Aula 18 - Álgebra II

[Conclusão da aula anterior: corpos de decomposição]

HOMOMORFISMO DE EXTENSÕES Seja L_{1} uma extensão de K_{1} e L_{2} uma extensão de K_{2}. Um homomorfismo de corpos Φ : L_{1} → L_{2} diz-se um homomorfismo de extensões se Φ(K_{1}) ⊆ K_{2}.

Vamos analisar a seguinte questão:

Dado um isomorfismo de corpos ϕ : K_{1} → K_{2}, é possível prolongar ϕ a um isomorfismo de extensões Φ : L_{1} → L_{2}?

[figure: L_{1}; ≅; Φ?; L_{2}; K_{1}; ≅; ϕ; K_{2}]

                  [[figure: K_{i}; L_{i}] denota a inclus~ ao de K_{i} em L_{i} (i = 1, 2)]

O estudo desta questão servirá, em particular, para provarmos a unicidade (a menos de um isomorfismo) das extensões de decomposição.

Dados um homomorfismo de corpos ϕ : K_{1} → K_{2} e um polinómio

p(x) = a_{n}x^{n} + ⋯ + a_{1}x + a_{0} ∈ K_{1}[x],

designaremos por p^{ϕ}(x) o polinómio

ϕ(a_{n})x^{n} + ⋯ + ϕ(a_{1})x + ϕ(a_{0})

de K_{2}[x].

Proposição. Seja ϕ : K_{1} → K_{2} um isomorfismo de corpos, L_{1} e L_{2} extensões de K_{1} e K_{2}, e θ ∈ L_{1} um elemento algébrico sobre K_{1} com polinómio mínimo m(x). O isomorfismo ϕ pode ser prolongado a um homomorfismo injectivo de extensões Φ : K_{1}(θ) → L_{2} se e só se o polinómio m^{ϕ}(x) tem uma raiz em L_{2}. O número de prolongamentos é igual ao número de raízes distintas de m^{ϕ}(x) em L_{2}.

Demonstração. Suponhamos que m(x) = a_{n}x^{n}+⋯+a_{1}x+a_{0}. Se Φ : K_{1}(θ) → L_{2} é um prolongamento de ϕ, então Φ(θ) ∈ L_{2} é uma raiz de m^{ϕ}(x):

m^{ϕ}(Φ(θ)) = ϕ(a_{n})Φ(θ)^{n} + ⋯ + ϕ(a_{1})Φ(θ) + ϕ(a_{0})
= Φ(a_{n})Φ(θ)^{n} + ⋯ + Φ(a_{1})Φ(θ) + Φ(a_{0})
= Φ(a_{n}θ^{n} + ⋯ + a_{1}θ + a_{0})
= Φ(m(θ)) = Φ(0) = 0.

Reciprocamente, seja λ uma raiz de m^{ϕ}(x) em L_{2}. É fácil verificar que

Φ_{λ} : K_{1}(θ) → L_{2}
a ∈ K_{1} ↦ ϕ(a)
θ  ↦ λ

define um homomorfismo injectivo de corpos que prolonga ϕ. Trata-se do único homomorfismo de corpos tal que Φ|_{K_{1}} = ϕ e Φ(θ) = λ.

É evidente que o número destes prolongamentos é assim igual ao número de raízes distintas de m^{ϕ}(x) em L_{2}.