ÁLGEBRA


Sumários das Aulas Teóricas



1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12 - 13 - 14 - 15 - 16 - 17 - 18 - 19 - 20 - 21 - 22 - 23 - 24 - 25 - 26 - 27 - 28 - 29 - 30 - 31 - 32 - 33 - 34 - 35 - 36 - 37 - 38 - 39 - 40 - 41 - 42 - 43 - 44 - 45 - 46 - 47 - 48 - 49 - 50 - 51 - 52 - 53 - 54 - 55 - 56 - 57 - 58 - 59 - 60 - 61 - 62 - 63 - 64 - 65 - 66.



Aula  n 1
Dia: 6/10/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: Apresentação do curso: Programa, Bibliografia e Avaliação.




Aula n 2
Dia: 8/10/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: 0 - PRELIMINARES: Revisão de conceitos fundamentais e estabelecimento de alguma notação e terminologia. 0.1. CONJUNTOS E FUNÇÕES 0.2. RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA




Aula n 3
Dia: 10/10/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: 0.3. OS NÚMEROS INTEIROS Princípio da boa ordenação. Algoritmo da divisão.




Aula n 4
Dia: 13/10/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: Máximo divisor comum: Definição, existência e cálculo (Algoritmo de Euclides). Números primos. Teorema Fundamental da Aritmética.




Aula n 5
Dia: 17/10/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: I - GRUPOS 0. INTRODUÇÃO: Alguns exemplos de problemas estreitamente relacionados com o desenvolvimento da Álgebra, cuja resolução abordaremos ao longo do curso - uma perspectiva histórica: - Resolubilidade de equações polinomiais; fórmulas resolventes para as equações polinomiais de graus 2, 3 e 4. Polinómios solúveis por radicais. Soluções de Abel e de Galois. - Problemas geométricos clássicos: trissecção de um ângulo dado, duplicação do cubo, quadratura do círculo. - Resolubilidade de algumas equações diofantinas (como, por exemplo, x^2+y^2=z^2 ou x^2+2=y^3). - Estabelecimento de códigos que contenham sistemas de detecção de vários tipos de erros (ISBN, UPC, etc.).




Aula n 6
Dia: 20/10/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: 1. DEFINIÇÃO DE GRUPO: Motivação. Definição. Propriedades elementares.




Aula n 7
Dia: 22/10/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: Enfraquecimento dos axiomas de definição de grupo: formas alternativas de definir um grupo.




Aula n 8
Dia: 24/10/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: Conclusão da aula anterior. Notações importantes. Propriedades das potências. Exemplos de grupos: - O grupo das raízes quartas da unidade;




Aula n 9
Dia: 27/10/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: - O grupo simétrico sobre X, Sim(X). O grupo simétrico de ordem n, S_n; - O grupo das simetrias de um rectângulo; - O grupo (Z_m,+_m).




Aula n 10
Dia: 29/10/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: Determinação de todas as operações de grupo num conjunto com 4 elementos. Isomorfismo de grupos. Conclusão de que, a menos de isomorfismo, só existem dois grupos de ordem 4: o grupo das simetrias do rectângulo e o grupo das raízes quartas da unidade.




Aula n 11
Dia: 31/10/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: A matemática dos números de identificação: ilustração de como algumas técnicas algébricas elementares estão na base dos códigos de identificação com auto-detecção de erros. O código ISBN. O código de barras UPC.




Aula n 12
Dia: 3/11/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: Abordagem geral a este tipo de códigos. Condições que m e o vector de identificação de algarismos para Z_m deverão verificar para que o código detecte determinados tipos de erros (erros simples, troca de dois algarismos, erros gémeos, erros gémeos intercalados e erros fonéticos).




Aula n 13
Dia: 5/11/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: 2. SUBGRUPOS: Definição. Diversas caracterizações.




Aula n 14
Dia: 7/11/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: Subgrupos gerados por conjuntos. Grupos finitamente gerados e grupos cíclicos. 3. CLASSES LATERAIS: Definição. Propriedades. Teorema de Lagrange.




Aula n 15
Dia: 10/11/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: 4. SUBGRUPOS NORMAIS. GRUPOS QUOCIENTE.




Aula n 16
Dia: 12/11/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: 5. HOMOMORFISMOS DE GRUPO. Definição. Exemplos. Propriedades.




Aula n 17
Dia: 14/11/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: Núcleo de um homomorfismo. Imagem de um homomorfismo. Propriedades. Factorização de homomorfismos.




Aula n 18
Dia: 17/11/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: Primeiro teorema do isomorfismo. Exemplos: Grupos de permutações; Teorema de Cayley.




Aula n 19
Dia: 19/11/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: Uma aplicação do Teorema de Cayley: O critério de Siu-Hammel para verificar se um quadrado latino é uma tabela de Cayley.




Aula n 20
Dia: 21/11/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: 6. GRUPOS CÍCLICOS: Caracterização. Ordem de um elemento. Propriedades.




Aula n 21
Dia: 24/11/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: Continuação da aula anterior.




Aula n
Dia: 26/11/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: Tolerância de ponto.




Aula n 22
Dia: 28/11/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: Estrutura dos subgrupos de um grupo cíclico.




Aula n 23
Dia: 3/12/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: 7. PRODUTOS DIRECTOS




Aula n 24
Dia: 5/12/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: Produtos directos interno e externo.




Aula n 25
Dia: 10/12/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: 8. GRUPOS ABELIANOS FINITOS: Qualquer grupo abeliano finito é uma soma directa de grupos S(p), p primo.




Aula n 26
Dia: 12/12/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: Estudo dos grupos S(p): são soma directa de grupos cíclicos cuja ordem é uma potência de p.




Aula n 27
Dia: 15/12/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: Conclusão do estudo dos grupos abelianos finitos: divisores elementares e factores invariantes; Teorema de estrutura.






Aula n 28
Dia: 17/12/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: 9. GRUPOS DE PERMUTAÇÕES: O grupo simétrico de ordem n. Definições e notações básicas. Ciclos.






Aula n 29
Dia: 19/12/97
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: Teorema da factorização. Ordem de uma permutação.




Aula n 30
Dia: 5/1/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: Decomposição de uma permutação em transposições. Permutações pares e permutações ímpares.




Aula n 31
Dia: 7/1/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: Sinal de uma permutação. Propriedades. Estudo dos subgrupos de S_n. O grupo alternante A_n de grau n.




Aula n 32
Dia: 9/1/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: II - ANÉIS. 1. DEFINIÇÃO DE ANEL. Propriedades básicas. Anéis comutativos e anéis unitários. Exemplos. Divisores de zero.




Aula n 33
Dia: 12/1/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: Unidades de um anel. Domínios de integridade e corpos. Exemplos. 2. SUBANÉIS. IDEAIS. ANÉIS QUOCIENTE: Subanéis. Caracterização. Exemplos.




Aula n
Dia: 14/1/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: Edifício encerrado pelos alunos.




Aula n 34
Dia: 16/1/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: Ideais. Exemplos. Propriedades. Anéis quociente.




Aula n 35
Dia: 25/2/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: Ideal gerado por um conjunto. Ideais principais; sua construção.




Aula n 36
Dia: 27/2/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: 3. HOMOMORFISMOS DE ANÉIS.




Aula n 37
Dia: 2/3/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: Factorização de homomorfismos de anéis. Critérios de divisibilidade para 3, 9 e 11.




Aula n 38
Dia: 4/3/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: A "prova dos nove". 4. EXTENSÕES DE ANÉIS.




Aula n 39
Dia: 6/3/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: Imersão de um domínio de integridade num corpo. Corpo dos quocientes.




Aula n 40
Dia: 9/3/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: Ideais primos.




Aula n 41
Dia: 11/3/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: Ideais maximais.




Aula n 42
Dia: 13/3/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: Polinómios e funções polinomiais.




Aula n 43
Dia: 16/3/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: Anéis de polinómios. 6. DOMÍNIOS DE IDEAIS PRINCIPAIS. DOMÍNIOS EUCLIDIANOS: Definição e propriedades dos domínios de ideais principais.




Aula n 44
Dia: 18/3/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: Algoritmo da divisão no anel dos polinómios de coeficientes num corpo. Conclusão de que estes anéis de polinómios são domínios de ideais principais.




Aula n 45
Dia: 20/3/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: Domínios euclidianos. Exemplos. Propriedades. 7. DOMÍNIOS DE FACTORIZAÇÃO ÚNICA: Definição da relação de divisibilidade num domínio. Elementos associados. Elementos irredutíveis.




Aula n
Dia: 23/3/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: Não houve aula.




Aula n
Dia: 25/3/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: Não houve aula.




Aula n
Dia: 27/3/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: Não houve aula.




Aula n 46
Dia: 30/3/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: Elementos primos. Relação entre elementos primos e irredutíveis. Exemplos.




Aula n 47
Dia: 1/4/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: Domínios de factorização única. Exemplos.




Aula n 48
Dia: 3/4/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: Lema de Gauss. Breve resumo das relações entre os vários tipos de domínios introduzidos. Máximo divisor comum. Exemplos. Propriedades.




Aula n 49
Dia: 20/4/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: Algoritmo de Euclides. 8. RAÍZES DE POLINÓMIOS.




Aula n 50
Dia: 22/4/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: Alguns resultados: caracterização das raízes; sua contagem; relação entre anéis de polinómios e anéis de funções polinomiais; determinação das raízes racionais de polinómios com coeficientes inteiros.




Aula n 51
Dia: 24/4/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: O Teorema Fundamental da Álgebra. 9. FACTORIZAÇÃO DE POLINÓMIOS: Determinação dos polinómios irredutíveis sobre R e C.




Aula n 52
Dia: 27/4/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: Conclusão da aula anterior. Alguns critérios de irredutibilidade de polinómios em Q.




Aula n 53
Dia: 29/4/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: Conclusão da aula anterior. Exemplos.




Aula n 54
Dia: 4/5/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: Ilustração, com a resolução de equações diofantinas, da génese de alguns conceitos estudados neste capítulo. III - CORPOS 1. CORPOS PRIMOS: Definição. Exemplos. Subcorpos primos.




Aula n 55
Dia: 6/5/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: Característica de um corpo. 2. EXTENSÕES DE CORPOS: Extensões simples.




Aula n 56
Dia: 8/5/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: Conclusão da aula anterior. Elementos algébricos e elementos transcendentes sobre um corpo. O Teorema de Lindemann: pi é transcendente sobre Q.




Aula n 57
Dia: 15/5/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: Extensões algébricas. Extensões finitas.




Aula n 58
Dia: 18/5/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: Conclusão da aula anterior.




Aula n 59
Dia: 20/5/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: Exemplos.




Aula n 60
Dia: 22/5/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: 3. CORPOS DE DECOMPOSIÇÃO: Definição e exemplos. O teorema de existência e unicidade de Kronecker.




Aula n 61
Dia: 25/5/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: Conclusão da aula anterior. Exemplos. Corpos algebricamente fechados.




Aula n 62
Dia: 27/5/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: Caracterizações de corpos algebricamente fechados. Fecho algébrico. Exemplos. 4. CONCLUSÃO DO CURSO: ALGUMAS APLICAÇÕES. Construções com régua e compasso: - Problemas da geometria clássica. - Regras para realizar tais construções.




Aula n 63
Dia: 29/5/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: - Exemplos de construções. - Os quatro problemas famosos: a duplicação do cubo, a trissecção de um ângulo arbitrário, a quadratura do círculo e a inscrição de um heptágono regular numa circunferência. - Modelização da questão em termos algébricos: pontos construtíveis.




Aula n 64
Dia: 1/6/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: - Prova de que, dado um conjunto de pontos do plano e sendo K0 o corpo gerado pelas coordenadas desses pontos, se (x,y) é construtível a partir dos pontos dados então (K0(x):K0) e (K0(y):K0) são potências de 2. - Solução dos problemas famosos: impossibilidade da duplicação do cubo usando "régua e compasso";




Aula n 65
Dia: 3/6/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: - Impossibilidade da trissecção do ângulo de 60o; - Impossibilidade da quadratura do círculo; - Impossibilidade da construção de um heptágono regular. Construção de n-gonos regulares: notas históricas; análise da condição suficiente (de Gauss) e necessária (de Wantzel) de construtibilidade. Os Números de Fermat.




Aula n 66
Dia: 5/6/98
Hora: 11:00-12:00 (T1)
      12:00-13:00 (T2)

Sumário: Resolução de equações por radicais: descrição do problema e breve digressão pelos teoremas de Abel e Galois. Notas históricas. Exemplos de polinómios não solúveis por radicais.