Aula 19 - Álgebra II

A partir da proposição da aula anterior é possível provar, por indução sobre o grau [L_{1} : K_{1}], o seguinte resultado (não o faremos na aula):

Teorema. Seja ϕ : K_{1} → K_{2} um isomorfismo de corpos, p(x) ∈ K_{1}[x] e p^{ϕ}(x) ∈ K_{2}[x]. Se L_{1} é uma extensão de decomposição de p(x) e L_{2} é uma extensão de decomposição de p^{ϕ}(x), existe um isomorfismo Φ : L_{1} → L_{2} tal que Φ|_{K_{1}} = ϕ.

[figure: L_{1}; ≅; Φ; L_{2}; K_{1}; ≅; ϕ; K_{2}]

O número de tais prolongamentos é ≤ [L_{1} : K_{1}], e é precisamente [L_{1} : K_{1}] quando p^{ϕ}(x) tem raízes distintas em L_{2}.

                       [A demonstraç~ ao é por induç~ ao sobre [L_{1} : K_{1}].

Se [L_{1} : K_{1}] = 1, ent~ ao p(x) = a_{n} ∏_{i=1}^{n}(x − θ_{i}), onde θ_{i} ∈ L_{1} = K_{1}.

                Como as raízes de um polinómio geram o seu corpo de
          decomposiç~ ao, concluímos que L_{2} = K_{2}, logo existe apenas 1
      (= [L_{1} : K_{1}]) prolongamento.  Suponhamos que [L_{1} : K_{1}] > 1.  Ent~ ao
      p(x) possui um factor irredutível q(x) de grau ≥ 1.  Seja θ uma
      raiz de q(x) em L_{1}.  Pela Proposiç~ ao, o isomorfismo ϕ : K_{1} → K_{2}
        pode ser prolongado num homomorfismo injectivo \overline{ϕ} : K_{1}(θ) → L_{2}
      e existem tantos prolongamentos quantas as raízes distintas de
             q^{ϕ}(x) em L_{2}.  Podemos considerar L_{1} e L_{2} como corpos de
                 decomposiç~ ao de p(x) e p^{ϕ}(x) sobre K_{1}(θ) e \overline{ϕ}(K_{1}(θ)),

respectivamente. Como [L_{1} : K_{1}(θ)] = [L_{1} : K_{1}]/[K_{1}(θ) : K_{1}] =

   [L_{1} : K_{1}]/gr(q(x)) < [L_{1} : K_{1}], podemos utilizar a hipótese de induç~ ao
         para prolongar \overline{ϕ} num isomorfismo Φ : L_{1} → L_{2}, e o número de
           prolongamentos é ≤ [L_{1} : K_{1}(θ)], sendo precisamente igual a
    [L_{1} : K_{1}(θ)] se p^{ϕ}(x) tem raízes distintas em L_{2}.  Combinando estes
      resultados, é fácil de ver que Φ é um prolongamento de ϕ, e o
            número de prolongamentos de ϕ deste tipo é precisamente

[L_{1} : K_{1}(θ)] · gr(q(x)) = [L_{1} : K_{1}(θ)] · [K_{1}(θ) : K_{1}] = [L_{1} : K_{1}]

    se p^{ϕ}(x) tem raízes distintas em L_{2}.  Finalmente, observe-se que
     obtemos todos os prolongamentos de ϕ se prolongarmos primeiro a

   K_{1}(θ) e depois a L_{1}.  Com efeito, se Φ é um prolongamento de ϕ a
           L_{1}, ent~ ao a sua restriç~ ao a K_{1}(θ) fornece um homomorfismo
   injectivo K_{1}(θ) → L_{2}, que é necessariamente um dos prolongamentos
                                de ϕ fornecidos pela Proposiç~ ao.  ]

Se neste teorema tomarmos K_{1} = K_{2} = K e ϕ = id, obtemos imediatamente:

Corolário. Dois quaisquer corpos de decomposição de p(x) ∈ K[x] são isomorfos (por um isomorfismo que deixa fixos os elementos de K).

Exemplo: O polinómio x^{3} − 2 é irredutível sobre ℚ. Formemos a extensão L = ℚ[x]/(x^{3} − 2), e seja θ_{1} = x + (x^{3} − 2). Já sabemos (aula anterior) que L é uma extensão de ℚ da forma ℚ(r_{1}), e em L o polinómio x^{3} −2 admite uma factorização através do monómio (x − θ_{1}), nomeadamente (x − θ_{1})(x^{2} + θ_{1}x + θ_{1}^{2}). O polinómio x^{2} + θ_{1}x + θ_{1}^{2} é irredutível sobre ℚ(θ_{1}).

                                                        [Verifique]

Podemos então formar uma nova extensão M = ℚ(θ_{1})[x]/(x^{2} + θ_{1}x + θ_{1}^{2}). Designando por θ_{2} o elemento x+(x^{2}+θ_{1}x+θ_{1}^{2}) desta extensão, vemos que M = ℚ(θ_{1}, θ_{2}). Em ℚ(θ_{1}, θ_{2})[x] temos finalmente a factorização x^{3} −2 = (x−θ_{1})(x−θ_{2})(x−θ_{3}) de x^{3}−2 em factores lineares. Portanto, M = ℚ(θ_{1}, θ_{2}) = ℚ(θ_{1}, θ_{2}, θ_{3}) é uma extensão de decomposição (abstracta) de x^{3} − 2, que tem grau [ℚ(θ_{1}, θ_{2}, θ_{3}) : ℚ] = 3 · 2 = 6.

Podemos construir uma outra extensão de decomposição M_{2} considerando o subcorpo de ℂ gerado por ℚ e as três raízes complexas de x^{3} − 2 (que são \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2}(−1+i\sqrt{3})/2 e \sqrt[3]{2}(−1−i\sqrt{3})/2). Pelos resultados que acabámos de ver, existem isomorfismos M → M_{2} que deixam fixos os números racionais e transformam θ_{1}, θ_{2}, θ_{3} em qualquer uma das raízes \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2}(−1 + i\sqrt{3})/2, \sqrt[3]{2}(−1 − i\sqrt{3})/2.

A ideia fulcral da Teoria de Galois consiste em substituir um problema de extensões de corpos por um problema de teoria dos grupos. Os grupos em questão são os que agora introduzimos.

AUTOMORFISMOS DE GALOIS Seja L uma extensão de K. Um automorfismo Φ de L diz-se um K-automorfismo (ou automorfismo de Galois) se deixa fixos os elementos de K, isto é, Φ|_{K} = id.

Se Φ_{1} e Φ_{2} são K-automorfismos de L, então Φ_{1} ∘ Φ_{2} ainda é um K-automorfismo. É evidente então que o conjunto dos K-automorfismos de L, munido da operação usual de composição de funções, forma um grupo.

GRUPO DE GALOIS de uma extensão Chama-se grupo de Galois de uma extensão L de K, que se denota por Gal(L, K), ao grupo dos K-automorfismos de L.

Como observámos na aula anterior, os automorfismos de Galois Φ : L → L de uma extensão L de K permutam as raízes em L dos polinómios com coeficientes no corpo de base K. De facto, sendo p(x) ∈ K[x] e θ uma raiz de p(x) em L, então Φ(θ) é também uma raiz de p(x):

p(Φ(θ)) = Φ(p(θ)) = Φ(0) = 0.

Exemplos: (1) Seja L = ℚ(\sqrt{2}). O elemento \sqrt{2} tem polinómio mínimo x^{2} − 2. Como vimos na aula anterior, qualquer ℚ-automorfismo Φ : L → L transforma raízes deste polinómio em raízes. Existem, pois, precisamente dois ℚautomorfismos:

\begin{aligned}Φ\sqrt{2} : & ℚ(\sqrt{2}) & → & ℚ(\sqrt{2}) \\ & a ∈ ℚ & ↦ & a \\ & \sqrt{2} & ↦ & \sqrt{2} \end{aligned} e \begin{aligned}Φ_{−\sqrt{2}} : & ℚ(\sqrt{2}) & → & ℚ(\sqrt{2}) \\ & a ∈ ℚ & ↦ & a \\ & \sqrt{2} & ↦ & −\sqrt{2}. \end{aligned}

O primeiro é a identidade e o segundo aplica cada elemento a + b\sqrt{2} de ℚ(\sqrt{2}) em a − b\sqrt{2}. Portanto, Gal(L, ℚ) = \{id, Φ_{−\sqrt{2}}\}, que é um grupo isomorfo a ℤ_{2}.

(2) Quanto ao grupo de Galois da extensão ℂ sobre ℝ, como ℂ = ℝ(i), cada Φ ∈ Gal(ℂ, ℝ) é completamente determinado por Φ(i). Mas, como x^{2} + 1 é o polinómio mínimo de i sobre ℝ, tem-se pela proposição da aula anterior que Φ(i) = ±i. Assim, Gal(ℂ, ℝ) = \{id, z ↦ \overline{z}\} é também isomorfo a ℤ_{2}.

(3) Seja L = ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}). Cada Φ ∈ Gal(L, ℚ) é completamente determinado pela sua acção no conjunto \{\sqrt{2}, \sqrt{3}\}. A restrição Φ|_{ℚ(\sqrt{2})} : ℚ(\sqrt{2}) → L é um homomorfismo injectivo que mantém fixos os elementos de ℚ. Então, pela proposição da aula anterior, só há duas possibilidades para esta restrição, como vimos no Exemplo (1): é a identidade ou aplica cada elemento a + b\sqrt{2} de ℚ(\sqrt{2}) em a − b\sqrt{2}. Portanto, Φ prolonga o isomorfismo identidade de ℚ(\sqrt{2}) ou prolonga o isomorfismo Φ_{−\sqrt{2}} de ℚ(\sqrt{2}). Usando novamente a proposição da aula anterior, como x^{2} − 3 é o polinómio mínimo de \sqrt{3} sobre ℚ(\sqrt{2}), estes dois isomorfismos de ℚ(\sqrt{2}) só podem ser prolongados a ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}) aplicando \sqrt{3} em \sqrt{3} ou −\sqrt{3}. Portanto, só existem 4 possibilidades para Φ: a identidade e

Φ(\sqrt{2}) = −\sqrt{2}, Φ(\sqrt{3}) = \sqrt{3};
Φ(\sqrt{2}) = \sqrt{2}, Φ(\sqrt{3}) = −\sqrt{3};
Φ(\sqrt{2}) = −\sqrt{2}, Φ(\sqrt{3}) = −\sqrt{3}.

O grupo de Galois tem, pois, neste caso, 4 elementos, que designamos respectivamente por Φ_{0}, Φ_{1}, Φ_{2}, Φ_{3}:

Φ_{0}(a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3}) = a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3},
Φ_{1}(a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3}) = a − b\sqrt{2} + c\sqrt{3},
Φ_{2}(a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3}) = a + b\sqrt{2} − c\sqrt{3},
Φ_{3}(a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3}) = a − b\sqrt{2} − c\sqrt{3}.

A tabela deste grupo é a seguinte:

∘ Φ_{0} Φ_{1} Φ_{2} Φ_{3}
Φ_{0} Φ_{0} Φ_{1} Φ_{2} Φ_{3}
Φ_{1} Φ_{1} Φ_{0} Φ_{3} Φ_{2}
Φ_{2} Φ_{2} Φ_{3} Φ_{0} Φ_{1}
Φ_{3} Φ_{3} Φ_{2} Φ_{1} Φ_{0}

Em conclusão, Gal(L, ℚ) é isomorfo a ℤ_{2} ⊕ ℤ_{2}.

(4) Seja K um corpo de característica p tal que K ≠ K^{p}. Se a ∉ K^{p}, o polinómio q(x) = x^{p}−a é irredutível sobre K. Seja L uma extensão de decomposição de q(x). Em L temos q(x) = (x−θ)^{p}, logo L = K(θ). Se Φ : L → L é um K-automorfismo, então Φ(θ) = θ e concluímos que Φ = id. Isto mostra que, neste exemplo, o grupo de Galois Gal(L, K) é trivial.