dois elementos, ent\~ao o cardinal de $X$ \'e
estritamente inferior ao do conjunto ${\cal F}(X;Y)$ das fun\c
c\~oes de $X$ em $Y$; isto \'e, n\~ao existe uma fun\c c\~ao
sobrejectiva de $X$ em ${\cal F}(X;Y)$.}

\subsection{Corol\'ario.}
{\em O produto cartesiano de uma fam\'\i lia indexada por $\bkN$
de conjuntos infinitos numer\'aveis n\~ao \'e numer\'avel.}

\subsection{Corol\'ario.}
{\em Todo o conjunto tem cardinal estritamente inferior ao
cardinal do conjunto das suas partes.}

\subsection{Corol\'ario.}
{\em O conjunto das partes de $\bkN$ n\~ao \'e numer\'avel.}

\subsection{Exerc\'\i cios.}
\begin{enumerate}
\item Prove que, se $X$ \'e um conjunto infinito numer\'avel,
ent\~ao o conjunto das partes finitas de $X$ tamb\'em \'e infinito
numer\'avel. \item Defina $f:\bkN\times\bkN\to\bkN$ pondo
$f(1,n)=2n-1$ e $f(m+1,n)=2^m\cdot (2n-1)$. Prove que $f$ \'e uma
bijec\c c\~ao. \item Defina uma fun\c c\~ao sobrejectiva
$f:\bkN\to\bkN$ tal que, para todo o $n\in\bkN$, o conjunto
$f^{-1}(n)$ seja infinito.
\end{enumerate}

\section{A recta real}

\subsection{Subconjuntos de $\bkR$.}
Seja $X$ um subconjunto de $\bkR$.
\begin{enumerate}
\item $X$ diz-se {\em limitado superiormente} se tiver um
majorante em $\bkR$; isto \'e, se existir $b\in\bkR$ tal que,
para todo o $x\in X$, $x\leq b$.
\item $X$ diz-se {\em limitado inferiormente} se tiver minorante
em $\bkR$;
\item $X$ diz-se {\em limitado} se for limitado superior e
inferiormente;
\item $X$ diz-se um intervalo se tiver a seguinte propriedade:
\[\forall a,b\in X\;\;\forall c\in\bkR\;\;a\leq c\leq b\;\Rw\;c\in
X.\] Um intervalo $X$ pode escrever-se numa das formas, com
$a,b\in\bkR$:
\[\begin{array}{rclcrcl}
\,[a,b]&=&\{x\in\bkR\,;\,a\leq x\leq b\}&&
\,]a,b]&=&\{x\in\bkR\,;\,a< x\leq b\}\\
\,[a,b[&=&\{x\in\bkR\,;\,a\leq x< b\}&&
\,[a,+\infty[&=&\{x\in\bkR\,;\,a\leq x\}\\
\,] a,+\infty\,[&=&\{x\in\bkR\,;\, a< x\}&&
\,]-\infty,b\,]&=&\{x\in\bkR\,;\, x\leq b\}\\
\,]-\infty,b\,[&=&\{x\in\bkR\,;\, x< b\}&&
\,]-\infty,+\infty\,[&=&\bkR\end{array}\]
\end{enumerate}

\subsection{Algumas propriedades de $\bkR$.}
\begin{description}
\item[\bf Completude:] Todo o subconjunto n\~ao vazio de $\bkR$
limitado superiormente tem supremo.
\item[\bf Propriedade Arquimediana:]  $\bkN$ n\~ao \'e limitado superiormente em $\bkR$.
\end{description}

\subsection{Proposi\c c\~ao.}
{\em As seguintes condi\c c\~oes equivalem-se:
\begin{itemize}
\item[\em (i)] $\bkN$ \'e ilimitado superiormente;
\item[\em (ii)] para cada par $a,b$ de n\'umeros reais com $a>0$,
existe um n\'umero natural $n$ tal que $na>b$;
\item[\em (iii)] para cada $a>0$, existe $n\in\bkN$ tal que
$0<\frac{1}{n}<a$.
\end{itemize}}

\subsection{Teorema.}\begin{enumerate}
\item $\bkR$ \'{e} numericamente equivalente a qualquer intervalo n\~{a}o
degenerado. \item $\bkR$ \'{e} numericamente equivalente a ${\cal
P}(\bkN)$.
\end{enumerate}

\subsection{Defini\c c\~oes.}
Sejam $X$ um subconjunto de $\bkR$ e $x\in\bkR$.
\begin{enumerate}
\item O ponto $x$ diz-se {\em ponto interior de $X$} se existir um
intervalo aberto $]a,b[$ tal que $x\in\, ]\,a,b\,[\,\subseteq X$.
O conjunto dos pontos interiores de $X$ chama-se {\em interior} de
$X$ e denota-se por $\stackrel{\circ}{X}$.
 \item  $x$ diz-se {\em
ponto aderente de $X$} se todo o intervalo aberto ao qual $x$
perten\c ca intersectar $X$. Ao conjunto dos pontos aderentes de
$X$ chama-se {\em ader\^encia} ou {\em fecho} de $X$ e designa-se
por $\overline{X}$. \item O conjunto $X$ diz-se {\em aberto} se
todo o seu ponto for interior. \item O conjunto $X$ diz-se {\em
fechado} se o seu complementar em $\bkR$ for aberto.
\end{enumerate}

\subsection{Lema.}
{\em Sejam $X$ um subconjunto de $\bkR$ e $x\in\bkR$.
\begin{itemize}
\item[\em 1.] $x$ \'e ponto interior de $X$ se existir
$\eps>0$ tal que $]x-\eps,x+\eps[\,\subseteq X$.
\item[\em 2.] $x$ \'e ponto aderente de $X$ se, para todo o
$\eps>0$, $]x-\eps,x+\eps[\,\cap\, X\neq\emptyset$.
\end{itemize}}

\subsection{Exemplos.}
Todo o intervalo aberto (resp. fechado) \'e um subconjunto aberto
(resp. fechado) de $\bkR$; nomeadamente, qualquer que seja
$a\in\bkR$, $]a,+\infty[$ \'e aberto e $[a,+\infty[$ \'e fechado.

Para todo o $x\in\bkR$, $\{x\}$ \'e um subconjunto fechado de
$\bkR$.

\subsection{Lema.} A intersec\c c\~ao de dois abertos \'e um
aberto. A reuni\~ao de uma fam\'\i lia qualquer de abertos \'e
aberta.

\subsection{Exerc\'\i cio.}
Prove que a reuni\~ao de dois fechados \'e fechada e que a
intersec\c c\~ao de uma fam\'\i lia qualquer de fechados \'e
fechada.

\subsection{Lema.}
{\em As \'unicas partes de $\bkR$ que s\~ao simultaneamente
fechadas e abertas s\~ao $\emptyset$ e $\bkR$.}

\subsection{Proposi\c c\~ao.}
{\em Um subconjunto $X$ de $\bkR$ \'e fechado se e s\'o se
coincide com o conjunto dos seus pontos aderentes.}

\subsection{Defini\c c\~ao.}
Um {\em subconjunto} $X$ de $\bkR$ diz-se {\em denso} se o
conjunto dos seus pontos aderentes for $\bkR$, isto \'{e}, se
$\overline{X}=\bkR$.

\subsection{Proposi\c c\~ao.}
{\em $\bkQ$ e $\bkR\setminus\bkQ$ s\~ao subconjuntos densos de
$\bkR$.}

\subsection{Defini\c c\~ao.}
Um ponto $x$ diz-se {\em ponto de acumula\c c\~ao de
}$X\subseteq\bkR$ se todo o intervalo aberto ao qual $x$ perten\c
ca intersectar $X\setminus\{x\}$.

\subsection{Proposi\c c\~ao.}
{\em Dados $X\subseteq\bkR$ e $x\in \bkR$, as seguintes afirma\c
c\~oes equivalem a $x$ ser ponto de acumula\c c\~ao de $X$:
\begin{itemize}
\item[\em (i)] para todo o $\eps>0$, o conjunto
$X\,\cap\,]x-\eps,x+\eps[$ cont\'em algum ponto diferente de $x$;
\item[\em (ii)] para todo o $\eps>0$, o conjunto
$X\,\cap\,]x-\eps,x+\eps[$ \'e infinito.
\end{itemize}}

\subsection{Corol\'ario.}
{\em Se $A$ \'e um subconjunto finito de $\bkR$, ent\~ao $A$
n\~ao tem pontos de acumula\c c\~ao.}

\subsection{Teorema de Bolzano-Weierstrass.}
{\em Todo o subconjunto infinito limitado de $\bkR$ tem algum
ponto de acumula\c c\~ao.}
\newpage

\noindent {\large\sc Cap\'{\i}tulo II: Limites} \vspace*{3mm}

 Para o
estudo de limites, recomenda-se a leitura de:
\begin{itemize}
\item[] Cap\'{\i}tulo 12 do livro de James Stewart, {\em Calculus},
Vol. II.  \item[] Cap\'{\i}tulo 4, Par\'{a}grafos 1-6, do livro de Elon
Lages Lima, {\em Curso de An\'{a}lise, vol. 1}.
\end{itemize}

\section{Limites de sucess\~oes}

\subsection{Defini\c c\~oes.}
Uma {\em sucess\~ao} num conjunto $X$ \'e uma fun\c c\~ao
$x:\bkN\to X$; \'e habitual designar-se a imagem $x(n)$ por $x_n$
-- a que se chama {\em termo de ordem $n$ da sucess\~{a}o} -- e a
pr\'opria sucess\~ao por $(x_n)_{n\in\bkN}$ ou apenas por $(x_n)$.

Chama-se {\em subsucess\~ao} da sucess\~ao $x:\bkN\to X$ uma
sucess\~ao que se obtenha como composi\c c\~ao de $x$ com uma
fun\c c\~ao $\varphi:\bkN\to\bkN$ tal que, para todo o par de
n\'umeros naturais $j,k$, se $j<k$ ent\~ao
$\varphi(j)<\varphi(k)$.\vspace*{3mm}

De agora em diante vamos falar apenas de sucess\~oes de n\'umeros
reais, isto \'e, de sucess\~oes em $\bkR$.

\subsection{Defini\c c\~ao.} Uma sucess\~ao $(x_n)$ de n\'umeros reais
diz-se {\em limitada superiormente}
(resp. {\em limitada inferiormente}, {\em limitada}) se o
conjunto das suas imagens $\{x_n\,;\,n\in\bkN\}$ \'e um
subconjunto limitado superiormente (resp. limitado inferiormente,
limitado) em $\bkR$.

\subsection{Defini\c c\~oes.}
Uma sucess\~ao $(x_n)$ em $\bkR$ diz-se:
\begin{enumerate}
\item {\em crescente} (ou {\em estritamente crescente}) se, para
todo o $n\in\bkN$, $x_n<x_{n+1}$;
\item {\em n\~ao decrescente} (ou {\em crescente em sentido lato})
se, para todo o $n\in\bkN$, $x_n\leq x_{n+1}$;
\item {\em decrescente} (ou {\em estritamente decrescente}) se, para
todo o $n\in\bkN$, $x_n>x_{n+1}$;
\item {\em n\~ao crescente} (ou {\em decrescente em sentido lato})
se, para todo o $n\in\bkN$, $x_n\geq x_{n+1}$.
\end{enumerate}
A sucess\~ao $(x_n)$ diz-se {\em mon\'otona} se tiver uma das
propriedades anteriores.

\subsection{Defini\c c\~ao.}
Diz-se que um n\'umero real $a$ \'e {\em limite} da sucess\~ao
$(x_n)_{n\in\bkN}$ se
\[\forall \eps>0\;\;\exists p\in\bkN\;:\;\forall n\in\bkN\;n\geq
p\;\Rw\;|x_n-a|<\eps.\] Neste caso diz-se que $(x_n)$ {\em
converge para $a$}. Este limite \'{e} \'{u}nico, como se prova no teorem
seguinte, logo, escrever-se-\'{a} $\limm x_n=a$ ou $x_n\to a$ quando
$(x_n)$ convergir para $a$.

Em geral, se $(x_n)$ tiver algum limite em $\bkR$, diz-se que
$(x_n)$ \'e uma {\em sucess\~ao convergente}.

Se uma {\em sucess\~ao} n\~ao for convergente, diz-se {\em
divergente}.

\subsection{Teorema: Unicidade do limite.}
{\em Uma sucess\~ao de n\'umeros reais tem no m\'aximo um limite
em $\bkR$.}

\subsection{Teorema.}
{\em Uma sucess\~ao $(x_n)_{n\in\bkN}$ converge para $a$ se e s\'o
se toda a sua subsucess\~ao converge para $a$.}

\subsection{Proposi\c c\~ao.}
{\em Toda a sucess\~ao convergente \'e limitada.}

\subsection{Teorema.}

{\em Toda a sucess\~ao mon\'otona e limitada \'e convergente.}

\subsection{Proposi\c c\~ao.}
{\em Se $(x_n)$ \'e uma sucess\~ao limitada e $(y_n)$ \'e uma
sucess\~ao que converge para $0$, ent\~ao a sucess\~ao $(x_ny_n)$
converge para 0.}

\subsection{Lema.}
{\em Se $(x_n)$ \'e uma sucess\~ao e $a\in\bkR$, ent\~ao $\limm
x_n=a$  se e s\'o se $\limm (x_n-a)=0$.}

\subsection{Teorema.}
{\em Se $(x_n)$ e $(y_n)$ s\~ao sucess\~oes convergentes, para $a$
e $b$ respectivamente, ent\~ao:
\begin{itemize}
\item[\em (1)] $\limm (x_n+y_n)=a+b$;
\item[\em (2)] $\limm (x_n-y_n)=a-b$;
\item[\em (3)] $\limm (x_ny_n)=ab$;
\item[\em (4)] se $b\neq 0$, $\limm\frac{x_n}{y_n}=\frac{a}{b}$.
\end{itemize}}

\subsection{Teorema das sucess\~oes enquadradas.}
{\em Se $(x_n)$, $(y_n)$ e $(z_n)$ s\~ao sucess\~oes tais que
\[\forall n\in\bkN\;\;x_n\leq y_n\leq z_n,\]
e $\limm x_n=\limm z_n=a$, ent\~ao $\limm y_n=a$.}

\subsection{Proposi\c c\~ao.}
{\em Se $(x_n)$ \'e uma sucess\~ao que converge para $a>0$,
ent\~ao
\[\exists p\in\bkN\;\;\forall n\in\bkN\;\;n\geq p\;\Rw\;x_n>0.\]}
\vspace*{-8mm}

\subsection{Corol\'ario.}
{\em Se $(x_n)$ e $(y_n)$ s\~ao sucess\~oes convergentes e tais
que $x_n\leq y_n$ para todo o $n\in\bkN$, ent\~ao $\limm x_n\leq
\limm y_n$. Em particular, se $(x_n)$ \'e uma sucess\~ao
convergente que s\'o toma valores iguais ou inferiores a um
n\'umero real $a$, ent\~ao $\limm x_n\leq a$.}

\subsection{Defini\c c\~oes.}
Seja $(x_n)$ uma sucess\~ao divergente. \begin{enumerate} \item
Diz-se que $(x_n)$ {\em tende para $+\infty$} (ou {\em diverge
para $+\infty$}), e escreve-se $\ds\limm x_n=+\infty$, se
\[\forall r>0\;\;\exists p\in\bkN\;:\;\forall n\in\bkN\;\;n\geq
p\;\Rw\;x_n>r.\] \item Diz-se que $(x_n)$ {\em tende para
$-\infty$} (ou {\em diverge para $-\infty$}), e escreve-se
$\ds\limm x_n=-\infty$, se \[\forall r>0\;\;\exists
p\in\bkN\;:\;\forall n\in\bkN\;\;n\geq p\;\Rw\;x_n<-r.\] \item
Diz-se que $(x_n)$ {\em tende para $\infty$} (ou {\em diverge para
$\infty$}) se a sucess\~ao $(|x_n|)_{n\in\bkN}$ divergir para
$+\infty$, e escreve-se $\limm x_n=\infty$; isto \'e, se
\[\forall r>0\;\;\exists p\in\bkN\;:\;\forall n\in\bkN\;\;n\geq
p\;\Rw\;|x_n|>r.\]
\end{enumerate}

\subsection{Teorema.}
{\em Sejam $(x_n)$ e $(y_n)$ sucess\~oes de n\'umeros reais.
\begin{itemize}
\item[\em (1)] Se $\limm x_n=+\infty$ e $(y_n)$ \'e limitada
inferiormente, ent\~ao $\limm (x_n+y_n)=+\infty$.
\item[\em (2)] Se $\limm x_n=+\infty$ e $(y_n)$ \'e limitada
inferiormente por um n\'umero real $c>0$, ent\~ao\newline $\limm
(x_n\, y_n)=+\infty$.
\item[\em (3)] Se $(x_n)$ n\~{a}o tiver nenhum termo igual a $0$,
ent\~ao $\ds\limm\frac{1}{x_n}=0$ se e s\'o se $\ds\limm
x_n=\infty$.
\end{itemize}}

\subsection{Defini\c c\~ao.}
Um n\'umero real $a$ diz-se {\em valor de ader\^encia} (ou {\em
ponto de acumula\c c\~ao}) da sucess\~ao $(x_n)$ se
\[\forall \eps >0\;\;\forall n\in\bkN\;\;\exists
m\in\bkN\;:\;m\geq n\;\wedge\;x_m\in\,]a-\eps,a+\eps\,[.\]

\subsection{Proposi\c c\~ao.}
{\em Se $(x_n)$ \'e uma sucess\~ao e $a\in\bkR$, as seguintes
condi\c c\~oes equivalem-se:
\begin{itemize}
\item[\em (i)] $a$ \'e valor de ader\^encia de $(x_n)$;
\item[\em (ii)] existe uma subsucess\~ao de $(x_n)$ que converge para $a$.
\end{itemize}}

\subsection{Proposi\c c\~ao.}
{\em Toda a sucess\~ao limitada tem um valor de ader\^encia.}

\subsection{Teorema: Crit\'erio de converg\^encia de Cauchy.}

{\em Uma sucess\~ao $(x_n)$ de n\'umeros reais \'e convergente se
e s\'o se
\[\forall \eps>0\;\;\exists p\in\bkN\;:\;\forall
m,n\in\bkN\;\;m\geq p\;\wedge\;n\geq p\;\Rw\;|x_m-x_n|<\eps.\]}

\subsection{Teorema.} {\em Seja $X$ um subconjunto de $\bkR$. As
seguintes condi\c c\~oes s\~ao equivalentes:
\begin{itemize}
\item[\em (i)] $X$ \'e fechado e limitado;
\item[\em (ii)] Todo o subconjunto infinito de $X$ tem um ponto de
acumula\c c\~ao que pertence a $X$;
\item[\em (iii)] Toda a sucess\~ao com valores em $X$ tem um valor de ader\^encia
 que pertence a $X$.
\end{itemize}}


\section{Limites de fun\c c\~oes}

Ao longo deste par\'agrafo $f:X\to\bkR$ \'e uma fun\c c\~ao cujo
dom\'\i nio $X$ \'e um subconjunto de $\bkR$ e $a$ \'e um ponto de
acumula\c c\~ao de $X$. (De agora em diante denotaremos o conjunto
de pontos de acumula\c c\~ao de $X$ por $X'$.)

\subsection{Defini\c c\~ao.}
Se $a\in\bkR$ \'e um ponto de acumula\c c\~ao de $X$, dizemos que
o n\'umero real {\em $L$ \'e o limite de $f(x)$ quando $x$ tende
para $a$}, e escrevemos $\limxa f(x)=L$, se
\[\forall \eps>0\;\;\exists\delta>0\;:\;\forall x\in
X\;0<|x-a|<\delta\;\Rw\;|f(x)-L|<\eps.\] (Note-se que, tal como
para sucess\~{o}es, o limite de $f(x)$ quando $x$ tende para um ponto
$a$, quando existe, \'{e} \'{u}nico.)

\subsection{Proposi\c c\~ao.}
{\em Sejam $f:X\to\bkR$, $Y\subseteq X$, $a$ um ponto de acumula\c
c\~ao de $Y$ e $\limxa f(x)=L$. A restri\c c\~ao de $f$ a $Y$,
$g:Y\to\bkR$, com $g(y)=f(y)$ para todo o $y\in Y$, ainda tem
limite $L$ quando $y$ tende para $a$.}

\subsection{Teorema.}
{\em As seguintes afirma\c c\~oes s\~ao equivalentes:
\begin{itemize}
\item[\em (i)] O limite de $f(x)$ quando $x$ tende para $a$ \'e
$L$. \item[\em (ii)] Qualquer que seja a sucess\~ao
$(x_n)_{n\in\bkN}$ em $X\setminus\{a\}$ com limite $a$, $\limm
f(x_n)=L$.
\end{itemize}}

\subsection{Teorema.}
{\em Se existe $\limxa f(x)$, ent\~ao $f$ \'e limitada numa
vizinhan\c ca de $a$; isto \'e,
\[\exists A>0\;\;\exists \delta>0\;\;:\forall x\in
X\;\;|x-a|<\delta\;\Rw\;|f(x)|<A.\]}

\subsection{Teorema.}
{\em Sejam $f,g,h:X\to\bkR$ fun\c c\~oes e $a$ um ponto de
acumula\c c\~ao de $X$. Se, para todo o elemento $x$ de $X$
diferente de $a$, $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$ e $\limxa f(x)=\limxa
h(x)=L$, ent\~ao $\limxa g(x)=L$.}

\subsection{Corol\'arios.}
{\em \begin{itemize} \item[\em (1)] Se $\limxa f(x)=L>0$, ent\~ao
existe $\delta>0$ tal que, se $x\in X$ e $0<|x-a|<\delta$, ent\~ao
$f(x)>0$. \item[\em (2)] Se $f(x)\leq g(x)$ para todo o $x\in
X\setminus\{a\}$, $\limxa f(x)=L$ e $\limxa g(x)=M$, ent\~ao
$L\leq M$.\end{itemize}}

\subsection{Teorema.}
{\em Sejam $X\subseteq\bkR$, $a\in X'$ e $f,g:X\to\bkR$. Se
$\limxa f(x)=L$ e $\limxa g(X)=M$, ent\~ao: \begin{itemize}
\item[\em (1)] $\limxa (f(x)\pm g(x))=L\pm M$; \item[\em (2)]
$\limxa (f(x) g(x))=LM$; \item[\em (3)] Se $M\neq 0$, ent\~ao
$\limxa \ds\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}$.
\end{itemize}
Al\'em disso, se $\limxa f(x)=0$ e $g$ for uma fun\c c\~ao
limitada, ent\~ao $\limxa f(x)g(x)=0$.}

\subsection{Teorema: Crit\'erio de Cauchy para fun\c c\~oes.}
{\em Se $X\subseteq\bkR$, $a\in X'$ e $f:X\to\bkR$, as seguintes
condi\c c\~oes s\~ao equivalentes:
\begin{itemize}
\item[\em (i)] Existe $\limxa f(x)$. \item[\em (ii)] $\forall
\eps>0\;\exists\delta>0\;:\;\forall x,y\in X\;0<|x-a|<\delta\mbox{
e }0<|y-a|<\delta\;\Rw\;|f(x)-f(y)|<\eps$.
\end{itemize}}

\subsection{Teorema.}
{\em Sejam $X,Y\subseteq\bkR$, $f:X\to\bkR$ e $g:Y\to\bkR$ tais
que $f(X)\subseteq Y$, e $a\in X'$. \linebreak Se $\limxa
f(x)=b\in Y'\cap Y$ e $\ds\lim_{y\to b} g(y)=g(b)$, ent\~ao
$\limxa (g\circ f)(x)=g(b)$.}

\subsection{Defini\c c\~oes.}
\begin{enumerate}
\item Um ponto $a$ de $\bkR$ diz-se um {\em ponto de acumula\c
c\~ao \`a direita} de um conjunto $X$ se for ponto de acumula\c
c\~ao do conjunto $X\cap ]a,+\infty[$. Analogamente, $a$ diz-se um
{\em ponto de acumula\c c\~ao \`a esquerda} de $X$ se for ponto de
acumula\c c\~ao de $X\cap ]-\infty,a[$. Denotamos o conjunto dos
pontos de acumula\c c\~ao \`a direita (respectivamente \`a
esquerda) de $X$ por $X_+'$ (respectivamente por $X_-'$).

\item Se $a\in X_+'$, dizemos que o n\'umero real {\em $L$ \'e o
limite \`a direita de $f(x)$ quando $x$ tende para $a$}, e
escrevemos $\limxad f(x)=L$, se
\[\forall \eps>0\;\;\exists\delta>0\;:\;\forall x\in
X\;a<x<a+\delta\;\Rw\;|f(x)-L|<\eps.\] Analogamente se define {\em
limite \`a esquerda de $f(x)$ quando $x$ tende para $a$}, que se
denota por $\limxae f(x)$.
\end{enumerate}

\subsection{Teorema.}
{\em Sejam $X\subseteq\bkR$, $f:X\to\bkR$ e $a\in X_+'$. Seja
$Y=X\cap ]a,+\infty[$ e $g=f_{|Y}$. Ent\~ao $\limxad f(x)=L$ se e
s\'o se $\limxad g(x)=L$.}

\subsection{Teorema.}
{\em Sejam $X\subseteq\bkR$, $f:X\to\bkR$ e $a\in X_+'\cap X_-'$.
Ent\~ao $\limxa f(x)=L$ se e s\'o se $\limxad f(x)=\limxae
f(x)=L$.}

\subsection{Defini\c c\~oes.}
Uma fun\c c\~ao $f:X\to\bkR$ diz-se:
\begin{enumerate}
\item {\em estritamente crescente} se, para todo o par $x,y\in X$,
$x<y$ implica $f(x)<f(y)$; \item {\em crescente} ({\em em sentido
lato}) se, para todo o par $x,y\in X$, $x\leq y$ implica $f(x)\leq
f(y)$; \item {\em estritamente decrescente} se, para todo o par
$x,y\in X$, $x<y$ implica $f(x)>f(y)$; \item {\em decrescente}
({\em em sentido lato}) se, para todo o par $x,y\in X$, $x\leq y$
implica $f(x)\geq f(y)$; \item {\em mon\'otona} se verificar
alguma das propriedades anteriores, isto \'e, se for crescente ou
decrescente.\end{enumerate}

\subsection{Teorema.}
{\em Sejam $X\subseteq\bkR$, $f:X\to\bkR$ mon\'otona e limitada,
$a\in X_+'$ e $b\in X_-'$. Ent\~ao existem os limites laterais
$\limxad f(x)$ e $\ds\lim_{x\to b^-} f(x)$.}

\subsection{Defini\c c\~oes.}
Sejam $f:X\to\bkR$, com $X\subseteq\bkR$ ilimitado superiormente,
e $L\in\bkR$. Diz-se que $\limxi f(X)=L$ se
\[\forall \eps>0\;\;\exists A>0\;\;\forall x\in
X\;\;x>A\;\Rw\;|f(x)-L|<\eps.\] Define-se de modo an\'alogo
$\limxii f(x)=L$.

\subsection{Teorema.}
{\em Se $X$ for ilimitado superiormente e $f:X\to\bkR$ for
mon\'otona limitada, ent\~ao existe $\limxi f(x)$.}

\subsection{Defini\c c\~oes.}
Dados $X\subseteq\bkR$, $f:X\to\bkR$ e $a\in X'$, diremos que
$\limxa f(x)=+\infty$ se
\[\forall A>0\;\;\exists \delta>0\;:\;\forall x\in
X\;\;0<|x-a|<\delta\;\Rw\;f(x)>A.\] De igual modo, diz-se que:
\begin{itemize}
\item[] $\limxa f(x)=-\infty$ se
\[\forall A>0\;\;\exists \delta>0\;:\;\forall x\in
X\;\;0<|x-a|<\delta\;\Rw\;f(x)<-A.\] \item[] $\limxa f(x)=\infty$
se
\[\forall A>0\;\;\exists \delta>0\;:\;\forall x\in
X\;\;0<|x-a|<\delta\;\Rw\;|f(x)|>A.\]
\end{itemize}
De forma an\'aloga, definem-se $\limxi f(x)=+\infty, -\infty,
\infty$, $\limxii f(x)=+\infty \;(-\infty, \infty)$, \newline
$\limxad f(x)=+\infty\; (-\infty, \infty)$ e $\limxae f(x)=+\infty
\;(-\infty, \infty)$.

\subsection{Resultados que envolvem limites infinitos.}
{\em
\begin{itemize}
\item[\em (1)] Se existe $\limxa f(x)$, este limite \'e \'unico,
independentemente de ser real ou infinito. \item[\em (2)] Se
$f:X\to\bkR$, $a\in X'$, $\limxa f(x)=+\infty$, $g:Y\to\bkR$ \'e a
restri\c c\~ao de $f$ a $Y$ e $a\in Y'$, ent\~ao $\limxa
g(x)=+\infty$. \item[\em (3)] Se $\limxa f(x)=+\infty$ $(-\infty,
\infty)$, ent\~ao a fun\c c\~ao $f$ n\~ao \'e limitada. \item[\em
(4)] Se $f,g:X\to\bkR$, $a\in X'$, $f(x)\leq g(x)$ para todo o
$x\in X$ e $\limxa f(x)=+\infty$, ent\~ao\newline $\limxa
g(x)=+\infty$.

Logo, se $f,g:X\to\bkR$, $a\in X'$, $\limxa f(x)=L$ e $\limxa
g(x)=+\infty$, ent\~ao
\[\exists \delta>0\;:\;\forall x\in
X\;\;0<|x-a|<\delta\;\Rw\;f(x)<g(x).\] \item[\em (5)] As seguintes
condi\c c\~oes s\~ao equivalentes:
\begin{itemize}
\item[\em (i)] $\limxi f(x)=+\infty$; \item[\em (ii)] para toda a
sucess\~ao $(x_n)$ em $X$, se $\limm x_n=+\infty$, ent\~ao $\limm
f(x_n)=+\infty$.
\end{itemize}
\item[\em (6)] Se $\limxa f(x)=+\infty$ e $\ds\lim_{y\to
+\infty}g(y)=L$ $($ou $\ds\lim_{y\to +\infty} g(y)=+\infty)$,
ent\~ao $\limxa g(f(x))=L$ $($ou $\limxa g(f(x))=+\infty)$.
\item[\em (7)] Se $f:X\to\bkR$ \'e mon\'otona e $a\in X_+'$ e
$b\in X_-'$, ent\~ao existem $($sendo possivelmente infinitos$)$
os limites laterais $\limxad f(x)$ e $\ds\lim_{x\to b^-} f(x)$.
\end{itemize}}
\newpage

\noindent {\large\sc Cap\'{\i}tulo III: Continuidade} \vspace*{3mm}

Para este cap\'{\i}tulo, recomenda-se a leitura de:
\begin{itemize}
\item[] Cap\'{\i}tulo 4 (4.1 e 4.2) do livro de Philip Gillet, {\em
Calculus and Analytic Geometry}. \item[] Cap\'{\i}tulo 5 do livro de
Elon Lages Lima, {\em Curso de An\'{a}lise, vol. 1}.
\end{itemize}

\section{Fun\c{c}\~{o}es cont\'{\i}nuas}

\subsection{Defini\c c\~oes.} Uma fun\c c\~ao $f:X\to\bkR$ \'e {\em
cont\'\i nua em $a\in X$} se
\[\forall \eps>0\;\;\exists\delta>0\;:\;\forall x\in
X\;\;|x-a|<\delta\;\Rw\;|f(x)-f(a)|<\eps.\] A fun\c c\~ao
$f:X\to\bkR$ diz-se {\em cont\'\i nua} se for cont\'\i nua em
todos os pontos de $X$.

Se $f$ n\~ao for cont\'inua em $a$, ent\~ao $f$ diz-se {\em
descont\'\i nua em $a$} e $a$ diz-se um {\em ponto de
descontinuidade de $f$}. A fun\c c\~ao $f$ diz-se {\em descont\'\i
nua} se for descont\'\i nua nalgum ponto do dom\'\i nio.

\subsection{Observa\c c\~oes.} Seja $f:X\to\bkR$ uma fun\c c\~ao.
\begin{enumerate}
\item Repare-se que, contrariamente \`a situa\c c\~ao do estudo do
limite de $f$ num ponto $a$, s\'o faz sentido falar de
continuidade de $f$ em $a$ se $a$ pertencer ao dom\'\i nio de $f$.
\item Se $a$ pertencer a $X$, mas n\~ao for ponto de acumula\c
c\~ao de $X$, ent\~ao $f$ \'e cont\'\i nua em $a$. \item Se $a\in
X\cap X'$, ent\~ao $f$ \'e cont\'\i nua em $a$ se e s\'o se
existir o $\limxa f(x)$ e for igual a $f(a)$.
\end{enumerate}

\subsection{Proposi\c c\~ao.}
{\em Sejam $f:X\to\bkR$ uma fun\c c\~ao, $g:Y\to\bkR$ a restri\c
c\~ao de $f$ a um subconjunto $Y$ de $X$ e $a\in Y$.
\begin{itemize}
\item[\em (1)] Se $f$ for cont\'\i nua em $a$, ent\~ao $g$ \'e
cont\'\i nua em $a$. \item[\em (2)] Se $Y=X\cap I$, onde $I$ \'e
um intervalo aberto, ent\~ao $f$ \'e cont\'\i nua em $a$ desde que
$g$ o seja.\end{itemize}}

\subsection{Proposi\c c\~ao.}
{\em Se $f:X\to\bkR$ \'e cont\'\i nua em $a$, ent\~ao $f$ \'e
limitada em $X\cap I$, onde $I$ \'e um intervalo aberto contendo
$a$.}

\subsection{Teorema.}
{\em Sejam $f:X\to\bkR$ e $a\in X$. As seguintes condi\c c\~oes
equivalem-se:
\begin{itemize}
\item[\em (i)] $f$ \'e cont\'\i nua em $a$; \item[\em (ii)] se
$(x_n)_{n\in\bkN}$ \'e uma sucess\~ao em $X$ que converge para
$a$, ent\~ao $\limm f(x_n)=f(a)$.
\end{itemize}}

\subsection{Teorema.}
{\em Se $f,g:X\to\bkR$ s\~ao cont\'\i nuas no ponto $a\in X$,
ent\~ao as fun\c c\~oes $f+g$, $f-g$ e $f\times g$ s\~ao cont\'\i
nuas no ponto $a$. Se $g(a)\neq 0$, ent\~ao tamb\'em $\frac{f}{g}$
\'e cont\'\i nua em $a$.}

\subsection{Exemplos.}
\begin{enumerate}
\item Toda a fun\c c\~ao constante \'e cont\'\i nua. \item A fun\c
c\~ao $f:\bkR\to\bkR$ com $f(x)=x$ \'e cont\'\i nua. \item Pelo
Teorema anterior, todo o polin\'omio
\[\begin{array}{rcl}p:\bkR&\to&\bkR\\x&\mapsto&
p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\end{array}\] \'e
cont\'\i nuo. \item Ainda pelo Teorema anterior, toda a fun\c
c\~ao racional
\[\begin{array}{rcl}
f:X&\to&\bkR\\
x&\mapsto&\ds\frac{p(x)}{q(x)},\end{array}\] onde $p$ e $q$ s\~ao
polin\'omios e $X=\{x\in\bkR\,;\,q(x)\neq 0\}$, \'e uma fun\c
c\~ao cont\'\i nua.
\end{enumerate}

\subsection{Teorema.}
{\em A composta de duas fun\c c\~oes cont\'\i nuas \'e cont\'\i
nua.}

\subsection{Defini\c c\~oes.}
Seja $a\in X$ um ponto de descontinuidade da fun\c c\~ao
$f:X\to\bkR$; isto \'e,
\[\exists \eps>0\;:\;\forall\delta>0\;\;\exists x\in
X\;:\;|x-a|<\delta\;\wedge\;|f(x)-f(a)|\geq \eps.\] Diz-se que $f$
tem:
\begin{enumerate}
\item uma {\em descontinuidade remov\'\i vel} em $a$ se existir
$\limxa f(x)$ e for um n\'umero real for diferente de $f(a)$.
\item um {\em p\'olo} em $a$ se $\limxa f(x)=\infty$ (isto \'e,
$\limxa |f(x)|=+\infty$); \item uma {\em descontinuidade
essencial} em $a$ se n\~ao for remov\'\i vel nem p\'olo.

As descontinuidades essenciais dividem-se em dois tipos:
\begin{enumerate}
\item {\em descontinuidade essencial de 1\aa esp\'ecie}, se
existirem os limites laterais em $a$ (reais) e forem diferentes;
\item {\em descontinuidade essencial de 2\aa esp\'ecie}, se n\~ao
existir o limite \`a esquerda de $f$ em $a$, sendo $a$ um ponto de
acumula\c c\~ao \`a esquerda de $X$, ou se n\~ao existir o limite
\`a direita de $f$ em $a$, sendo $a$ um ponto de acumula\c c\~ao
\`a direita de $X$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{Teorema.}
{\em Se $f:X\to\bkR$ \'e mon\'otona e $f$ for descont\'\i nua em
$a\in X_-'\cap X_+'$, ent\~ao $f$ tem uma descontinuidade
essencial de 1\aa esp\'ecie em $a$.}

\subsection{Corol\'{a}rio.}
{\em Se $f:X\to\bkR$ \'e mon\'otona e $f(X)$ \'e um intervalo,
ent\~ao $f$ \'e cont\'\i nua.}

\subsection{Lema.}
{\em Se $f:X\to\bkR$ \'e cont\'\i nua em $a$, $d\in\bkR$  e
$f(a)>d$, ent\~ao
\[\exists\delta>0\;:\;\forall x\in
X\;\;|x-a|<\delta\;\Rw\;f(x)>d.\]}

\section{Fun\c{c}\~{o}es cont\'{\i}nuas em intervalos}

\subsection{Teorema do Valor Interm\'edio.}
{\em Seja $f:[a,b]\to\bkR$ uma fun\c c\~ao cont\'\i nua. Se
$f(a)<d<f(b)$, ent\~ao existe $c\in\, ]a,b[$ tal que $f(c)=d$.}

\subsection{Observa\c c\~ao.}
O resultado ainda \'e v\'alido se se tiver $f(a)>d>f(b)$. Resulta
imediatamente da aplica\c c\~ao do Teorema \`a fun\c c\~ao
cont\'\i nua $-f:[a,b]\to\bkR$.)

\subsection{Corol\'arios.}{\em
\begin{itemize}
\item[\em (1)] Se $f:[a,b]\to\bkR$ \'e cont\'\i nua e
$f(a)f(b)<0$, ent\~ao existe $c\in\, ]a,b[$ tal que $f(c)=0$.
\item[\em (2)] Sejam $I$ um intervalo e $f:I\to\bkR$ cont\'\i nua.
Se $a,b\in I$ e $f(a)<d<f(b)$, ent\~ao existe $c\in I$ tal que
$f(c)=d$. \item[\em (3)] Se $I$ \'e um intervalo e $f:I\to\bkR$
\'e cont\'\i nua, ent\~ao $f(I)$ \'e um intervalo.\end{itemize}}

\subsection{Teorema.}
{\em Seja $f:I\to\bkR$ cont\'\i nua e injectiva, definida num
intervalo $I$. Ent\~ao $f$ \'e mon\'otona, com imagem $J=f(I)$ um
intervalo, e a sua fun\c c\~ao inversa $g:J\to\bkR$ \'e cont\'\i
nua.}

\section{Fun\c{c}\~{o}es cont\'{\i}nuas em subconjuntos fechados e limitados de
$\bkR$}

\subsection{Teorema.}
{\em Seja $f:X\to\bkR$ cont\'\i nua. Se $X$ \'e um subconjunto
fechado e limitado de $\bkR$, ent\~ao $f(X)$ \'e tamb\'em um
subconjunto de $\bkR$ fechado e limitado.}

\subsection{Teorema de Weierstrass.}
{\em Se $f:X\to\bkR$ \'e cont\'\i nua e $X$ \'e um subconjunto
fechado e limitado de $\bkR$, ent\~ao $f$ tem m\'aximo e m\'\i
nimo.}

\subsection{Observa\c c\~ao.} A hip\'otese de $X$ ser fechado
e limitado \'e essencial no Teorema de Weierstrass. De facto:
\begin{enumerate}
\item Se $X$ n\~ao for limitado, ent\~ao a fun\c c\~ao
\[\begin{array}{rcl}
X&\to&\bkR\\
x&\mapsto&x\end{array}\] \'e cont\'\i nua mas n\~ao tem m\'aximo,
se $X$ for ilimitado superiormente, ou n\~ao tem m\'\i nimo, se
$X$ for ilimitado inferiormente. \item Se $X$ n\~ao for fechado  e
$a$ for um ponto aderente de $X$ que n\~ao pertence a $X$, ent\~ao
a fun\c c\~ao
\[\begin{array}{rcl}
X&\to&\bkR\\
x&\mapsto&\ds\frac{1}{x-a}\end{array}\] \'e cont\'\i nua mas n\~ao
tem m\'aximo, se $a$ for um ponto de acumula\c c\~ao \`a direita
de $X$, ou n\~ao tem m\'\i nimo, se $a$ for um ponto de acumula\c
c\~ao \`a esquerda de $X$.
\end{enumerate}

%\subsection{Teorema.}
%{\em Se $f:X\to\bkR$ \'e cont\'\i nua e injectiva e $X$ \'e
%fechado e limitado, ent\~ao $f(X)=Y$ \'e fechado e limitado e a
%fun\c c\~ao inversa $g:Y\to\bkR$ \'e cont\'\i nua.}
\newpage

\noindent {\large\sc Cap\'{\i}tulo IV: C\'alculo Diferencial}

\section{Conceito de derivada}
\vspace*{3mm}

Para este cap\'{\i}tulo, recomenda-se a leitura de:
\begin{itemize}
\item[] Cap\'{\i}tulo 2 (2.4 e 2.5), 3, 4 e 5 do livro de Philip
Gillet, {\em Calculus and Analytic Geometry}. \item[] Cap\'{\i}tulo 5
do livro de Elon Lages Lima, {\em Curso de An\'{a}lise, vol. 1}.
\end{itemize}

\subsection{Defini\c c\~oes.}
\begin{enumerate}
\item Sejam $f:X\to\bkR$ e $a\in X\cap X'$. Diz-se que {\em $f$
\'e deriv\'avel} (ou {\em diferenci\'{a}vel}){\em no ponto $a$} se
existir $\ds\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$, que se designa
habitualmente por $f'(a)$. Note-se que \[f'(a)=\lim_{x\to
a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.\]

 \item Para cada fun\c c\~ao
$f:X\to\bkR$, define-se a {\em fun\c c\~ao derivada de $f$}, que
tem como dom\'\i nio o conjunto $Y$ dos pontos de $X\cap X'$ onde
$f$ \'e diferenci\'avel:
\[\begin{array}{rcl}
f':Y&\to&\bkR\\
x&\mapsto&f'(x)=\ds\lim_{z\to
x}\frac{f(z)-f(x)}{z-x}.\end{array}\]
\end{enumerate}

\subsection{Proposi\c c\~ao.}
{\em Se $f:X\to\bkR$ \'e deriv\'avel em $a$, ent\~ao $f$ \'e
cont\'\i nua em $a$.}

\subsection{Aproxima\c c\~ao linear da fun\c c\~ao $f$.}
{\em Se $f:X\to\bkR$ \'e deriv\'avel em $a\in X\cap X'$, ent\~ao,
para todo o $x\in X$,
\[f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+r(x)\]
com $\ds\lim_{x\to a}\frac{r(x)}{x-a}=0$. Reciprocamente, se
$f(x)=f(a)+L(x-a)+s(x)$, para todo o $x\in X$, com $\ds\lim_{x\to
a}\frac{s(x)}{x-a}=0$, ent\~ao $f$ \'e deriv\'avel em $a$ e
$f'(a)=L$.}

\section{C\'{a}lculo de derivadas}

\subsection{Teorema: Deriva\c c\~ao da soma, do produto e do
quociente de fun\c c\~oes.} {\em Sejam $f,g:X\to\bkR$ fun\c c\~oes
deriv\'aveis em $a\in X\cap X'$. Ent\~ao as fun\c c\~oes $f+g$,
$f-g$, $f\times g$ e $\frac{f}{g}$ (se $g(a)\neq 0$) s\~ao
diferenci\'aveis em $a$, e
\begin{itemize}
\item[\em 1.] $(f+g)'(a)=f'(a)+g'(a)$, \item[\em 2.]
$(f-g)'(a)=f'(a)-g'(a)$, \item[\em 3.] $(f\times
g)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)$, \item[\em 4.]
$\ds\left(\frac{f}{g}\right)'(a)=\ds\frac{f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{(g(a))^2}$.
\end{itemize}}

\subsection{Corol\'ario.}
{\em Se $f$ \'e deriv\'avel em $a$ e $c\in\bkR$, ent\~ao
\begin{itemize}
\item[\em 1.] $(cf)'(a)=cf'(a)$, \item[\em 2.]
$\ds\left(\frac{1}{f}\right)'(a)=-\frac{f'(a)}{(f(a))^2}$, se
$f(a)\neq 0$.\end{itemize}}

\subsection{Teorema: Derivada da fun\c c\~ao composta.}
{\em Sejam $f:X\to\bkR$, $g:Y\to\bkR$ com $f(X)\subseteq Y$, $a\in
X\cap X'$ e $b=f(a)\in Y\cap Y'$. Se existirem $f'(a)$ e $g'(b)$,
ent\~ao a fun\c c\~ao $g\circ f:X\to\bkR$ \'e deriv\'avel em $a$ e
\[(g\circ f)'(a)=g'(f(a))f'(a).\]}\vspace*{-7mm}

\subsection{Corol\'ario: Derivada da fun\c c\~ao inversa.}
{\em Seja $f:X\to\bkR$ uma fun\c c\~ao que possui inversa
$g:Y=f(X)\to\bkR$. Se $f$ \'e deriv\'avel em $a\in X\cap X'$ e $g$
\'e cont\'\i nua em $b=f(a)$, ent\~ao $g$ \'e deriv\'avel em $b$
se e s\'o se $f'(a)\neq 0$. Nesse caso, tem-se
\[g'(b)=\frac{1}{f'(a)}=\frac{1}{f'(g(b))}.\]}\vspace*{-7mm}

\subsection{Derivada da fun\c c\~ao impl\'\i cita.}
Suponhamos que queremos obter a derivada de uma fun\c c\~ao $f$
que nos \'e apresentada, n\~ao na sua forma expl\'\i cita, mas
como solu\c c\~ao de uma equa\c c\~ao dada (em $f(x)$ e na
vari\'avel $x$). Dizemos ent\~ao que {\em a equa\c c\~ao define
implicitamente a fun\c c\~ao $f$}.

A equa\c c\~ao estabelece uma igualdade entre fun\c c\~oes (as
definidas pelo primeiro e segundo membros da equa\c c\~ao).
Derivando essas fun\c c\~oes, obtemos uma igualdade entre as suas
derivadas, e que \'e uma equa\c c\~ao que envolve a fun\c c\~ao
derivada. A este processo chama-se {\em deriva\c c\~ao impl\'\i
cita da fun\c c\~ao $f$}.

Este c\'alculo \'e por vezes muito \'util. Por exemplo, se
quisermos calcular a derivada da fun\c c\~ao $f(x)=x^\alpha$, com
$\alpha$ n\'umero real n\~ao nulo fixo, fazendo $y=y(x)=f(x)$, se
$x\neq 0$ a fun\c c\~ao \'e solu\c c\~ao da equa\c c\~ao
\[\ln|y|=\alpha \ln |x|.\]
Derivando implicitamente $y$, obtemos
\[\frac{y'}{y}=\alpha\,
\frac{1}{x}\;\LRw\;y'=\alpha\,\frac{y}{x}=\alpha\,\frac{x^\alpha}{x}=\alpha
\,x^{\alpha-1}.\] E \'e \'obvio que esta f\'ormula \'e tamb\'em
v\'alida quando $x=0$ e $\alpha \geq 1$.

\subsection{M\'etodo de Newton.}
Se $f:X\to\bkR$ for deriv\'avel no seu dom\'\i nio, com derivada
limitada, $x_1\in X$ e a sucess\~ao definida por
\[x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\] convergir para $a\in X$, ent\~ao
$f(a)=0$.
%\end{document}

\section{Uso da derivada no estudo de m\'aximos e m\'\i nimos de
fun\c c\~oes}

\subsection{Defini\c c\~oes.} Seja $f:X\to\bkR$.
\begin{enumerate}
\item Se $a\in X\cap X'_+$, definimos a {\em derivada \`a direita
da fun\c c\~ao $f$ no ponto $a$} como
\[f'_+(a)=\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{h\to
0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},\] quando este limite existir. \item De
igual modo, se $a\in X\cap X'_-$, definimos a {\em derivada \`a
esquerda de $f$ em $a$} por
\[f'_-(a)=\lim_{x\to a^-}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{h\to
0^-}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},\] quando este limite existir.
\end{enumerate}

\subsection{Defini\c c\~oes.} Sejam $f:X\to\bkR$ e $a\in X$.
\begin{enumerate}
\item Diz-se que $f$ possui um {\em m\'aximo local} no ponto $a$
se
\[\exists \delta>0\;:\;\forall x\in
X\;\;x\in\,]a-\delta,a+\delta[\;\Rw\;f(x)\leq f(a).\] Se se tiver
$f(x)<f(a)$ para todo o elemento $x$, diferente de $a$, do
intervalo $]a-\delta,a+\delta[$, diz-se que $f$ possui um {\em
m\'aximo local estrito} em $a$.

\item De modo an\'alogo definem-se {\em m\'\i nimo local} e {\em
m\'\i nimo local estrito}.
\end{enumerate}

\subsection{Lema.}
\begin{enumerate}
\item  {\em Se $f$ \'e crescente e deriv\'avel em $a$, ent\~ao
$f'(a)\geq 0$.} \item {\em Se $f$ \'e decrescente e deriv\'avel em
$a$, ent\~ao $f'(a)\leq 0$.}\end{enumerate}

\subsection{Observa\c c\~ao.}\label{dez}
Note-se que, de $f'(a)\geq 0$, n\~ao se pode concluir que $f$ \'e
crescente. Por exemplo, a fun\c c\~ao
\[\begin{array}{rcl}
h:\bkR&\to&\bkR\\
x&\mapsto&f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x^2\sin\frac{1}{x}+\frac{x}{2}&\mbox{ se }x\neq 0,\\
0&\mbox{ se }x=0,\end{array}\right.\end{array}\] tem derivada em
$0$, igual a $\frac{1}{2}$, mas n\~ao \'e crescente em nenhum
intervalo aberto contendo $0$.

\subsection{Teorema.}
{\em Seja $f:X\to\bkR$ deriv\'avel \`a direita no ponto $a\in
X\cap X'_+$. Se $f'_+(a)>0$, ent\~ao
\[\exists \delta>0\;:\;\forall x\in
X\;\;a<x<a+\delta\;\Rw\;f(a)<f(x).\]}\vspace*{-7mm}

\subsection{Corol\'ario.}
{\em Se $a\in X\cap X'_+\cap X'_-$ e $f:X\to\bkR$ \'e deriv\'avel
em $a$ e possui um m\'aximo ou m\'\i nimo local em $a$, ent\~ao
$f'(a)=0$.}

\section{Fun\c c\~oes deriv\'aveis em intervalos}

Ao longo deste par\'agrafo $I$ \'e um intervalo.

\subsection{Defini\c c\~ao.}
Se $f:I\to\bkR$ \'e deriv\'avel em $I$ e a sua fun\c c\~ao
derivada $f':I\to\bkR$ \'e cont\'\i nua, a fun\c c\~ao $f$ diz-se
{\em de classe ${\cal C}^1$} (ou {\em continuamente deriv\'avel}).

\subsection{Observa\c c\~oes.}
\begin{enumerate}
\item Uma fun\c c\~ao pode ser deriv\'avel em todo o seu dom\'\i
nio e n\~ao ser de classe ${\cal C}^1$ (veja, por exemplo, a fun\c
c\~ao $h$ definida em \ref{dez}). \item Se $f:[a,b]\to\bkR$ for de
classe ${\cal C}^1$, o Teorema do Valor Interm\'edio aplicado \`a
fun\c c\~ao $f':[a,b]\to\bkR$ diz-nos que $f'$ toma todos os
valores entre $f'(a)$ e $f'(b)$. O pr\'oximo resultado diz-nos que
esta afirma\c c\~ao \'e v\'alida mesmo quando $f'$ n\~ao \'e
cont\'\i nua.
\end{enumerate}

\subsection{Teorema de Darboux.}
{\em Seja $f:[a,b]\to\bkR$ deriv\'avel em $[a,b]$. Se
$f'(a)<d<f'(b)$, ent\~ao existe $c\in ]a,b[$ tal que $f'(c)=d$.}

\subsection{Corol\'ario.}
{\em Se $f:I\to\bkR$ \'e deriv\'avel em $I$ e $f':I\to\bkR$ \'e
descont\'\i nua em $c\in I$, ent\~ao essa descontinuidade \'e
essencial de segunda esp\'ecie.}

\subsection{Teorema de Rolle.}
{\em Seja $f:[a,b]\to\bkR$ cont\'\i nua, com $f(a)=f(b)$. Se $f$
\'e deriv\'avel em $]a,b[$, ent\~ao existe um ponto $c\in\, ]a,b[$
tal que $f'(c)=0$.}

\subsection{Teorema do Valor M\'edio de Lagrange.}
{\em Seja $f:[a,b]\to\bkR$ uma fun\c c\~ao cont\'\i nua. Se $f$
\'e deriv\'avel em $]a,b[$, existe $c\in\, ]a,b[$ tal que
$f'(c)=\ds\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.}

\subsection{Corol\'arios do Teorema de Lagrange.}
\begin{enumerate}
\item {\em Se $f:[a,b]\to\bkR$ \'e cont\'\i nua e possui derivada
nula em todos os pontos de $]a,b[$, ent\~ao $f$ \'e uma fun\c
c\~ao constante.}

\item {\em Se $f,g:[a,b]\to\bkR$ s\~ao fun\c c\~oes cont\'\i nuas,
deriv\'aveis em $]a,b[$ e $f'(x)=g'(x)$ para todo o $x\in\,]a,b[$,
ent\~ao existe $k\in\bkR$ tal que $f(x)=g(x)+k$ para todo o $x\in
[a,b]$.}

\item {\em Seja $f:I\to\bkR$ deriv\'avel no intervalo aberto $I$.
Se existir $k\in\bkR$ tal que $|f'(x)|\leq k$ para todo o $x\in
I$, ent\~ao, quaisquer que sejam $x,y\in I$, $|f(x)-f(y)|\leq
k|x-y|$.}

\item {\em Seja $f:[a,b]\to\bkR$ cont\'\i nua em $[a,b]$ e
deriv\'avel em $]a,b[$. Se $\ds\lim_{x\to a^+}f'(x)=L\in\bkR$,
ent\~ao existe $f'_+(a)$, e \'e igual a $L$.}

\item {\em Seja $f:]a,b[\to\bkR$ cont\'\i nua em $]a,b[$ e
deriv\'avel em $]a,b[\setminus\{c\}$, com $c\in ]a,b[$. Se
$\ds\lim_{x\to c}f'(x)=L\in\bkR$, ent\~ao existe $f'(c)$ e \'e
igual a $L$.}

\item {\em Seja $f:I\to\bkR$ deriv\'avel no intervalo $I$.}
\begin{enumerate}
\item {\em Tem-se $f'(x)\geq 0$ para todo o $x\in I$ se e s\'o se
$f$ for crescente em $I$.} \item {\em Se $f'(x)>0$, ent\~ao $f$
\'e estritamente crescente em $I$. Neste caso, $f$ possui inversa
$g:f(I)=J\to\bkR$ deriv\'avel em $J$, com
$g'(y)=\ds\frac{1}{f'(x)}=\frac{1}{f'(g(y))}$, para todo o
$y=f(x)\in J$.}
\end{enumerate}

\item {\em Sejam $c\in\,]a,b[\,\subseteq\,X$ e $f:X\to\bkR$
cont\'\i nua em $]a,b[$ e deriv\'avel em $]a,b[\setminus\{c\}$.}
\begin{enumerate}
\item {\em $\forall x\in
X\;(a<x<c\;\Rw\;f'(x)>0)\;\wedge\;(c<x<b\;\Rw\;f'(x)<0)\;\Rw$

$\Rw$ $f(c)$ \'e m\'aximo local de $f$.}
\item {\em $\forall x\in
X\;(a<x<c\;\Rw\;f'(x)<0)\;\wedge\;(c<x<b\;\Rw\;f'(x)>0)\;\Rw$

$\Rw$ $f(c)$ \'e m\'\i nimo local de $f$.} \item {\em Se $f'$
n\~ao muda de sinal em $c$, ent\~ao $f(c)$ n\~ao \'e extremo local
de $f$.}
\end{enumerate}\end{enumerate}

\subsection{Teorema do Valor M\'edio de Cauchy.}
{\em Se $f,g:[a,b]\to\bkR$ s\~ao cont\'\i nuas em $[a,b]$ e
diferenci\'aveis em $]a,b[$, e se $g'$ n\~ao se anula em $]a,b[$,
ent\~ao existe $c\in\,]a,b[$ tal que
\[\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}.\]}

\subsection{Regra de Cauchy.}\label{cauchy}
\begin{enumerate} \item {\em Sejam $f,g:[a,b]\to\bkR$ cont\'\i nuas em
$[a,b]$ e deriv\'aveis em $]a,b[\setminus\{c\}$, com
$c\in\,]a,b[$. Se $g'$ n\~ao se anula em $]a,b[\setminus\{c\}$, se
$\ds\lim_{x\to c}f(x)=\lim_{x\to c}g(x)=0$ e se existe o
$\ds\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}$, ent\~ao
\[\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to
c}\frac{f'(x)}{g'(x)}.\]} \item {\em Sejam
$f,g:]a,b[\setminus\{c\}\to\bkR$ deriv\'aveis em
$]a,b[\setminus\{c\}$, com $c\in\,]a,b[$. Se $g'$ n\~ao se anula,
se $\ds\lim_{x\to c}f(x)=\lim_{x\to c}g(x)=+\infty$ e se existe o
$\ds\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}$, ent\~ao
\[\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to
c}\frac{f'(x)}{g'(x)}.\]} \item {\em Se $f,g:I\to\bkR$ s\~ao
deriv\'aveis no intervalo $I$, ilimitado superiormente, se $g'$
n\~ao se anula em $I$ e se $\limxi f(x)=\limxi g(x)=0$ ou $\limxi
f(x)=\limxi g(x)=+\infty$ e existe o $\limxi \frac{f'(x)}{g'(x)}$,
ent\~ao
\[\limxi\frac{f(x)}{g(x)}=\limxi\frac{f'(x)}{g'(x)}.\]}
\end{enumerate}
\end{document}

% A demonstra\c c\~ao da al\'\i nea
%(b) \'e delicada, e usa o seguinte
%
%\subsection{Lema.}
%{\em Nas condi\c c\~oes da al\'\i nea {\em (b)} de {\em
%\ref{cauchy}}, existe uma fun\c c\~ao
%$u:]c-\delta,c+\delta[\setminus\{c\}\to\bkR$ tal que
%$\ds\lim_{x\to c}u(x)=c$ e
%\[\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{f(u(x))}=\lim_{x\to
%c}\frac{g(x)}{g(u(x))}=0.\]}


\section{F\'ormula de Taylor}

Para cada $n\in\bkN$, a $n$-\'esima derivada de uma fun\c c\~ao
$f$ designa-se por $f^{(n)}$ e \'e definida por
$f^{(n)}=(f^{(n-1)})'$; denotamos neste caso $f$ por $f^{(0)}$.

\subsection{Defini\c c\~oes.} Seja $f:I\to\bkR$. Dizemos que:
\begin{enumerate}
\item $f$ \'e {\em $n$ vezes deriv\'avel} no intervalo $I$ se
existir $f^{(n)}(x)$ para todo o $x\in I$; \item $f$ \'e {\em $n$
vezes deriv\'avel no ponto $a\in I$} se existir $f^{(n)}(a)$; para
isso, \'e necess\'ario que exista um intervalo aberto $J$ contendo
$a$ tal que $f_{|I\cap J}$ seja $(n-1)$ vezes deriv\'avel em $J$ e
que exista $\ds\lim_{x\to
a}\frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(a)}{x-a}$; \item $f$ \'e de classe
$\C^n$ se $f$ for deriv\'avel $n$ vezes e $f^{(n)}:I\to\bkR$ for
cont\'\i nua; \item $f$ \'e de classe $\C^\infty$ se for de classe
$\C^n$ para todo o $n\in\bkN$.
\end{enumerate}
\end{document}

\subsection{Exemplos.}
\begin{enumerate}
\item A fun\c c\~ao $f:\bkR\to\bkR$ definida por $f(x)=|x| x^n$
\'e de classe $\C^n$ mas n\~ao \'e de classe $\C^{n+1}$. \item A
fun\c c\~ao $g:\bkR\to\bkR$, definida por
\[g(x)=\left\{\begin{array}{ll}
e^{-\frac{1}{x^2}}&\mbox{ se }x\neq 0,\\
0&\mbox{ se }x=0,\end{array}\right.\] \'e de classe $\C^\infty$,
sendo $g^{(n)}(0)=0$ para todo o $n\in\bkN$.
\end{enumerate}

\subsection{Observa\c c\~ao.}
Um polin\'omio de grau $n$
\[p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots+a_nx^n\]
\'e completamente determinado pelas suas derivadas, at\'e \`a
ordem $n$, no ponto $0$: $a_0=p(0)$, $a_1=p'(0)$,
$a_2=\ds\frac{p^{(2)}(0)}{2}$, $a_3=\ds\frac{p^{(3)}(0)}{3\cdot
2}$, $\cdots$, $a_n=\ds\frac{p^{(n)}(0)}{n!}$.

\subsection{Defini\c c\~ao.}
Dada uma fun\c c\~ao $f:I\to\bkR$ $n$ vezes deriv\'avel no ponto
$a$, chama-se {\em polin\'omio de Taylor de ordem $n$ de $f$ no
ponto $a$} ao polin\'omio
\[p(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+
\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n.\]

Note-se que a diferen\c ca entre a fun\c c\~ao $f$ e o seu
polin\'omio de Taylor \'e uma fun\c c\~ao que tem derivadas nulas,
at\'e \`a ordem $n$, no ponto $a$.

\subsection{Lema.}
{\em Para uma fun\c c\~ao $r:I\to\bkR$ $n$ vezes deriv\'avel
$(n\geq 1)$ no ponto $0\in I$, as seguintes condi\c c\~oes s\~ao
equivalentes:
\begin{itemize}
\item[\em (i)] $r(0)=r'(0)=\cdots=r^{(n)}(0)=0$; \item[\em (ii)]
$\ds\lim_{x\to 0}\frac{r(x)}{x^n}=0$.
\end{itemize}}

\subsection{Teorema: F\'ormula de Taylor Infinitesimal.}
{\em Seja $f:I\to\bkR$ $n$ vezes deriv\'avel no ponto $a\in I$.
Para todo o $x\in I$, tem-se
\[f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+
\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+r(x),\] onde $\ds\lim_{x\to
a}\frac{r(x)}{(x-a)^n}=0$.}

\subsection{Teorema: F\'ormula de Taylor com Resto de Lagrange.}
{\em Seja $f:I\to\bkR$ de classe $\C^n$, $(n+1)$ vezes deriv\'avel
no intervalo $]a,b[$ e seja $x\in\,]a,b[$. Ent\~ao existe
$c\in\,]a,x[$ tal que
\[f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+
\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1};\]
equivalentemente, para todo o $h\in\,]0,b-a[$, existe $\theta\in
]0,1[$ tal que
\[f(a+h)=f(a)+f'(a)h+\frac{f''(a)}{2}h^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}h^3+
\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}h^n+\frac{f^{(n+1)}(a+\theta
h)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}.\]}

\end{document}
