Aula 20 - Álgebra II

Do trabalho de Vandermonde (1735-96), Lagrange (1736-1813), Gauss (1777-1855), Ruffini (1765-1822), Abel (1802-29) e, principalmente, de Galois (1811-32), sobre a existência de “fórmulas resolventes” de grau ≤ 5, resultaram muitas das noções que temos vindo a estudar. Vamos agora fazer uma descrição muito concisa (por manifesta falta de tempo) do principal resultado de Galois, numa reformulação feita por Artin nos anos 30 do século passado, que resolve completamente o problema de saber quando um determinado polinómio é resolúvel por radicais, ou seja, quando as suas raízes são números que são combinações finitas de elementos do corpo dos seus coeficientes, usando as operações do corpo e raízes de índice arbitrário.

Como os corpos de decomposição de um polinómio, como vimos, são isomorfos, é natural a seguinte definição:

GRUPO DE GALOIS de um polinómio Seja p(x) ∈ K[x]. Chama-se grupo de Galois de p(x) sobre K (ou grupo de Galois da equação p(x) = 0), que denotaremos por Gal(p(x), K), ao grupo Gal(L, K), onde L é uma qualquer extensão de decomposição de p(x) sobre K.

Os automorfismos de Galois de uma extensão L de K permutam as raízes, nessa extensão, dos polinómios com coeficientes no corpo de base K. De facto, se

p(x) = ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i} ∈ K[x],

θ ∈ L é uma raiz de p(x) e Φ ∈ Gal(L, K), então Φ(θ) é também uma raiz de p(x):

p(Φ(θ)) = ∑_{i=0}^{n} a_{i}Φ(θ)^{i} = ∑_{i=0}^{n} Φ(a_{i})Φ(θ^{i}) = ∑_{i=0}^{n} Φ(a_{i}θ^{i}) = Φ(∑_{i=0}^{n} a_{i}θ^{i}) = Φ(0) = 0.

Portanto, é natural identificar o grupo de Galois de um polinómio p(x) com um subgrupo de permutações^{1} das raízes de p(x):

Se L é uma extensão de decomposição de p(x), e R = {θ_{1}, …, θ_{n}} são as raízes distintas de p(x), então L = K(θ_{1}, …, θ_{n}). Se soubermos como Φ transforma as raízes de p(x), então sabemos como Φ transforma todo o elemento de L = K(θ_{1}, …, θ_{n}). Portanto, o automorfismo Φ é completamente descrito pelas imagens das raízes θ_{i} (i = 1, 2, …, n). Por outro lado, como acabámos de ver, se Φ ∈ Gal(p(x), K), então Φ transforma raízes de p(x) em raízes de p(x). Portanto

1Era assim que Galois concebia o grupo que hoje tem o seu nome, ainda antes de se ter formalizado sequer o conceito de grupo!

Φ(θ_{i}) = θ_{Φ̃(i)} para algum Φ̃(i) ∈ {1, 2, …, n}.

É evidente que, como Φ é injectiva, Φ̃ : {1, 2, …, n} → {1, 2, …, n} é uma permutação.

Em conclusão, todo o Φ ∈ Gal(L, K) fica completamente descrito pela respectiva permutação Φ̃ ∈ S_{n} e a aplicação Φ ↦ Φ̃ é claramente um homomorfismo injectivo Gal(p(x), K) → S_{n}:

θ_{{ \atop Φ_{1}∘Φ_{2}}(i)} = (Φ_{1} ∘ Φ_{2})(θ_{i}) = Φ_{1}(θ_{Φ̃_{2}(i)}) = θ_{Φ̃_{1}Φ̃_{2}(i)} ⇒ { \atop Φ_{1} ∘ Φ_{2}} = Φ̃_{1} ∘ Φ̃_{2}.

Podemos assim identificar Gal(p(x), K) com um subgrupo do grupo das permutações de R, e concluir o seguinte:

Proposição. Se p(x) ∈ K[x] tem n raízes distintas no seu corpo de decomposição então Gal(p(x), K) é isomorfo a um subgrupo do grupo simétrico S_{n}.

Note que, mesmo quando p(x) é irredutível, Gal(p(x), K) pode ser isomorfo a um subgrupo próprio de S_{n}, como os exemplos (2) e (3) abaixo mostram.

Exemplos: (1) Vejamos que Gal(x^{3} − 2, ℚ) ≅ S_{3}. Da Proposição sabemos que o grupo de Galois Gal(x^{3} − 2, ℚ) é isomorfo a um subgrupo de S_{3}, pelo que bastará assegurar que |Gal(x^{3} − 2, ℚ)| = 6. Em primeiro lugar, como em ℂ temos

x^{3} − 2 = (x − \sqrt[3]{2})(x − \sqrt[3]{2}ω)(x − \sqrt[3]{2}ω^{2}),

onde ω é uma raiz cúbica primitiva da unidade (isto é, ω^{3} = 1 e ω^{t} ≠ 1 ∀ 0 < t < 3),

[figure: \sqrt[3]{2}; \sqrt[3]{2}ω; \sqrt[3]{2}ω^{2}; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .]

então ℚ(ω, \sqrt[3]{2}) é o corpo de decomposição de x^{3} − 2 em ℂ. Como x^{3} − 2 é o polinómio mínimo de \sqrt[3]{2}ω^{t} (t = 0, 1, 2) sobre ℚ e x^{2} + x + 1 é o polinómio mínimo de ω sobre ℚ, então

[ℚ(ω, \sqrt[3]{2}) : ℚ] = \underbrace{[ℚ(ω, \sqrt[3]{2}) : ℚ(ω)]}_{≤3} \underbrace{[ℚ(ω) : ℚ]}_{=2} ≤ 6.

Por outro lado, ℚ(ω, \sqrt[3]{2}) = ℚ(\sqrt[3]{2}ω, ω) e

[ℚ(\sqrt[3]{2}ω, ω) : ℚ] = \underbrace{[ℚ(\sqrt[3]{2}ω, ω) : ℚ(\sqrt[3]{2}ω)]}_{≤2} \underbrace{[ℚ(\sqrt[3]{2}ω) : ℚ]}_{=3} ≤ 6.

Portanto, [ℚ(ω, \sqrt[3]{2}) : ℚ] ≤ 6 e é divisível por 2 e 3, logo [ℚ(ω, \sqrt[3]{2}) : ℚ] = 6. Isto significa que \{1, \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{4}, ω, \sqrt[3]{2}ω, \sqrt[3]{4}ω\} constitui uma base da extensão ℚ(ω, \sqrt[3]{2}). É facil de ver (de modo análogo aos exemplos da aula anterior) que existem precisamente seis ℚ-automorfismos de ℚ(ω, \sqrt[3]{2}).

                 [Descreva esses seis automorfismos explicitamente]

Como |S_{3}| = 3! = 6, teremos necessariamente Gal(x^{3} − 2, ℚ) ≅ S_{3}.

(2) Consideremos o polinómio p(x) = x^{4} − 2, que é irredutível sobre ℚ. As suas quatro raízes em ℂ são

θ_{1} = \sqrt[4]{2}, θ_{2} = \sqrt[4]{2}i, θ_{3} = −\sqrt[4]{2}, θ_{4} = −\sqrt[4]{2}i,

e ℚ(i, \sqrt[4]{2}) é o seu corpo de decomposição. Para definir um ℚ-automorfismo de ℚ(i, \sqrt[4]{2}), basta fixarmos as imagens das raízes θ_{1} e θ_{2} (pois as imagens de θ_{3} e θ_{4} ficam automaticamente definidas). Por exemplo,

\begin{matrix}θ_{1} & ↦ & θ_{2} \\ θ_{2} & ↦ & θ_{3} \end{matrix}

define um ℚ-automorfismo α : ℚ(i, \sqrt[4]{2}) → ℚ(i, \sqrt[4]{2}). É óbvio que α(θ_{3}) = θ_{4} e α(θ_{4}) = θ_{1} (e α(i) = i). Pelo isomorfismo da Proposição, a este automorfismo corresponde a permutação (1 2 3 4) de S_{4}.

Outro exemplo: a β : ℚ(i, \sqrt[4]{2}) → ℚ(i, \sqrt[4]{2}), definido por β(θ_{1}) = θ_{1} e β(θ_{2}) = θ_{4}, corresponde a permutação (2 4).

No entanto, nem todas as 24 permutações de S_{4} correspondem a elementos de Gal(p(x), ℚ), uma vez que este grupo tem, no máximo, 8 elementos:

É evidente que [ℚ(i, \sqrt[4]{2}) : ℚ(i)] = 4 e [ℚ(i) : ℚ] = 2, logo [ℚ(i, \sqrt[4]{2}) : ℚ] = 8. Então, pelo Teorema da aula anterior, existem, no máximo, oito ℚ-automorfismos de ℚ(i, \sqrt[4]{2}), isto é, |Gal(p(x), ℚ)| ≤ 8 Portanto, neste caso, Gal(p(x), ℚ) é isomorfo a um subgrupo próprio de S_{4}.

Por exemplo, o ciclo (1 2) não corresponde a nenhum ℚ-automorfismo

Φ : ℚ(i, \sqrt[4]{2}) → ℚ(i, \sqrt[4]{2}),

uma vez que Φ, para originar tal ciclo, teria que satisfazer Φ(θ_{1}) = θ_{2}, Φ(θ_{2}) = θ_{1}, Φ(θ_{3}) = θ_{3} e Φ(θ_{4}) = θ_{4}, mas tal Φ não é, claramente, um homomorfismo de corpos (com efeito, θ_{1} + θ_{3} = 0 mas Φ(θ_{1}) + Φ(θ_{3}) = θ_{2} + θ_{3} ≠ 0).

     [Conclua que |Gal(p(x)), ℚ)| = 8, observando que, respectivamente,

θ_{1} ↦ θ_{1} e θ_{2} ↦ θ_{2}, θ_{1} ↦ θ_{1} e θ_{2} ↦ θ_{4}, θ_{1} ↦ θ_{2} e θ_{2} ↦ θ_{1}, θ_{1} ↦ θ_{2} e θ_{2} ↦ θ_{3}, θ_{1} ↦ θ_{3} e θ_{2} ↦ θ_{2}, θ_{1} ↦ θ_{3} e θ_{2} ↦ θ_{4},

θ_{1} ↦ θ_{4} e θ_{2} ↦ θ_{1}, θ_{1} ↦ θ_{4} e θ_{2} ↦ θ_{3},

                           definem oito ℚ-automorfismos de ℚ(i, \sqrt[4]{2}).
                                  Portanto, Gal(p(x)), ℚ)é isomorfo a

{id, (2 4), (1 2)(3 4), (1 2 3 4), (1 3), (1 3)(2 4), (1 4 3 2), (1 4)(2 3)}.

    Este grupo G é isomorfo ao grupo diedral D_{4} das simetrias de um
      quadrado, pois é gerado pelos elementos σ = (2 4) e τ = (1 2 3 4),
                de ordens 2 e 4, que satisfazem a relaç~ ao (τσ)^{2} = id:

G = {id, σ, στ, τ, στ^{2}, τ^{2}, τ^{3}, στ^{3}}]

(3) Seja L ⊆ ℂ a extensão de decomposição sobre ℚ do polinómio irredutível p(x) = x^{6} − 2. As raízes de p(x) são

θ_{k} = \sqrt[6]{2}e^{\frac{2kπi}{6}} , k = 1, …, 6.

Neste caso, |S_{6}| = 6! = 720 mas |Gal(p(x), ℚ)| < 720; por exemplo, não existe um automorfismo do grupo de Galois que corresponda à transposição (1 6), pois θ_{3} + θ_{6} = 0 mas θ_{3} + θ_{1} ≠ 0, como se observa imediatamente na representação, no plano complexo, das raízes de p(x):

[figure: θ_{6}; θ_{3}; θ_{2}; θ_{4}; θ_{1}; θ_{5}; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .]

Outro exemplo: como (θ_{1} + θ_{5})^{6} = θ_{6}^{6} = 2, não existem automorfismos do grupo de Galois que correspondam às permutações (1 3)(5 6) e (1 6)(3 5). Muitos outros elementos de S_{6} podem ser excluídos; de facto, como veremos mais adiante,

|Gal(x^{6} − 2, ℚ)| = 12.

EXTENSÃO DE GALOIS Diz-se que uma extensão finita L de K é uma extensão de Galois se L for um corpo de decomposição de algum polinómio de K[x].

Trabalhando a demonstração (que não estudámos) do teorema da aula anterior sobre extensões de isomorfismos a corpos de decomposição, não é difícil provar o seguinte resultado:

Teorema. Seja L uma extensão finita de K. Então:

(1) |Gal(L, K)| ≤ [L : K].

(2) Se L é uma extensão de Galois de K, então |Gal(L, K)| = [L : K].

       [A demonstraç~ ao pode ser consultada em Introduç~ ao à Álgebra,
                     R. Loja Fernandes e M. Ricou, IST Press, 2004]

Exemplos: (1) A observação, no exemplo (2) acima, que |Gal(p(x), ℚ)| = 8, é uma consequência imediata do Teorema, uma vez que ℚ(i, \sqrt[4]{2}) é uma extensão de Galois de ℚ e [ℚ(i, \sqrt[4]{2}) : ℚ] = 8.

(2) No exemplo (3) de há pouco, ℚ(\sqrt[6]{2}, e^{\frac{2π}{3} i}) é uma extensão de decomposição de p(x) = x^{6} − 2. Como

[ℚ(\sqrt[6]{2}, e^{\frac{2π}{3} i}) : ℚ] = [ℚ(\sqrt[6]{2}, e^{\frac{2π}{3} i}) : ℚ(\sqrt[6]{2})] · [ℚ(\sqrt[6]{2}) : ℚ] = 2 · 6 = 12,

então |Gal(x^{6} − 2, ℚ)| = 12, como tínhamos anunciado.