Aula 2 - Álgebra II

Em

   • ℤ: ab = 0 ⇒ a = 0 ou b = 0  [n~ ao tem divisores de zero]
   • ℤ_{6}: 2 · 3 = 2 ⊗_{6} 3 = 0  [tem divisores de zero]

• M_{2}(ℤ): [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}0 & 0 \\ −1 & 2 \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ] . [tem divisores de zero]

Um elemento a ∈ A, diferente de zero, diz-se divisor de zero à esquerda (resp. divisor de zero à direita) caso exista b ∈ A, diferente de zero, tal que ab = 0 (resp. ba = 0). Um divisor de zero à esquerda e à direita chama-se simplesmente divisor de zero.

DOMÍNIO DE INTEGRIDADE Um domínio de integridade é um anel comutativo com identidade sem divisores de zero.

Em

• ℤ: só 1 e −1 são invertíveis para a operação ·

• ℚ: todos os elementos ≠ 0 têm inverso.

CORPO Um corpo é um anel comutativo com identidade onde todo o elemento ≠ 0 possui inverso.

Chama-se unidade do anel a qualquer elemento que tenha inverso. Designando por U o conjunto das unidades de A, é evidente que (U, ·) constitui um grupo (portanto, se A é um corpo, U = A \ {0} e (A \ {0}, ·) é um grupo abeliano).

Todo o corpo é um domínio de integridade. Com efeito, se a tem inverso então não é divisor de zero:

ab = 0 ⇔ a^{−1}(ab) = a^{−1} · 0 ⇔ b = 0.

Em conclusão:

Corpos ℚ, ℝ, ℂ, ℤ_{p} Corpos Corpos Domínios de integridadeℤ Anéis comutativos com 1  ℤ_{n} Anéis  M_{n}(ℤ) p: primo n: não primo

ℤ é um exemplo de domínio de integridade que não é corpo. Nenhum exemplo destes pode ser finito:

Teorema. Todo o domínio de integridade finito é um corpo. Demonstração. Seja D = {0, d_{1}, d_{2}, …, d_{n}} um domínio de integridade finito. Para cada i ∈ {1, 2, …, n} consideremos os produtos d_{i}d_{1}, d_{2}d_{2}, …, d_{i}d_{n}. São distintos dois a dois: d_{i}d_{j} = d_{i}d_{k} ⇔ d_{i}(d_{j} − d_{k}) = 0; como d_{i} ≠ 0 e D não tem divisores de zero, necessariamente d_{j} − d_{k} = 0, isto é, d_{j} = d_{k}.

Assim, os produtos d_{i}d_{1}, d_{2}d_{2}, …, d_{i}d_{n} percorrem todos os elementos não nulos de D; em particular, existe j tal que d_{i}d_{j} = 1, o que significa que d_{i} é invertível. Portanto, todo o elemento não nulo de D é invertível, logo D é um corpo.

SUBANEL S ⊆ A é um subanel de A se S é fechado para + e · e forma um anel para estas operações.

Exemplos: 2ℤ, 3ℤ, 4ℤ, ... são subanéis de (ℤ, +, ·).

Qualquer anel A possui sempre os subanéis triviais {0} e o próprio A. Qualquer outro subanel de A diz-se subanel próprio.

Proposição. Um subconjunto S de um anel A é um subanel se e só se as seguintes condições se verificam:

(1) S ≠ ∅.

(2) Para cada x, y ∈ S, x − y ∈ S.

(3) Para cada x, y ∈ S, xy ∈ S.

Demonstração. Exercício.

Mais exemplos:

• ℤ[\sqrt{−5}] := \{a + b\sqrt{−5} | a, b ∈ ℤ\} é um subanel de (ℂ, +, ·).

• \{[ \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & a \end{matrix} ] : a ∈ ℤ\} é um subanel de M_{2}(ℤ).

IDEAL Um subanel I de A diz-se um ideal se, para cada a ∈ A e cada x ∈ I, ax e xa pertencem a I.

Exemplos:

• ℤ é um subanel de ℚ mas não é um ideal (1 · \frac{1}{2} = \frac{1}{2} ∉ ℤ)

• nℤ é um ideal de Z (n ∈ ℕ_{0}).

[Observe o paralelismo com a teoria dos grupos:  os subanéis corres-
pondem aos subgrupos e os ideais correspondem aos subgrupos normais]

Da proposição anterior decorre imediatamente que:

Proposição. Um subconjunto I de um anel A é um ideal se e só se as seguintes condições se verificam:

(1) I ≠ ∅.

(2) Para cada x, y ∈ I, x − y ∈ I.

(3) Para cada a ∈ A e x ∈ I, ax ∈ I e xa ∈ I.

Mais exemplos: Seja A um anel comutativo e a ∈ A.

• {xa | x ∈ A} é um ideal de A. [pode n~ ao conter a]

• O menor ideal de A contendo a é o ideal (a) := {xa + na | x ∈ A, n ∈ ℤ}. Diz-se o ideal principal gerado por a. Se A for também unitário, (a) = {xa | x ∈ A}.

Seja A um anel comutativo. Um ideal I de A diz-se principal se existe algum a ∈ A tal que I = (a).

Exemplo: Em Álgebra I observaram que os subconjuntos nℤ, n = 0, 1, 2, …, são os únicos subgrupos de (ℤ, +). Portanto, nℤ, n = 0, 1, 2, …, são os únicos ideais de (ℤ, +, ·). Como nℤ = (n), são todos principais.

                         [ℤ diz-se um domínio de ideais principais]