\documentclass[11pt]{article}
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\pagestyle{empty}

\def\bkQ{\mathbb{Q}}
\def\bkR{\mathbb{R}}
\def\bkZ{\mathbb{Z}}
\def\bkC{\mathbb{C}}
\def\bkN{\mathbb{N}}

\def\eps{\varepsilon }
\def\Rw{\Rightarrow }
\def\Lrw{\Leftrightarrow }

\def\r{\rule{0pt}{1.1em}}

\begin{document}
\centerline{{\bf Departamento de Matem\'atica da Universidade de Coimbra}}

\centerline{An\'alise Infinitesimal I}

Ano lectivo $2003/04$ \hfill 22 de Outubro de 2003

\vspace*{6mm}

{\bf Teste 1}\hfill {\bf Nome do aluno:} \hspace*{8cm}
\vspace*{2mm}

\begin{enumerate}

{\color{blue} \item Indique qual das duas express\~{o}es seguintes \'{e}
consequ\^{e}ncia da outra e apresente uma interpreta\c{c}\~{a}o que as torne
n\~{a}o equivalentes:
\[(\forall x)\;(p(x)\vee r(x)) \mbox{\hspace*{10mm} e \hspace*{10mm}} \hfill (\forall x\;
p(x))\vee (\forall x\; r(x)).\]} A primeira express\~{a}o \'{e}
consequ\^{e}ncia da segunda: na segunda garante-se que ou $p(x)$ \'{e}
v\'{a}lida para todo o $x$ ou $r(x)$ \'{e} v\'{a}lida para todo o elemento
$x$. No primeiro caso garante-se que, para todo o $x$, $p(x)$ \'{e}
v\'{a}lida, logo tamb\'{e}m $p(x)\vee r(x)$, enquanto que no segundo se
garante que $r(x)$ \'{e} v\'{a}lida para todo o $x$, logo tamb\'{e}m $p(x)\vee
r(x)$.

Para verificar que as express\~{o}es n\~{a}o s\~{a}o equivalentes,
consideremos a seguinte interpreta\c{c}\~{a}o: ``$x$ pertence aos n\'{u}meros
naturais",\\ $p(x)$: ``$x$ \'{e} um n\'{u}mero par" e ``$r(x)$: ``$x$ \'{e} um
n\'{u}mero \'{\i}mpar".

A primeira express\~{a}o torna-se verdadeira, pois: $\forall
x\in\bkN\;(x\mbox{ \'{e} par} \vee x\mbox{ \'{e} \'{\i}mpar})$,\\ enquanto que
a segunda \'{e} falsa: $(\forall x\in\bkN\; x\mbox{ \'{e}
par})\;\vee(\forall x\in\bkN\;x\mbox{ \'{e} \'{\i}mpar})$, pois \'{e} uma
disjun\c{c}\~{a}o em que ambas as proposi\c{c}\~{o}es s\~{a}o falsas.

 \item
\begin{enumerate}
 \item {\color{blue} Prove que, para um subconjunto qualquer $A$ de
um conjunto $X$, se tem
\[{\cal P}(A^c)\subseteq\{\emptyset\}\cup ({\cal P}(A))^c.\]}
Se $S\subseteq A^c$, ent\~{a}o ou $S=\emptyset$ ou $S$ tem pelo menos
um elemento, que pertence ao complementar de $A$. Logo, se $S\neq
\emptyset$, ent\~{a}o $S\not\subseteq A$, isto \'{e}, $S\in ({\cal
P}(A))^c$.

 \item {\color{blue} Prove que, caso $X$ tenha pelo menos dois
elementos, ent\~{a}o existe um subconjunto $A$ de $X$ tal que a
inclus\~{a}o acima \'{e} estrita.}

Se $X$ tem pelo menos dois elementos, ent\~{a}o tem um subconjunto $A$
n\~{a}o vazio e diferente de $X$. Nesse caso, $X\not\in {\cal
P}(A^c)$, mas $X\in ({\cal P}(A))^c$, pois $X\not\subseteq A$.
Logo, a inclus\~{a}o \'{e} estrita.

\end{enumerate}

\item {\color{blue} Considere a fun\c c\~ao $f:\bkN\to\bkN$, com
$f(n)=2n-1$.}
\begin{enumerate}
\item {\color{blue} $f$ \'e uma fun\c c\~ao injectiva?}

Quaisquer que sejam os n\'{u}meros naturais $n$ e $m$, se $f(n)=f(m)$,
isto \'{e}, se $2n-1=2m-1$, ent\~{a}o necessariamente $n=m$. Logo, $f$ \'{e}
uma fun\c{c}\~{a}o injectiva. \item {\color{blue}\'E sobrejectiva?}

N\~{a}o, pois, tal como qualquer outro n\'{u}mero natural par, $2$ n\~{a}o \'{e}
imagem, por $f$, de nenhum n\'{u}mero natural.

\item {\color{blue} Seja $X=\{n\in\bkN\,;\,n\leq 1000\}$. Calcule
$f(X)$.}

Como $n\leq 1000$ se e s\'{o} se $2n-1$ \'{e} um n\'{u}mero \'{\i}mpar
menor ou igual a $2\times 1000-1$, temos que\\
$f(X)=\{k\in\mathbb{N}\,;\,k$ \'{e} \'{\i}mpar e $k\leq 1999\}$.

\item {\color{blue} Calcule $f^{-1}(Y)$, para $Y=\{n\in\bkN\,;\,n$
\'{e} par$\}$.}

O conjunto $\{k\in\bkN\,;\,2k-1$ \'{e} par$\}$ \'{e} claramente vazio,
pois, para todo o n\'{u}mero natural $k$, $2k-1$ \'{e} um n\'{u}mero \'{\i}mpar.
Logo, $f^{-1}(Y)=\emptyset$.


\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
