\documentclass[11pt]{article}
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\pagestyle{empty}

\def\bkQ{\mathbb{Q}}
\def\bkR{\mathbb{R}}
\def\bkZ{\mathbb{Z}}
\def\bkC{\mathbb{C}}
\def\bkN{\mathbb{N}}

\def\eps{\varepsilon }
\def\Rw{\Rightarrow }
\def\Lrw{\Leftrightarrow }
\def\ds{\displaystyle }

\def\r{\rule{0pt}{1.1em}}

\begin{document}
\centerline{{\bf Departamento de Matem\'atica da Universidade de Coimbra}}

\centerline{An\'alise Infinitesimal I}

Ano lectivo $2003/04$ \hfill 17 de Novembro de 2003

\vspace*{6mm}

{\bf Teste 2}\hfill {\bf Nome do aluno:} \hspace*{8cm}
\vspace*{2mm}

\begin{enumerate}

{\color{blue} \item Prove que $1$ \'{e} ponto de acumula\c{c}\~{a}o do
conjunto $A=\{1+\frac{1}{n}\,;\,n\in\bkN\}$.}

Seja $\varepsilon>0$. Pela Propriedade Arquimediana, existe um
n\'{u}mero natural $n$ tal que $\frac{1}{n}<\varepsilon$. Logo,
$1<1+\frac{1}{n}<1+\varepsilon$ e ent\~{a}o
$]1-\varepsilon,1+\varepsilon[\cap A\setminus\{1\}\neq\emptyset$,
como quer\'{\i}amos demonstrar.\vspace*{3mm}

{\color{blue} \item Calcule, se poss\'{\i}vel,
$\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \frac{\sin n -n}{\sqrt{n}}$.}

$\ds\lim_{n\to +\infty}\frac{\sin n-n}{\sqrt{n}}=\lim_{n\to
+\infty}\left(\frac{\sin
n}{\sqrt{n}}-\frac{n}{\sqrt{n}}\right)=\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{\sin
n}{\sqrt{n}}-\sqrt{n}\right).$

Como $(\sin n)_n$ \'{e} uma sucess\~{a}o limitada e $(\sqrt{n})_n$ diverge
para $+\infty$, a sucess\~{a}o $\ds\left(\frac{\sin
n}{\sqrt{n}}\right)_n$ converge para $0$, enquanto que a sucess\~{a}o
$(-\sqrt{n})_n$ diverge para $-\infty$. Logo, a sua soma, isto \'{e},
a sucess\~{a}o $\ds\left(\frac{\sin n-n}{\sqrt{n}}\right)_n$, diverge
para $-\infty$.

Em alternativa:
\[(\forall n\in\bkN)\;\;\frac{\sin n-n}{\sqrt{n}}\leq \frac{1-n}{\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\sqrt{n}.\]
Como $\ds\lim_{n\to +\infty}\sqrt{n}=+\infty$, e ent\~{a}o
$\ds\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=0$, conclu\'{\i}mos que
$\ds\lim_{n\to +\infty} \frac{1-n}{\sqrt{n}}=-\infty$. Logo,
usando a desigualdade anterior, podemos concluir que a sucess\~{a}o
dada diverge tamb\'{e}m para $-\infty$. \vspace*{3mm}

 {\color{blue} \item Estude a continuidade da seguinte fun\c{c}\~{a}o, indicando, nos
 pontos de descontinuidade, o tipo de descontinuidade que ocorre:
 \[f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
 \frac{\sin x}{x(x+1)}&\mbox{ se }x\in\; ]-1,0[\vspace*{4mm}\\
 1&\mbox{ se }x\not\in\; ]-1,0[\end{array}\right.\]}

 O dom\'{\i}nio de $f$ \'{e} $\bkR$. Nos intervalos abertos $]-\infty,-1[$ e $]0,+\infty[$ a
 fun\c{c}\~{a}o \'{e} constante, logo $f$ \'{e} cont\'{\i}nua em todos os pontos destes
 intervalos. Em $]-1,0[$ $f$ \'{e} o quociente de duas fun\c{c}\~{o}es, tendo em numerador a fun\c{c}\~{a}o $\sin$, cont\'{\i}nua, e em
 denominador um polin\'{o}mio, tamb\'{e}m cont\'{\i}nuo.

Falta-nos estudar o comportamento da fun\c{c}\~{a}o nos pontos $a=-1$ e
$a=0$.

Para $a=-1$, temos:
\begin{itemize}
\item[] $\ds\lim_{x\to -1^-}f(x)=\lim_{x\to -1}1=1=f(1)$, e
\item[] $\ds\lim_{x\to -1^+}f(x)=\lim_{x\to -1^+}\frac{\sin
x}{x(x+1)}=+\infty$, pois $\ds\lim_{x\to -1^+}\frac{\sin
x}{x}=-\sin (-1)>0$ e $\ds\lim_{x\to -1^+}\frac{1}{x+1}=+\infty$.
\end{itemize}
Logo, $f$ tem uma descontinuidade essencial de segunda esp\'{e}cie em
$a=-1$.

Para $a=0$, vem:
\begin{itemize}
\item[] $\ds\lim_{x\to 0^-}\frac{\sin x}{x(x+1)}=\lim_{x\to
0^-}\frac{\sin x}{x}\times\frac{1}{x+1}=1$, uma vez que
$\ds\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1=\lim_{x\to 0}\frac{1}{x+1}$, e
\item[] $\ds\lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^+}1=1=f(0)$.
\end{itemize}
Logo, $f$ \'{e} cont\'{\i}nua no ponto $0$.

\end{enumerate}

\end{document}
