Aula 13 - Álgebra II

Seja L ⊇ K uma extensão de L e seja θ ∈ L um elemento algébrico sobre K. Consideremos o conjunto

I = {p(x) ∈ K[x] : p(θ) = 0}.

                                 [Exercício: I é um ideal de K[x]]

Como I é um ideal de K[x], pela demonstração do teorema da Aula 8, podemos concluir que existe um polinómio \underline{mónico} m_{θ}(x) ∈ K[x], \underline{único}, tal que I = (m_{θ}(x)).

Este polinómio satisfaz as seguintes propriedades:

Proposição. Seja θ ∈ L um elemento algébrico sobre K. Então:

(1) m_{θ}(x) é irredutível sobre K.

(2) Para cada p(x) ∈ K[x], p(θ) = 0 se e só se m_{θ}(x) | p(x).

(3) m_{θ}(x) é o polinómio mónico não-nulo em K[x] de menor grau que tem θ por raiz.

Demonstração. (1) Como m_{θ}(x) tem uma raiz, tem de ser de grau ≥ 1 necessariamente. Suponhamos que m_{θ}(x) era redutível, isto é, que m_{θ}(x) = p_{1}(x)p_{2}(x), com

1 ≤ gr(p_{1}(x)), gr(p_{2}(x)) < gr(m_{θ}(x)).  (A)

Então 0 = m_{θ}(θ) = p_{1}(θ)p_{2}(θ), donde p_{1}(θ) = 0 ou p_{2}(θ) = 0. Qualquer uma destas possibilidades contradiz (A): se p_{i}(θ) = 0 (i = 1 ou i = 2), então p_{i}(x) ∈ I, ou seja, m_{θ}(x) | p_{i}(x), donde gr(p_{i}(x)) ≥ gr(m_{θ}(x).

(2) É evidente: m_{θ}(x) | p(x) ⇔ p(x) ∈ (m_{θ}(x)) = I ⇔ p(θ) = 0.

(3) É consequência imediata de (2): seja p(x) mónico; se p(θ) = 0 então m_{θ}(x) | p(x), logo p(x) = m_{θ}(x) ou gr(p(x)) > gr(m_{θ}(x)).

POLINÓMIO MÍNIMO O polinómio m_{θ}(x) chama-se o polinómio mínimo de θ sobre K.

Exemplos: x^{2} + 1 é o polinómio mínimo de i sobre ℝ, x^{2} − 2 é o polinómio mínimo de \sqrt{2} sobre ℚ e x − \sqrt{2} é o polinómio mínimo de \sqrt{2} sobre ℝ.

Teorema. Seja θ algébrico sobre K, com polinómio mínimo m_{θ}(x) sobre K. Então cada elemento λ ∈ K(θ) tem uma expressão única na forma λ = p(θ) onde p(x) ∈ K[x] é tal que gr(p(x)) < gr(m_{θ}(x)).

        [Por outras palavras:  se gr(m_{θ}(x)) = n ent~ ao existem únicos

a_{0}, a_{1}, …, a_{n−1} ∈ K tais que λ = a_{0} + a_{1}θ + ⋯ + a_{n−1}θ^{n−1}]

Demonstração. Comecemos por provar que todo o elemento λ de K(θ) se pode escrever na forma p(θ) para algum p(x) ∈ K[x] tal que gr(p(x)) < n. É evidente que

K ∪ {θ} ⊆ {p(θ) : p(x) ∈ K[x]} ⊆ K(θ).

Mas S := {p(θ) : p(x) ∈ K[x]} é um subcorpo de K(θ):

• Se p(θ), q(θ) ∈ S, é evidente que p(θ) − q(θ) ∈ S, pois p(x) − q(x) ∈ K[x].

• Se p(θ), q(θ) ∈ S, com q(θ ≠ 0 então, como θ não é raiz de q(x), pela propriedade (2) na Proposição, m_{θ}(x) ∤ q(x), donde mdc(m_{θ}(x), q(x)) = 1, uma vez que m_{θ}(x) é irredutível sobre K. Isto significa que existem polinómios a(x), b(x) ∈ K[x] tais que 1 = a(x)m_{θ}(x) + b(x)q(x). Mas então 1 = a(θ)m_{θ}(θ) + b(θ)q(θ) = b(θ)q(θ), o que mostra que b(θ) é o inverso de q(θ) em K(θ). Portanto, p(θ)q(θ)^{−1} = p(θ)b(θ), que ainda pertence a S, porque p(x)q(x) ∈ K[x].

Logo, {p(θ) : p(x) ∈ K[x]} = K(θ).

Observemos agora que

{p(θ) : p(x) ∈ K[x]} = {p(θ) : p(x) ∈ K[x], gr(p(x)) < n},

uma vez que, para cada p(x) ∈ K[x], p(x) = q(x)m_{θ}(x) + r(x), com gr(r(x)) < gr(m_{θ}(x)), donde p(θ) = q(θ)m_{θ}(θ) + r(θ) = r(θ).

Em conclusão, K(θ) = {p(θ) : p(x) ∈ K[x], gr(p(x)) < n}, o que mostra que todo o elemento se pode escrever na forma desejada. Finalmente, provemos a unicidade: se λ = p(θ) = q(θ), com p(x), q(x) ∈ K[x] ambos de grau < n, então gr(p(x) − q(x)) < n. Mas p(θ) − q(θ) = 0. Se p(x) ≠ q(x), o polinómio p(x)−q(x) seria um polinómio não-nulo de grau < n com a raiz θ, o que contradiz a propriedade (3) da Proposição.

Daqui decorre imediatamente que toda a extensão algébrica simples é finita:

Corolário. Se θ é algébrico sobre K e gr(m_{θ}(x)) = n, então [K(θ) : K] = n e {1, θ, θ^{2}, …, θ^{n−1}} é uma base do espaço vectorial K(θ) sobre K.

                 [Agora entende-se porque se chama grau da extens~ ao
                     à dimens~ ao [K(θ) : K]:  este número coincide com
                                  o \underline{grau} do polinómio mínimo m_{θ}(x)]

Exemplos: (1) O que fizemos nos exemplos da aula anterior pode agora ser feito de modo muito mais rápido: por este corolário, segue imediatamente que, para qualquer inteiro primo p, [ℚ(\sqrt{p}) : ℚ] = 2 e \{1, \sqrt{p}\} é uma base de ℚ(\sqrt{p}) sobre ℚ; basta para isso observar que x^{2} − p é o polinómio mínimo de \sqrt{p} sobre ℚ.

(2) Consideremos a extensão ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}) de ℚ. Podemos olhar para ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}) como a extensão simples ℚ(\sqrt{2})(\sqrt{3}) de ℚ(\sqrt{2}). Pelo Teorema da Torre,

[ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}) : ℚ] = [ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}) : ℚ(\sqrt{2})] [ℚ(\sqrt{2}) : ℚ] = 2[ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}) : ℚ(\sqrt{2})].

Qual é o polinómio mínimo de \sqrt{3} sobre ℚ(\sqrt{2}) = \{a + b\sqrt{2} : a, b ∈ ℚ\}? \sqrt{3} é raiz de x^{2} − 3 ∈ ℚ[x] ⊂ ℚ(\sqrt{2})[x]. Será que este polinómio é irredutível sobre ℚ(\sqrt{2})? Sim, pois as suas duas raízes ±\sqrt{3} não pertencem a ℚ(\sqrt{2}):

Com efeito, ±\sqrt{3} = a + b\sqrt{2} para algum par a, b de racionais implicaria 3 = a^{2} + 2b^{2} + 2ab\sqrt{2}, ou seja,

\sqrt{2} = \frac{3 − a^{2} − 2b^{2}}{2ab} ∈ ℚ (no caso a, b ≠ 0)

ou 3 = 2b^{2} (no caso a = 0) ou 3 = a^{2} (no caso b = 0), uma contradição, em qualquer um dos três casos.

Portanto, x^{2} − 3 é o polinómio mínimo de \sqrt{3} sobre ℚ(\sqrt{2}), pelo que

[ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}) : ℚ(\sqrt{2})] = 2,

sendo \{1, \sqrt{3}\} uma base de ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}) sobre ℚ(\sqrt{2}).

Em conclusão, [ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}) : ℚ] = 4 e, pela demonstração do Teorema da Torre, \{1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}\} constitui uma base de ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}) sobre ℚ. Assim,

ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}) = \{a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3} + d\sqrt{6} | a, b, c, d ∈ ℚ\}.

            [Por vezes, uma extens~ ao está escrita de tal maneira que
            ``esconde" a sua simplicidade.  Por exemplo, a extens~ ao
           ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}) é simples porque coincide com ℚ(\sqrt{2} + \sqrt{3}), como
                                      facilmente se pode verificar]