Aula 17 - Álgebra II

Recordemos a questão que começámos a estudar na aula passada:

Seja K um corpo e p(x) ∈ K[x] um polinómio de grau ≥ 1. Existirá uma extensão L de K onde p(x) se decomponha em factores lineares?

É claro que se K for o corpo ℚ ou o corpo ℝ há uma resposta óbvia: o corpo ℂ. E se K for o corpo ℤ_{2}? Por exemplo, o polinómio p(x) = x^{2} + x + 1 ∈ ℤ_{2}[x] é irredutível sobre ℤ_{2}, uma vez que não tem raízes em ℤ_{2}: p(0) = 1 e p(1) = 1. Existirá uma extensão de ℤ_{2} onde p(x) já tenha raízes e possa ser então decomposto num produto de termos lineares?

A resposta a todas estas questões é afirmativa. Como K não é a priori um subcorpo de um corpo algebricamente fechado, tal extensão é, necessariamente, “abstracta”. A construção desta extensão é dada no seguinte teorema, e é inspirada na construção de ℂ a partir de ℝ, como o quociente ℝ[x]/(x^{2} + 1).

Teorema. [Teorema de Kronecker] Seja K um corpo e p(x) ∈ K[x] um polinómio de grau n ≥ 1. Existe uma extensão L de K onde p(x) se decompõe num produto de termos lineares. Tal extensão pode ser tomada da forma L = K(θ_{1}, …, θ_{n}), onde θ_{1}, …, θ_{n} são as raízes de p(x) em L.

Demonstração. Como p(x) = a_{n}x^{n} + a_{n−1}x^{n−1} + ⋯ + a_{1}x + a_{0} = a_{n}q(x), sendo q(x) = x^{n} + \frac{a_{n−1}}{a_{n}} x^{n−1} + ⋯ + \frac{a_{1}}{a_{n}} x + \frac{a_{0}}{a_{n}} mónico, é evidente que p(x) se decompõe num produto de termos lineares se e só se q(x) se decompõe num produto de termos lineares. Assim, sem perda de generalidade, podemos assumir que p(x) = x^{n}+a_{n−1}x^{n−1}+⋯+a_{1}x+a_{0} é mónico. Podemos ainda supor que p(x) é irredutível. Com efeito, se p(x) for redutível, sendo p(x) = p_{1}(x)p_{2}(x) … p_{t}(x) a factorização (única) de p(x) em polinómios mónicos irredutíveis, se o resultado for válido para polinómios irredutíveis, provamos imediatamente o caso geral:

\begin{matrix}p_{1}(x) = (x − θ_{1}^{1}) … (x − θ_{m_{1}}^{1}) & em K(θ_{1}^{1}, …, θ_{m_{1}}^{1}), \\ p_{2}(x) = (x − θ_{1}^{2}) … (x − θ_{m_{2}}^{2}) & em K(θ_{1}^{2}, …, θ_{m_{2}}^{2}), \\ ⋮ & ⋮ \\ p_{t}(x) = (x − θ_{1}^{t}) … (x − θ_{m_{t}}^{t}) & em K(θ_{1}^{t}, …, θ_{m_{t}}^{t}), \end{matrix}

pelo que

p(x) = (x − θ_{1}^{1}) … (x − θ_{m_{1}}^{1}) … (x − θ_{1}^{t}) … (x − θ_{m_{t}}^{t})

em K(θ_{1}^{1}, …, θ_{m_{1}}^{1}) … (θ_{1}^{t}, …, θ_{m_{t}}^{t}) = K(θ_{1}^{1}, …, θ_{m_{1}}^{1} … θ_{1}^{t}, …, θ_{m_{t}}^{t}).

Suponhamos então que p(x) é um polinómio mónico irredutível. Então I := (p(x)) é maximal e, como vimos no final da aula anterior, ψ : K → K[x]/I, definida por ψ(a) = a + I, é um homomorfismo injectivo,

[ψ(a) = ψ(b) ⇔ a + I = b + I ⇔ a − b ∈ I ⇒ a = b, pois gr(a − b) = 0 e gr(p(x) ≥ 1]

donde K ≅ ψ(K) ⊆ K[x]/I. Portanto, L := K[x]/I é uma extensão de K.

                             [Cometemos aqui um abuso de linguagem;
            em rigor, L é uma extens~ ao de uma cópia isomorfa de K:
             ψ(K) = {a + I : a ∈ K} é um subcorpo de L isomorfo a K]

Pelo isomorfismo K ≅ ψ(K), podemos identificar dentro do novo corpo L os elementos do corpo inicial K, como os elementos a+I (a ∈ K). Por essa identificação, o polinómio p(x) ∈ K[x] pode ser visto como um polinómio em L[x]:

p(x) = x^{n} + (a_{n−1} + I)x^{n−1} + ⋯ + (a_{1} + I)x + (a_{0} + I).

Seja θ := x + I ∈ K[x]/I. Trata-se de uma raiz de p(x) em L:

p(θ) = θ^{n} + (a_{n−1} + I)θ^{n−1} + ⋯ + (a_{1} + I)θ + (a_{0} + I)
= (x + I)^{n} + (a_{n−1} + I)(x + I)^{n−1} + ⋯ + (a_{1} + I)(x + I) + (a_{0} + I)
= (x^{n} + I) + (a_{n−1} + I)(x^{n−1} + I) + ⋯ + (a_{1} + I)(x + I) + (a_{0} + I)
= x^{n} + a_{n−1}x^{n−1} + ⋯ + a_{1}x + a_{0} + I
= p(x) + I = 0.

Portanto, em L já p(x) se factoriza na forma (x − θ)p_{1}(x). Além disso, p(x) é o polinómio mínimo de θ sobre K. Consequentemente, pelo que vimos na aula anterior,

L = \frac{K[x]}{(p(x))} ≅ K(θ).

Repetindo o raciocínio para p_{1}(x), que é também irredutível sobre K, chegaremos por indução (sobre o grau do polinómio) à solução que procuramos.

Tal extensão chama-se extensão (ou corpo) de decomposição de p(x).

Exemplo: Apliquemos a construção geral dada pelo Teorema ao polinómio p(x) = x^{2} + x + 1 de ℤ_{2}[x], que é irredutível sobre ℤ_{2}, como observámos no início.

Seja L a extensão

\frac{ℤ_{2}[x]}{(p(x))} = \{a_{0} + a_{1}x + (p(x)) | a_{0}, a_{1} ∈ ℤ_{2}\}
= {0 + (p(x)), 1 + (p(x)), x + (p(x)), 1 + x + (p(x))}

constituída pelas classes definidas pelos restos da divisão dos polinómios de coeficientes em ℤ_{2}[x] por p(x). Denotando 0 + (p(x)) por 0, 1 + (p(x)) por 1, x + (p(x)) por α e 1 + x + (p(x)) por β, as tabelas das operações de L são as seguintes:

\begin{matrix}+ & 0 & 1 & α & β \\ 0 & 0 & 1 & α & β \\ 1 & 1 & 0 & β & α \\ α & α & β & 0 & 1 \\ β & β & α & 1 & 0 \end{matrix}  \begin{matrix}· & 0 & 1 & α & β \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & α & β \\ α & 0 & α & β & 1 \\ β & 0 & β & 1 & α \end{matrix}

[Por exemplo, α + β = (x + (p(x))) + (1 + x + (p(x))) = 1 + (p(x)) = 1 e αβ = x(1 + x) + (p(x)) = x + x^{2} + (p(x)) = 1 + (p(x)) = 1. Observe

que L = ℤ_{2}(α) = ℤ_{2}(β).]

O Teorema garante-nos que α é uma raiz de p(x). Portanto, em L já o polinómio p(x) é redutível. De facto,

x^{2} + x + 1 = (x − α)(x − β).

Consideremos agora o polinómio q(x) = x^{2} + βx + β ∈ L[x]. Como q(0) = β, q(1) = 1, q(α) = α e q(β) = β, q(x) é irredutível sobre L. O Teorema diz-nos agora que a extensão de decomposição de q(x) é dada pelo corpo

M := \frac{L[x]}{(q(x))} = \{a_{0} + a_{1}x + (q(x)) | a_{0}, a_{1} ∈ L\},

que tem 16 elementos:

[0], [1], [α], [β], [x], [1 + x], [α + x], [β + x], [αx], [1 + αx],
[α + αx], [β + αx], [βx], [1 + βx], [α + βx], [β + βx]

(denotando cada elemento a_{0} + a_{1}x + (q(x)) por [a_{0} + a_{1}x]). Simplifiquemos a escrita um pouco mais, denotando os 16 elementos de M por, respectivamente,

0, 1, α, β, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n.

As tabelas das operações de M são:

\begin{matrix}+ & 0 & 1 & α & β & c & d & e & f & g & h & i & j & k & l & m & n \\ 0 & 0 & 1 & α & β & c & d & e & f & g & h & i & j & k & l & m & n \\ 1 & 1 & 0 & β & α & d & c & f & e & h & g & j & i & l & k & n & m \\ α & α & β & 0 & 1 & e & f & c & d & i & j & g & h & m & n & k & l \\ β & β & α & 1 & 0 & f & e & d & c & j & i & h & g & n & m & l & k \\ c & c & d & e & f & 0 & 1 & α & β & k & l & m & n & g & h & i & j \\ d & d & c & f & e & 1 & 0 & β & α & l & k & n & m & h & g & j & i \\ e & e & f & c & d & α & β & 0 & 1 & m & n & k & l & i & j & g & h \\ f & f & e & d & c & β & α & 1 & 0 & n & m & l & k & j & i & h & g \\ g & g & h & i & j & k & l & m & n & 0 & 1 & α & β & c & d & e & f \\ h & h & g & j & i & l & k & n & m & 1 & 0 & β & α & d & c & f & e \\ i & i & j & g & h & m & n & k & l & α & β & 0 & 1 & e & f & c & d \\ j & j & i & h & c & n & m & l & k & β & α & 1 & 0 & f & e & d & c \\ k & k & l & m & n & g & h & i & j & c & d & e & f & 0 & 1 & α & β \\ l & l & k & n & m & h & g & j & i & d & c & f & e & 1 & 0 & β & α \\ m & m & n & k & l & i & j & g & h & e & f & c & d & α & β & 0 & 1 \\ n & n & m & l & k & j & i & h & g & f & e & d & c & β & α & 1 & 0 \end{matrix}

\begin{matrix}· & 0 & 1 & α & β & c & d & e & f & g & h & i & j & k & l & m & n \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & α & β & c & d & e & f & g & h & i & j & k & l & m & n \\ α & 0 & α & β & 1 & g & i & j & h & k & m & n & l & c & e & f & d \\ β & 0 & β & 1 & α & k & n & l & m & c & f & d & e & g & j & h & i \\ c & 0 & c & g & k & n & j & f & β & d & 1 & l & h & i & m & α & e \\ d & 0 & d & i & n & j & m & 1 & c & l & g & f & α & e & β & k & h \\ e & 0 & e & j & l & f & 1 & k & i & h & n & α & c & m & g & 1 & β \\ f & 0 & f & h & m & β & c & i & l & 1 & e & g & n & α & d & j & k \\ g & 0 & g & k & c & d & l & h & 1 & i & α & e & m & n & f & β & j \\ h & 0 & h & m & f & 1 & g & n & e & α & j & k & d & β & i & l & c \\ i & 0 & i & n & d & l & f & α & g & e & k & h & β & j & 1 & c & m \\ j & 0 & j & l & e & h & α & c & n & m & d & β & g & f & k & i & 1 \\ k & 0 & k & c & g & i & e & m & α & n & β & j & f & d & h & 1 & l \\ l & 0 & l & e & j & m & β & g & d & f & i & 1 & k & h & c & n & α \\ m & 0 & m & f & h & α & k & d & j & β & l & c & i & 1 & n & e & g \\ n & 0 & n & d & i & e & h & β & k & j & c & m & 1 & l & α & g & f \end{matrix}

                                                        [Verifique]

O Teorema garante-nos que c é uma raiz de q(x) em M. Assim, o corpo M (que coincide com a extensão simples L(c) de L) é, de facto, a extensão de decomposição de q(x):

q(x) = x^{2} + βx + β = (x − c)(x − f).

                                                        [Verifique]

O Teorema motiva a seguinte definição:

EXTENSÃO DE DECOMPOSIÇÃO Seja p(x) um polinómio com coeficientes num corpo K. Uma extensão de decomposição de p(x) é uma extensão L de K em que:

(1) p(x) decompõe-se em L num produto de termos de grau 1.

(2) L = K(θ_{1}, …, θ_{n}) onde θ_{1}, …, θ_{n} são as raízes de p(x) em L.

Analogamente, dizemos que uma extensão L de K é uma extensão de decomposição de uma família de polinómios {p_{i}(x)}_{i∈I} ⊆ K[x] se

(1) cada p_{i}(x) decompõe-se em L num produto de termos de grau 1.

(2) L é gerada pelas raízes destes polinómios.