Porquê estudar Geometria Algébrica?

Na lista das secções científicas do ICM 2006 (International Congress of Mathematicians) a secção de Geometria Complexa e Algébrica conta-se entre as mais vastas, com um total de 15 temas de investigação. Adicionalmente, o número de oradores convidados pelo ICM 2006 para esta secção científica reforça ainda mais a ideia de que a Geometria Algébrica continua a ser uma das áreas mais activas da Matemática. Tem sido assim ao longo de várias décadas e a demonstrá-lo está o número de matemáticos galardoados com a Medalha Fields oriundos desta área. Ao todo, perfazem um quarto de todos os medalhados: Kodaira, Serre, Atiyah, Grothendieck, Hironaka, Bombieri, Mumford, Deligne, Faltings, Mori e Lafforgue; a que se deve acrescentar o mediático Andrew Wiles, que em 1998 mereceu a distinção de uma "menção especial" (Special Tribute) do Instituto Fields. Facto algo irónico, dado o desconhecimento generalizado dos medalhados (mesmo em algumas comunidades matemáticas) que, não obstante, receberam a distinção maior. Claro que, como todos sabemos, o Instituto Fields viu com Andrew Wiles o quão extemporânea é a máxima, capaz de humilhar qualquer matemático com justa pretensão à medalha, de que a melhor obra matemática é aquela realizada até à idade dos 40 anos. Mas, conceda-se, foi por pouco. Wiles tinha 40 anos quando, a tempo de concorrer à medalha, comunicou a demonstração do último teorema de Fermat. Sucedeu, como sucede tantas vezes em Matemática, que foi possível encontrar um "buraco" na sua argumentação.

A história da Geometria Algébrica é longa, podendo situar-se o nascimento da investigação nesta área da Matemática no século XIX, ainda que essa investigação se debruçasse sobre conceitos mais antigos. Os três primeiros quartéis do século XX ficaram marcados por uma forte procura do rigor na Matemática cujo reflexo em Geometria Algébrica é a introdução de fundações sólidas. Ainda assim, existem muitos problemas de carácter fundacional que sobreviveram até ao presente (e outros que surgiram entretanto, e.g., na Teoria de Classificação de Variedades Algébricas) que dariam matéria prima para um doutoramento de elevada qualidade. Por outro lado, nas áreas em que existem fortes fundações teóricas, como a da Teoria de Moduli de Curvas Algébricas, há ainda muitas questões por resolver de cariz meramente computacional.

Embora se tenha como uma das áreas mais puras da Matemática, a Geometria Algébrica é tida em inúmeras interacções com outras disciplinas da Ciência. Talvez este facto possa ser justificado pela força matemática das suas ideias. A Teoria de Representações, a Álgebra Linear, a Teoria de Categorias, a Teoria de Códigos, a Teoria de Controlo e Optimização, a Estatística e a Física Teórica são algumas áreas da ciência em que, actualmente, são usados conceitos e técnicas de Geometria Algébrica.

Perante este cenário, é evidente que um curso de introdução à Geometria Algébrica deva estar ao alcance do aluno interessado na carreira de investigação, independentemente de se destinar a uma área dita pura ou aplicada. Todavia, mesmo não se tratando de uma carreira de investigação que o leitor pretenda, saiba que existem aplicações da Matemática na consultoria à industria e serviços, que carecem de algumas bases em Geometria Algébrica, como é o caso da Estatística Algébrica.

Janeiro 2006