Aula 12 - Álgebra II

Vamos ver mais tarde técnicas para calcular o grau [L : K] em certos casos importantes. Para já começamos com um resultado geral, que tem um papel nesta teoria análogo ao do Teorema de Lagrange na teoria dos grupos (finitos).

Teorema. [Teorema da Torre] Sejam M ⊇ L ⊇ K extensões sucessivas de um corpo K. Então

[M : K] = [M : L][L : K].

      [Note que o produto à direita é simplesmente uma multiplicaç~ ao
    de cardinais; no caso de algum dos graus ser infinito, a fórmula
     significa que [M : K] = ∞ se e só se [M : L] = ∞ ou [L : K] = ∞]

Demonstração. Seja {a_{i}}_{i∈I} uma base do espaço vectorial L sobre K e seja {b_{j}}_{j∈J} uma base do espaço vectorial M sobre L. Bastará provar que {a_{i}b_{j}}_{i∈I,j∈J} é uma base do espaço vectorial M sobre K.

É claro que cada elemento a_{i}b_{j} pertence a M, pois a_{i} ∈ L ⊆ M e b_{j} ∈ M. Provemos que se trata de um conjunto de vectores linearmente independente sobre K:

Se

∑_{i∈I,j∈J} κ_{ij}a_{i}b_{j} = 0,

com κ_{ij} ∈ K, isto significa que ∑_{j∈J}(∑_{i∈I} κ_{ij}a_{i})b_{j} = 0. Como cada ∑_{i∈I} κ_{ij}a_{i} per-

tence a L e os b_{j} são linearmente independentes sobre L, então ∑_{i∈I} κ_{ij}a_{i} = 0 para qualquer j ∈ J. Mas os a_{i} são linearmente independentes sobre K e, portanto, κ_{i,j} = 0 para qualquer i ∈ I e j ∈ J.

Finalmente, vejamos que se trata de um conjunto de geradores de M sobre K: Seja c ∈ M. Então podemos escrever c = ∑_{j∈J} l_{j}b_{j}, onde l_{j} ∈ L, porque

{b_{j}}_{j∈J} é uma base de M sobre L. Mas, por sua vez, cada l_{j} é uma combinação linear l_{j} = ∑_{i∈I} κ_{ij}a_{i}, porque {a_{i}}_{i∈I} é uma base de L sobre K. Consequentemente, c = ∑_{i,j} κ_{ij}a_{i}b_{j}.

Note que [L : K] = 1 se e só se L = K. De facto, se [L : K] = 1, seja {a} uma base do espaço L sobre K; como 1 ∈ L, podemos escrever 1 = κa para algum κ ∈ K, o que mostra que a = κ^{−1} ∈ K e, consequentemente, que L ⊆ K. O recíproco é óbvio.

Seja L uma extensão de K. Se S ⊆ L é um subconjunto, designamos por K(S) a extensão de K gerada por S, ou seja, o menor subcorpo de L que contém K ∪ S. É claro que K(S) é uma extensão de K contida em L. Se S = {θ_{1}, …, θ_{n}} ou S = {θ}, escrevemos simplesmente K(θ_{1}, …, θ_{n}) ou K(θ) em vez de K(S). Neste último caso, K(θ) diz-se uma extensão simples de K.

Exemplos: (1) ℝ(i) = ℂ: Por definição, ℝ(i) é o menor subcorpo de ℂ que contém ℝ ∪ {i}, em particular, ℝ(i) ⊆ ℂ. Como ℝ(i) é um corpo terá que conter necessariamente todos os elementos da forma a + ib, com a, b ∈ ℝ. Portanto ℂ ⊆ ℝ(i).

Se z ∈ ℂ então z escreve-se na forma a + ib com a e b únicos, o que implica que {1, i} é uma base de ℂ sobre ℝ. Logo [ℂ : ℝ] = 2. Como 2 é primo, segue do Teorema da Torre que se K é tal que ℝ ⊆ K ⊆ ℂ então ou [K : ℝ] = 1 ou [ℂ : K] = 1, ou seja, K = ℝ ou K = ℂ.

(2) ℚ(i) = {a + ib : a, b ∈ ℚ} ⊂ ℂ: Como ℚ(i) é um corpo, por definição, terá que conter necessariamente todos os elementos da forma a + ib, com a, b ∈ ℚ. Quanto à inclusão recíproca, bastará assegurarmos que {a + ib : a, b ∈ ℚ} é um subcorpo de ℂ. Sejam a + ib, c + id com a, b, c, d ∈ ℚ. Não é difícil mostrar que (a + ib) − (c + id) ainda pertence a {a + ib : a, b ∈ ℚ}. Suponhamos que c + id ≠ 0 (isto é, c ≠ 0 ou d ≠ 0). Então c − id ≠ 0, pelo que

(a + ib)(c + id)^{−1} = \frac{a + ib}{c + id} = \frac{a + ib}{c + id} \frac{c − id}{c − id} = \frac{ac − bd}{c^{2} + d^{2}} + i\frac{bc − ad}{c^{2} + d^{2}}

ainda pertence a {a + ib : a, b ∈ ℚ}.

É claro que, tal como no exemplo anterior, [ℚ(i) : ℚ] = 2, sendo {1, i} a base de ℚ(i) sobre ℚ.

(3) Do mesmo modo que no exemplo anterior, pode provar-se que

ℚ(\sqrt{2}) = \{a + b\sqrt{2} : a, b ∈ ℚ\}

e [ℚ(\sqrt{2}) : ℚ] = 2. Neste caso a base é \{1, \sqrt{2}\}.

(4) Note que para o elemento \sqrt[3]{2} ainda se tem \{a + b\sqrt[3]{2} : a, b ∈ ℚ\} ⊆ ℚ(\sqrt[3]{2}), mas desta vez não temos igualdade (o elemento \sqrt[3]{4} = (\sqrt[3]{2})^{2} pertence a ℚ(\sqrt[3]{2}) mas não pertence a \{a + b\sqrt[3]{2} : a, b ∈ ℚ\}). Neste caso,

ℚ(\sqrt[3]{2}) = \{a + b\sqrt[3]{2} + c\sqrt[3]{4} : a, b, c ∈ ℚ\}

e [ℚ(\sqrt[3]{2}) : ℚ] = 3.

ELEMENTOS ALGÉBRICOS E TRANSCENDENTES Seja L uma extensão de K e seja θ ∈ L. Dizemos que θ é algébrico sobre K se existe um polinómio não-nulo p(x) ∈ K[x] tal que p(θ) = 0. Caso contrário, dizemos que θ é transcendente sobre K.

Exemplos: (1) Se θ ∈ K então θ é raiz de x − θ ∈ K[x] e portanto θ é algébrico sobre K.

(2) \sqrt{2} e i são algébricos sobre ℚ: \sqrt{2} é raiz de x^{2} − 2 ∈ ℚ[x] e i é raiz de x^{2} + 1 ∈ ℚ[x].

(3) É um facto bem conhecido que os números reais π e e são ambos transcendentes sobre ℚ, isto é, não existe nenhum polinómio p(x) ∈ ℚ[x] que tenha π ou e por raiz. As demonstrações destes factos envolvem análise infinitesimal e devem-se originalmente a Lindemann (1882) e a Hermite (1873), respectivamente.

Mas é claro que π e e já são algébricos sobre ℝ.

EXTENSÕES ALGÉBRICAS E TRANSCENDENTES Uma extensão L de K diz-se uma extensão algébrica de K se \underline{todos} os elementos de L são algébricos sobre K. Caso contrário, dizemos que L é uma extensão transcendente de K.

Proposição. Seja L uma extensão finita de K. Então L é algébrica sobre K.

Demonstração. Suponhamos que [L : K] = n ∈ ℕ. Para cada θ ∈ L, {1, θ, θ^{2}, …, θ^{n}} é um conjunto linearmente dependente de L sobre K (pois tem n + 1 vectores). Isso significa que existem a_{0}, a_{1}, a_{2}, …, a_{n} ∈ K, não todos nulos, tais que

a_{0} + a_{1}θ + a_{2}θ^{2} + ⋯ + a_{n}θ^{n} = 0.

Então o polinómio

p(x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + ⋯ a_{n}x^{n} ∈ K[x]

tem a raiz θ, o que mostra que θ é algébrico sobre K.

Portanto, uma extensão transcendente é necessariamente de dimensão infinita.