Curso de Álgebra II

Introdução

Estas notas incluem com algum pormenor os principais conceitos e resultados apresentados nas aulas teóricas, completados aqui e acolá com alguns exemplos, observações e exercícios. Espera-se que sejam um auxiliar valioso para o curso, que permita uma maior liberdade nas aulas, na explicação teórica dos assuntos, substituindo uma exposição com grande pormenor formal por uma que realce a motivação e os aspectos intuitivos desses mesmos conceitos e respectivas interrelações, e que por outro lado sejam um estímulo à atenção e participação activa dos estudantes.

Devem ser encaradas como um mero guião das aulas, e portanto não são um substituto das mesmas nem sequer da bibliografia indicada.

Assumem-se alguns preliminares, nomeadamente:

• matéria dada na disciplina de Álgebra I.

• conhecimentos básicos de Teoria dos Números.

• conhecimentos gerais de Álgebra Linear.

• a “maturidade matemática” que se espera de estudantes do terceiro ano da licenciatura em Matemática.

No desenvolvimento do programa seguir-se-à a recomendação de fundo expressa no programa mínimo da disciplina:

“... que se faça uma abordagem com um grau de abstracção algo apurado, de acordo com o facto de se tratar de uma disciplina do terceiro ano da licenciatura, mas sem esquecer que a álgebra pode apresentar-se com um olhar nas aplicações, que os seus temas, ‘clássicos’, ou ‘modernos’, foram e vão sendo originados por problemas concretos, e que alguns dos seus tópicos mais interessantes têm origem em questões complexas da geometria e da análise. Nesta perspectiva, deverá incluir-se no programa a resolução de problemas clássicos sobre as construções com régua e compasso, a resolução de equações através de radicais e diversas aplicações modernas da teoria dos corpos finitos à teoria dos códigos.”

Aula 1 - Álgebra II

1. Anéis e Corpos

Uma das características da matemática do último século foi a sua tendência para a abstracção. Das áreas da chamada “álgebra moderna”, só a teoria abstracta dos anéis e ideais é inteiramente um produto do século XX. De facto, praticamente toda a teoria de anéis estudada e ensinada hoje em dia é resultado do trabalho de matemáticos dos últimos 80 anos.

A teoria moderna dos anéis teve, no entanto, origem no século XIX, em duas fontes distintas: em Richard Dedekind (1831-1916), que introduziu em 1871 a noção de ideal, no seu trabalho de generalizar o Teorema Fundamental da Aritmética (da factorização única em primos) a contextos mais abstractos, e no trabalho de David Hilbert (1862-1945), Edmund Lasker (1868-1941) e F. S. Macaulay (1862-1927) em anéis de polinómios.

O pioneiro no tratamento abstracto da teoria dos anéis foi Adolf Fraenkel (1891-1965) com o artigo “On the divisors of zero and the decomposition of rings”^{1}. Este artigo contém a primeira caracterização axiomática da noção de anel, embora não seja a utilizada hoje em dia. O seu objectivo era sair do estudo particular dos corpos, de modo a obter uma teoria suficientemente geral para poder ser aplicada aos inteiros módulo n, aos números p-ádicos e aos sistemas de “números hipercomplexos”. A definição actualmente utilizada de anel (comutativo) parece ter aparecido pela primeira vez em 1917, num artigo do matemático japonês Masazo Sono intitulado “On congruences”^{2}.

O matemático que mais contribuiu para o avanço do ponto de vista abstracto na teoria dos anéis foi Emmy Noether (1882-1935). É costume apontar-se o seu artigo “Ideal theory in rings”^{3} de 1921 como origem da teoria abstracta dos anéis. O seu tratamento axiomático, muito elegante, constituiu uma novidade ao tempo^{4}. Neste artigo, Noether estende o trabalho de Hilbert, Lasker e Macaulay nos anéis de polinómios a anéis mais gerais. Num artigo subsequente ^{5}, faz num anel abstracto o que Dedekind tinha feito para anéis de números algébricos.

A ideia revolucionária de trabalhar de modo abstracto com anéis e seus ideais — devida a Fraenkel, Sono e Noether — conduziu ao contexto “certo” para o estudo da factorização prima e criou a área que hoje é chamada Álgebra Comutativa. Em 1931 o livro famoso de van der Waerden’s^{6} colocou todas estas ideias à disposição de uma nova geração de algebristas.

1Journal für die Reine und Angewandte Mathematik 145 (1914) 139-176.

2Memoirs of the College of Science of Kyoto 2 (1917) 203-226.

3Mathematische Annalen 83 (1921) 24-66.

4Nas palavras de Kaplansky, “The importance of this paper is so great that it is surely not much of an exaggeration to call her the mother of modern algebra”.

5Abstract study of ideal theory in algebraic number- and function-fields, Mathematische Annalen 96 (1927) 203-226.

Porquê (−1)(−1) = 1? Mais geralmente, porquê (−a)(−b) = ab? E a · 0 = 0? Estas são questões que fazem parte do problema geral de justificação lógica das leis de operação com os números negativos e que nos conduzem aos conceitos de anel (e domínio de integridade e estrutura ordenada).

ANEL Um anel (A, +, ·) é um conjunto A com duas operações binárias, que denotaremos por + e ·, tais que:

(1) (A, +) é um grupo abeliano.

(2) · é associativa; ou seja,

(a · b) · c = a · (b · c) para quaisquer a, b, c ∈ A.

(3) · é distributiva relativamente a +; ou seja,

a · (b + c) = a · b + a · c

e

(b + c) · a = b · a + c · a

para quaisquer a, b, c ∈ A.

Usaremos simplesmente a letra A para designar um anel arbitrário (A, +, ·). Um anel A diz-se comutativo se · é comutativa e chama-se anel com identidade (ou anel unitário) se a operação · possui um elemento neutro (chamado identidade) — ou seja, se existe um elemento 1 em A tal que a·1 = 1·a = a para qualquer a ∈ A.

6Modern Algebra, Springer-Verlag, Berlim, 1931.

Designação  Notação  O que representa
Zero do anel  0  neutro de +
Simétrico de a ∈ A  −a  inverso de a no grupo (A, +)
Múltiplo de a ∈ A  na  a + a + ⋯ + a (n ∈ ℤ parcelas)
Identidade do anel  1  neutro de ·, caso exista
Inverso de a ∈ A  a^{−1}  inverso de a em (A, ·), caso exista
Potência de a ∈ A  a^{n}  a · a · · · · · a (n ∈ ℤ^{+} factores)
a^{−n}  a^{−1} · a^{−1} · · · · · a^{−1} (n ∈ ℤ^{+} factores)

Exercício. Verifique, por indução, que, para quaisquer a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{n}, b_{1}, b_{2}, ⋯, b_{m} em A, se tem:

(a) a(b_{1} + b_{2} + ⋯ + b_{m}) = ab_{1} + ab_{2} + ⋯ ab_{m}.

(b) (a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{n})(b_{1} + b_{2} + ⋯ + b_{m}) = a_{1}b_{1} + a_{1}b_{2} + ⋯ + a_{1}b_{m} + a_{2}b_{1} + a_{2}b_{2} + ⋯ + a_{2}b_{m} + ⋯ + a_{n}b_{1} + a_{n}b_{2} + ⋯ + a_{n}b_{m}.

Exemplos de anéis:

(1) (ℤ, +, .), (ℚ, +, .), (ℝ, +, .) e (ℂ, +, .).

(2) (nℤ, +, ·) (n = 1, 2, …). [para n ≥ 2 n~ ao é unitário]

(3) (ℤ_{n}, ⊕_{n}, ⊗_{n}) (n = 1, 2, …). [ℤ_{n} = {0} para n = 1]

(4) O conjunto M_{n}(ℤ) das matrizes quadradas de ordem n (n ∈ ℕ) com elemen-

tos inteiros, munido das operações de adição e multiplicação de matrizes.

                                     [para n ≥ 2 n~ ao é comutativo]

Mais geralmente, M_{n}(A) para qualquer anel A.

(5) (P(X), Δ, ∩) para qualquer conjunto X ≠ ∅.

[recorde: AΔB := (A ∪ B) \ (A ∩ B)] [0 = ∅, 1 = X]

                                  [anel comutativo com identidade]
                                   [observe: AΔA = ∅, A ∩ A = A]

Proposição. Seja A um anel. Para quaisquer a, b ∈ A tem-se:

(a) a · 0 = 0 · a = 0.

(b) (−a)b = a(−b) = −(ab).

(c) (−a)(−b) = ab.

Demonstração. (a) a · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0, o que implica, pela lei do cancelamento válida em qualquer grupo, a · 0 = 0. Analogamente, 0 · a = 0.

(b) Usando a alínea (a), ab+(−a)b = (a+(−a))b = 0·b = 0, donde (−a)b = −(ab). Analogamente, a(−b) = −(ab).

(c) Pela alínea (b) tem-se (−a)(−b) = −(a(−b)) = −(−(ab)). Mas, em qualquer grupo, −(−(ab)) = ab. Logo (−a)(−b) = ab.

Assumiremos sempre que num anel com identidade 1 ≠ 0. Com efeito, por 1(a), se 0 = 1 então, para qualquer a ∈ A, a = a · 1 = a · 0 = 0 e o anel A reduz-se ao caso trivial A = {0}.