Aula 11 - Álgebra II

Extensões de corpos

As sucessivas extensões do conceito de número, dos naturais para os inteiros, racionais, reais e, finalmente, complexos foram impostas pela necessidade de resolver equações polinomiais ou, o que é equivalente, de determinar raízes de polinómios.

Os números irracionais surgiram com a necessidade de resolver a equação polinomial x^{2} − 2 = 0, imposta pelo Teorema de Pitágoras. É bem conhecido que x^{2} + 1 = 0 não tem solução no corpo dos reais. Para resolver uma tal equação foi necessária a introdução do número “imaginário” i = \sqrt{−1}. Portanto, estes problemas foram resolvidos com a construção de sucessivas extensões do conceito de número.

Nos nossos dias todos estes números nos são familiares mas é claro que não foi sempre assim. Atribui-se ao matemático do século XIX Leopold Kronecker (1823-1891) a seguinte frase:

Deus criou os números inteiros e tudo o resto é obra do homem.

Na resolução da equação do segundo grau, é com a maior tranquilidade que trabalhamos com o caso em que o binómio discriminante b^{2} − 4ac é negativo. Os números complexos são-nos perfeitamente familiares o que não sucedia no século XVI. De facto foi Cardan quem primeiro introduziu números da forma a + \sqrt{−b}, com a e b inteiros positivos. No entanto, fê-lo com sérias reservas e um forte sentimento de culpa.

É curioso notar que foi a determinação das soluções da equações de terceiro grau que levou à construção dos números complexos. As equações de grau dois e binómio discriminante negativo eram simplesmente classificadas como insolúveis mas, para a equação de terceiro grau, o caso muda de figura pois soluções reais são obtidas passando por números complexos. Por exemplo, a equação x^{3}−15x−4 = 0, pela regra de Cardan dá

x = \sqrt[3]{2 + \sqrt{−121}} + \sqrt[3]{2 − \sqrt{−121}}

e, consequentemente, é considerada sem solução. No entanto, ela tem três raízes reais: 4, −2+\sqrt{3} e −2−\sqrt{3}. Isto foi constatado por Bombelli, também matemático italiano do século XVI. Ele foi o primeiro a introduzir uma notação para o que hoje denotamos por i e −i (a que ele chamou “più di meno” e “meno di meno”) e a trabalhar com esses símbolos utilizando as regras bem conhecidas i × i = −1, −i × i = 1, etc. Às sucessivas extensões do conceito de número, dos naturais para os inteiros, racionais e reais, algumas bem conturbadas, tornava-se inevitável juntar mais uma: os números complexos.

A invenção de novos números se, por um lado, foi inevitável - por exemplo para resolver equações de terceiro grau, como já foi referido - não foi um processo pacífico nem facilmente aceite pela comunidade matemática como o revelam nomes tais como “irracionais” ou “imaginários”.

O estudo que fizemos sobre anéis e corpos dá-nos, como veremos, um processo sistemático de “inventar raízes de polinómios”. Neste processo os polinómios irredutíveis desempenham um papel determinante.

Sendo C um corpo, K ⊆ C é um subcorpo de C quando K é um subconjunto não-vazio de C tal que (K, +) é um subgrupo de (C, +) e (K\{0}, ·) é um subgrupo de (C \ {0}, ·).

                           [Observe: K ⊆ C é um subcorpo de C sse

(1) 0, 1 ∈ K

                                (2) a − b ∈ K para quaisquer a, b ∈ K

                      (3) ab^{−1} ∈ K para quaisquer a ∈ K, b ∈ K \ {0}]

EXTENSÃO DE UM CORPO Diz-se que um corpo C é uma extensão de um corpo K, se K é um subcorpo de C. A extensão é própria quando C ≠ K.

Consideremos o corpo de Galois de ordem p (prima), 𝔽_{p} = (ℤ_{p}, ⊕_{p}, ⊗_{p}). Qualquer subcorpo K de 𝔽_{p} contém a identidade 1 logo contém os elementos

1 + 1, 1 + 1 + 1, …, −1, −1 − 1, …

Portanto 𝔽_{p} ⊆ K, pelo que K = 𝔽_{p}. Isto mostra que 𝔽_{p} não contém subcorpos próprios (isto é, ≠ 𝔽_{p}). Diz-se que 𝔽_{p} é um corpo primo. Portanto, os corpos primos são, em certo sentido, os menores corpos que existem. Outro exemplo de corpo primo é o corpo dos racionais: sendo K um subcorpo de ℚ, se 1 ∈ K então imediatamente ℤ ⊆ K, donde qualquer \frac{n}{m} = nm^{−1} (n ∈ ℤ, m ∈ ℤ \ \{0\}) também pertence a K, isto é, K = ℚ. Por outro lado, ℝ e ℂ não são primos.

Aproveitaremos agora para mostrar que os corpos 𝔽_{p} e ℚ são, a menos de isomorfismo, os únicos corpos primos que existem.

É fácil verificar que a intersecção de qualquer família de subcorpos de um corpo C é ainda um subcorpo de C.

      [Este facto decorre imediatamente do correspondente facto para
                                      grupos, provado em Álgebra I]

Em particular, a intersecção de \underline{todos} os subcorpos de C é um subcorpo P de C.

SUBCORPO PRIMO A este subcorpo P chama-se subcorpo primo de C. Evidentemente, trata-se de um corpo primo.

Teorema. O subcorpo primo de um corpo C é isomorfo a 𝔽_{p} ou a ℚ, consoante a característica de C seja p ou 0.

Demonstração. Consideremos a aplicação ϕ : ℤ → C definida por ϕ(n) = n1_{C}, onde 1_{C} designa a identidade do corpo C. É evidente que ϕ é um homomorfismo de anéis:

• ϕ(n + m) = (n + m)1_{C} = n1_{C} + m1_{C} = ϕ(n) + ϕ(m).

• ϕ(nm) = (nm)1_{C} = (n1_{C})(m1_{C}) = ϕ(n)ϕ(m).

Consideremos o núcleo de ϕ:

Nuc ϕ = {n ∈ ℤ | ϕ(n) = 0}.

          [Em Álgebra I foi observado que Nuc ϕ é um subgrupo de ℤ.
                           Observe agora que Nuc ϕ é um ideal de ℤ]

Pelo Teorema do Isomorfismo para anéis, ϕ(ℤ) ≅ ℤ/Nuc ϕ.

              [Este teorema é uma generalizaç~ ao imediata para anéis
       do Teorema do Isomorfismo para grupos, estudado em Álgebra I:

Se ϕ : A → B é um homomorfismo de grupos (anéis), e N é o

núcleo de ϕ, então os grupos (anéis) ϕ(A) e A/N são isomorfos.] Como qualquer subcorpo de C contém 1_{C}, também contém ϕ(ℤ). Logo ϕ(ℤ) está contido no subcorpo primo P de C. Por outro lado,

Nuc ϕ = \{n ∈ ℤ | n1_{C} = 0\} = \{ \begin{matrix}pℤ & se car(C) = p \\ \{0\} & se car(C) = 0 \end{matrix}

No primeiro caso, tem-se ϕ(ℤ) ≅ ℤ/pℤ ≅ ℤ_{p}. Como ℤ_{p} é um corpo, ϕ(ℤ) é um corpo, donde necessariamente coincide com P.

No segundo caso, tem-se ϕ(ℤ) ≅ ℤ/{0} ≅ ℤ, donde ℤ ≅ ϕ(ℤ) ⊂ P. Portanto P contém uma cópia isomorfa de ℤ. Estendendo o homomorfismo ϕ : ℤ → ϕ(ℤ) a ℚ, definindo \overline{ϕ} : ℚ → P por \overline{ϕ}(\frac{n}{m}) = ϕ(n)ϕ(m)^{−1}, obtemos um isomorfismo de anéis, o que mostra que, neste caso, P ≅ ℚ.

     [Alternativamente, podia observar-se, como fizemos no início da
         aula para ℚ, que um corpo P que contenha(uma cópia de) ℤ,
             terá que conter necessariamente (uma cópia de) ℚ, pois

n, m ∈ P ⇒ \frac{n}{m} = nm^{−1} ∈ P]

Exemplos: ℚ é o subcorpo primo de ℝ e ℂ. Da mesma forma, ℚ é também o subcorpo primo de ℚ[\sqrt{2}] = \{a + b\sqrt{2} | a, b ∈ ℚ\}.

Qualquer extensão C de um corpo K pode ser vista como um espaço vectorial sobre K, tomando para adição vectorial ⊕ a própria adição no corpo e para multiplicação escalar ∗ a multiplicação em C:

Adição vectorial: a ⊕ b := a + b, ∀a, b ∈ C
Multiplicação escalar: κ ∗ a := κa, ∀κ ∈ K, ∀a ∈ C

                                            [Exercício:  Verifique]

Este resultado é fundamental para o desenvolvimento da teoria dos corpos, porque nos permite aplicar as ferramentas da álgebra linear.

GRAU DE UMA EXTENSÃO Seja C uma extensão de K. O grau da extensão C sobre K, que denotaremos por [C : K], é a dimensão do espaço vectorial C sobre K. A extensão C diz-se finita se [C : K] for finita, e diz-se uma extensão infinita, caso contrário.