Aula 16 - Álgebra II

Depois do passeio por algumas aplicações do conceito de grau de uma extensão e do Teorema da Torre, voltemos ao estudo das extensões de corpos, começando por observar mais uma consequência do Teorema da Aula 13.

Seja K um corpo, L uma extensão de K e θ ∈ L. Consideremos o homomorfismo de anéis

\begin{aligned}ϕ : & K[x] & → & L \\ & ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i} & ↦ & ∑_{i=0}^{n} a_{i}θ^{i} \end{aligned}

que a um polinómio p(x) = ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i} faz corresponder o seu valor em θ. O núcleo Nuc(ϕ) deste homomorfismo é um ideal de K[x], logo necessariamente principal. Por outro lado, o contradomínio de ϕ é claramente o subanel

K[θ] := {a_{0} + a_{1}θ + ⋯ + a_{n}θ^{n} | n ∈ ℕ, a_{i} ∈ K}

de L.

                      [K[θ] é um subdomínio de integridade de K(θ)]

Portanto ϕ : K[x] → K[θ] é um homomorfismo sobrejectivo de anéis, donde, pelo Teorema do Homomorfismo,

\frac{K[x]}{Nuc(ϕ)} ≅ K[θ].  (1)

Temos então dois casos:

(1) \underline{θ é algébrico sobre K}: Então Nuc(ϕ) ≠ \{0\}, donde Nuc(ϕ) = (m(x)), onde m(x) é um polinómio irredutível que tem θ por raiz, e é o de menor grau nessas condições, ou seja, m(x) é o polinómio mínimo de θ sobre K. Pelo Teorema da Aula 13 sabemos que, neste caso, K(θ) = K[θ]. Logo, por (1), temos

K(θ) = K[θ] ≅ \frac{K[x]}{(m(x))}.

Poe exemplo, no caso K = ℝ e θ = i, obtemos ℝ(i) ≅ ℝ[x]/(x^{2} + 1). Já vimos que ℝ(i) = ℂ, logo

ℂ ≅ \frac{ℝ[x]}{(x^{2} + 1)}.

(2) \underline{θ é transcendente sobre K}: Neste caso, Nuc(ϕ) = \{0\}, logo

K[θ] ≅ \frac{K[x]}{\{0\}} ≅ K[x].

[Dado um domínio K[x], seja L := \{\frac{p(x)}{q(x)} | p(x), q(x) ∈ K[x], q(x) ≠ 0\},

    com as operaç~ oes óbvias de adiç~ ao e multiplicaç~ ao de "fracç~ oes".
        Verifique que L é um corpo, o chamado corpo das fracç~ oes do
       domínio K[x].  Se identificarmos a ∈ K com o elemento \frac{a}{1} de L
    e p(x) ∈ K[x] com o elemento \frac{p(x)}{1} de L, n~ ao é difícil mostrar que
       L coincide com a extens~ ao simples K(x) de K.  Uma vez que o

polinómio p(x) = a_{n}x^{n} + ⋯ + a_{0} satisfaz p(x) = 0 ∈ K[x] se e só se

     a_{n} = · · · = a_{0} = 0, ent~ ao x n~ ao é raiz de nenhum polinómio p(x) ≠ 0
    em K[x], ou seja, x é transcendente sobre K.  Portanto, o corpo
das fracç~ oes K(x) é uma extens~ ao simples e transcendente de K.
         Assim, no caso (2), quando θ é transcendente sobre K, como
      K[θ] ≅ K[x], os respectivos corpos de fracç~ oes K(θ) e K(x) s~ ao
                                                         isomorfos]

Em conclusão:

EXTENSÕES SIMPLES DE K

(1) θ é algébrico sobre K: K(θ) ≅ \frac{K[x]}{(m(x))}.

(2) θ é transcendente sobre K: K(θ) ≅ K(x).

Quando estamos em subcorpos do corpo ℂ dos números complexos, não há qualquer problema em determinar extensões em que um dado polinómio possua raízes, devido a uma propriedade fundamental de ℂ:

Teorema Fundamental da Álgebra: qualquer polinómio (de grau ≥ 1) com coeficientes em ℂ tem pelo menos uma raiz.

Isto implica que, em ℂ, todo o polinómio se decomponha em factores lineares do tipo x − θ.

Mas existem muitos exemplos interessantes de corpos que não são subcorpos de ℂ (por exemplo, os corpos de Galois 𝔽_{p}, importantes na Teoria dos Números). Para estes corpos não é claro que dado um polinómio com coeficientes nesse corpo, exista uma extensão onde o polinómio possua raízes (e, consequentemente, se possa decompor em factores lineares). Iremos agora abordar esta questão.

CORPO ALGEBRICAMENTE FECHADO Um corpo K diz-se algebricamente fechado se qualquer polinómio p(x) ∈ K[x], de grau ≥ 1, possui uma raiz em K.

Portanto, ℂ é um corpo algebricamente fechado.

Proposição. As seguintes afirmações são equivalentes:

(i) K é um corpo algebricamente fechado.

(ii) Todo o polinómio p(x) = a_{x}x^{n} + ⋯ + a_{1}x + a_{0} ∈ K[x] se decompõe num produto de factores lineares a_{n} ∏_{i=1}^{n}(x − θ_{i}).

(iii) Todo o polinómio irredutível de K[x] tem grau 1.

(iv) Não existem extensões algébricas próprias de K.

Demonstração. “(i)⇔(ii)” Por hipótese, p(x) tem uma raiz θ_{1} em K, pelo que p(x) = a_{n}(x − θ_{1})q_{1}(x). Por sua vez, q_{1}(x) também tem uma raiz θ_{2} em K, donde p(x) = a_{n}(x − θ_{1})(x − θ_{2})q_{2}(x). Repetindo este raciocínio indutivamente chegaremos à conclusão que

p(x) = a_{n} ∏_{i=1}^{n}(x − θ_{i}).

A implicação recíproca é trivial.

“(ii)⇔(iii)” Óbvio.

“(iii)⇒(iv)” Seja L uma extensão algébrica de K e seja θ ∈ L. Como [K(θ) : K] é dada pelo grau de um polinómio irredutível, então [K(θ) : K] = 1. Logo K(θ) = K, ou seja, θ ∈ K, o que mostra que L = K.

“(iv)⇒(iii)” Seja p(x) ∈ K[x] um polinómio irredutível de grau ≥ 1. Então o ideal I = (p(x)) é maximal e K[x]/I é um corpo. Consideremos o homomorfismo de corpos

\begin{aligned}ψ : & K & → & K[x]/I \\ & a & ↦ & a + I. \end{aligned}

Como Nuc(ψ) é um ideal de K e K é um corpo, só há duas possibilidades: Nuc(ψ) = {0} ou Nuc(ψ) = K. Esta última possibilidade é claramente impossível, pelo que Nuc(ψ) = {0} e ψ é injectivo. Então K ≅ ψ(K) ⊆ K[x]/I. Como, por hipótese, não existem extensões algébricas próprias de K, necessariamente K[x]/I = ψ(K) = {a + (p(x)) | a ∈ K}. Daqui decorre imediatamente que gr(p(x)) = 1.

                 [O Teorema Fundamental da Álgebra assegura que ℂ é

 algebricamente fechado.  Outro facto importante é que qualquer
      corpo K pode ser imerso num corpo algebricamente fechado.
 Mais do que isso, existe uma extens~ ao algebricamente fechada L
de K, que é menor que todas as outras, no sentido de que, se L′
é uma extens~ ao algebricamente fechada de K, L′ contém uma cópia
 isomorfa de L.  Uma tal extens~ ao chama-se o fecho algébrico de
K.  Portanto, todo o corpo tem um fecho algébrico, que é único,
     a menos de isomorfismo.  As demonstraç~ oes deste facto e do
           Teorema Fundamental da Álgebra podem encontrar-se na
                                                 bibliografia]