Aula 21 - Álgebra II

Estamos finalmente em condições de explicar como é que a teoria de Galois permite substituir problemas sobre polinómios por um problema em princípio mais simples de teoria dos grupos. Galois descobriu que existe uma correspondência entre extensões intermédias e subgrupos do grupo de Galois, que passamos a descrever.

CORRESPONDÊNCIA DE GALOIS Seja M uma extensão de K. Se L é uma extensão intermédia (isto é, K ⊆ L ⊆ M), todo o L-automorfismo de M é obviamente um K-automorfismo de M e, portanto, Gal(M, L) é um subgrupo do grupo Gal(M, K). Por outro lado, se H é um subgrupo de Gal(M, K), o conjunto F ix(H) := {a ∈ M | Φ(a) = a ∀ Φ ∈ H} dos pontos fixos por H é uma extensão intermédia K ⊆ F ix(H) ⊆ M. A esta correspondência entre extensões intermédias de K ⊆ M e subgrupos de Gal(M, K) chama-se correspondência de Galois.

               [Esta correspond^encia n~ ao é, em geral, uma bijecç~ ao,
                                         mas tem boas propriedades:

(1) Se L_{1} ⊆ L_{2} ent~ ao Gal(M, L_{1}) ⊇ Gal(M, L_{2}). (2) Se H_{1} ⊆ H_{2} ent~ ao F ix(H_{1}) ⊇ F ix(H_{2}).

(3) F ix(Gal(M, L)) ⊇ L.

(4) Gal(M, F ix(H)) ⊇ H]

Exemplo: Consideremos a extensão M = ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}) de K = ℚ. Vimos no final da Aula 19 que o grupo de Galois desta extensão contém 4 elementos e é isomorfo a ℤ_{2} ⊕ ℤ_{2}:

Gal(M, K) := {Φ_{0}, Φ_{1}, Φ_{2}, Φ_{3}}.

Este grupo possui, para além do subgrupo trivial H_{0} = {Φ_{0}}, os subgrupos H_{1} = {Φ_{0}, Φ_{1}}, H_{2} = {Φ_{0}, Φ_{2}} e H_{3} = {Φ_{0}, Φ_{3}}. Assim, o conjunto parcialmente ordenado dos subgrupos de Gal(M, K) pode ser representado pelo diagrama

\xymatrix{ & Gal(M, K) \\ H_{1} \ar[ur] & H_{2} \ar[u] & H_{3} \ar[ul] \\  & H_{0} \ar[ul] \ar[ur] \ar[u]}

O corpo fixo pelo grupo de Galois Gal(M, K) é o corpo de base ℚ, enquanto que F ix(H_{0}) = ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}). Por outro lado, é facil de ver que F ix(H_{1}) = ℚ(\sqrt{3}), F ix(H_{2}) = ℚ(\sqrt{2}), F ix(H_{3}) = ℚ(\sqrt{6}). Assim, o conjunto parcialmente ordenado das extensões intermédias de ℚ ⊆ ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}) é dado pelo diagrama

\xymatrix{ & ℚ \ar[dl] \ar[dr] \ar[d] \\ ℚ(\sqrt{3}) \ar@{-->}[dr] & ℚ(\sqrt{2}) \ar[d] & ℚ(\sqrt{6}) \ar@{-->}[dl] \\  & ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3})}

Teorema. [Teorema Fundamental de Galois] Seja K ⊆ L ⊆ M uma torre de corpos, onde M é uma extensão de Galois de K. Então Gal(M, L) é um subgrupo normal de Gal(M, K) se e só se L é também uma extensão de Galois de K. Neste caso, Gal(L, K) ≅ Gal(M, K)/Gal(M, L) :

G \{ H \{ \begin{matrix}M \\ ↑ \\ L \end{matrix} ; \} ; \begin{matrix}↑ G/H \\ K \end{matrix}

Demonstração. Faremos somente a prova da implicação “⇐”.

Suponhamos então que L é uma extensão de Galois de K, ou seja, L = K(θ_{1}, …, θ_{n}) ⊆ M, onde θ_{1}, …, θ_{n} são as raízes de algum polinómio p(x) ∈ K[x]. Como cada Φ ∈ Gal(M, K) permuta as raízes de p(x) e mantém fixos os elementos de K, então Φ(L) ⊆ L. Podemos assim considerar a aplicação

\begin{aligned}h : & Gal(M, K) & → & Gal(L, K) \\ & Φ & ↦ & Φ|_{L} \end{aligned}

É evidente que se trata de um homomorfismo de grupos, sendo o seu núcleo precisamente o subgrupo Gal(M, L). Assim, Gal(M, L) é um subgrupo normal de Gal(M, K). O Teorema da Aula 19 garante que, dado Ψ ∈ Gal(L, K), existe Φ ∈ Gal(M, K) que prolonga Ψ. Portanto, h é sobrejectivo e, pelo Teorema do Homomorfismo estudado em Álgebra I, tem-se Gal(L, K) ≅ Gal(M, K)/Gal(M, L).

Vamos agora discutir o critério descoberto por Galois que permite decidir se uma equação algébrica é ou não resolúvel por radicais. Até ao final, para simplificar, assumiremos que todos os corpos têm característica 0.

EXTENSÃO PURA Uma extensão L de K diz-se pura se L = K(θ), onde θ ∈ L é tal que θ^{m} ∈ K para algum m ∈ ℕ (isto é, θ é um radical de K).

POLINÓMIO RESOLÚVEL POR RADICAIS Uma extensão L de K diz-se uma extensão por radicais se existir uma torre de corpos

K = L_{0} ⊆ L_{1} ⊆ L_{2} ⊆ ⋯ ⊆ L_{t} = L

tal que cada L_{i+1} é uma extensão pura de L_{i}, para i = 0, 1, …, t − 1.

Um polinómio p(x) ∈ K[x] diz-se resolúvel por radicais sobre K se existir uma extensão por radicais L de K onde p(x) se decompõe em factores lineares (isto é, que contém um corpo de decomposição de p(x)).

Exemplos: (1) Suponhamos que uma raiz θ de um polinómio p(x) ∈ ℚ[x] se exprime por meio dos seguintes radicais:

θ = \frac{\sqrt[5]{2 − \sqrt[3]{2}} + \sqrt{3}}{\sqrt[7]{1 − \sqrt[4]{5}}}.

Considerando a_{1} = \sqrt[4]{5}, a_{2} = \sqrt[7]{1 − a_{1}}, a_{3} = \sqrt[3]{2}, a_{4} = \sqrt[5]{2 − a_{3}}, a_{5} = \sqrt{3}, temos

ℚ ⊆ \underbrace{ℚ(a_{1})}_{L_{1}} ⊆ \underbrace{ℚ(a_{1}, a_{2})}_{L_{2}=L_{1}(a_{2})} ⊆ \underbrace{ℚ(a_{1}, a_{2}, a_{3})}_{L_{3}=L_{2}(a_{3})} ⊆ \underbrace{ℚ(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4})}_{L_{4}=L_{3}(a_{4})} ⊆ \underbrace{ℚ(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5})}_{L_{5}=L_{4}(a_{5})} .

Como

a_{1}^{4} ∈ ℚ, a_{2}^{7} ∈ L_{1}, a_{3}^{3} ∈ L_{2}, a_{4}^{5} ∈ L_{3}, a_{5}^{2} ∈ L_{4},

então L_{5} é uma extensão por radicais de ℚ que contém \frac{a_{4}+a_{5}}{a_{2}} = θ.

Este exemplo ilustra como, a partir de um dado elemento θ, expresso por radicais em termos dos elementos de um determinado corpo de base, se pode construir uma extensão por radicais desse corpo contendo o elemento θ.

(2) Consideremos uma equação quadrática ax^{2}+bx+c = 0 (a ≠ 0) em ℚ, arbitrária. A fórmula resolvente dá-nos as suas duas raízes expressas por radicais, em termos dos seus coeficientes a, b, c:

r_{1} = \frac{−b + \sqrt{b^{2} − 4ac}}{2a} = \underbrace{−\frac{b}{2a}}_{∈ℚ} \underbrace{+\sqrt{\frac{b^{2} − 4ac}{4a^{2}}}}_{θ},

r_{2} = \frac{−b − \sqrt{b^{2} − 4ac}}{2a} = \underbrace{−\frac{b}{2a}}_{∈ℚ} \underbrace{−\sqrt{\frac{b^{2} − 4ac}{4a^{2}}}}_{−θ} .

É evidente que ℚ(θ) é o corpo de decomposição do polinómio ax^{2} +bx+c, e é uma extensão pura de ℚ (pois θ^{2} ∈ ℚ), pelo que se trata de uma extensão por radicais de ℚ. Isto mostra que qualquer polinómio de grau 2 é resolúvel por radicais.

    [Do mesmo modo, n~ ao é difícil, usando as "fórmulas resolventes",
      provar que todos os polinómios de grau 3 e 4, com coeficientes
            em corpos de característica 0, também s~ ao resolúveis por
                                                          radicais]

Observe-se bem o significado desta definição: qualquer raiz de p(x) pertence a L e pode ser expressa a partir de elementos de K por uma sequência de operações em K e de extracção de raízes. De facto: numa extensão por radicais L de K, os elementos de L são “combinações polinomiais” de radicais de radicais de ... etc. (em número finito) ... de elementos de K, com coeficientes em K. Por outras palavras, todos os elementos de L são construídos a partir de um número finito de elementos do corpo de base K, e usando as operações +, · e ^{∗} √ . A definição de polinómio resolúvel por radicais é pois equivalente a dizer que as suas raízes, num corpo de decomposição, são “combinações” de radicais de radicais de ... etc. (em número finito) ... de elementos do seu corpo dos coeficientes.

GRUPO RESOLÚVEL Um grupo G diz-se resolúvel se existir uma torre de subgrupos

{1} = G_{0} ⊆ G_{1} ⊆ G_{2} ⊆ ⋯ ⊆ G_{n−1} ⊆ G_{n} = G

tal que, para cada i ∈ {1, 2, …, n}, G_{i−1} é um subgrupo normal de G_{i} e G_{i}/G_{i−1} é abeliano.

    [Tem-se que:  (1) Subgrupos de grupos resolúveis s~ ao resolúveis.
                (2) Quocientes de grupos resolúveis s~ ao resolúveis.
                         (3) Dado um subgrupo normal de um grupo G,
                 G é resolúvel se e só se H e G/H s~ ao resolúveis]

Exemplos: (1) Todo o grupo abeliano G é resolúvel pois {e} ⊆ G satisfaz a definição. Em particular, S_{1}, S_{2}, A_{1}, A_{2} e A_{3} são resolúveis.

(2) S_{3} é resolúvel pois {id} ⊆ {id, (1 2 3), (1 3 2)} ⊆ S_{3} satisfaz a definição.

(3) S_{4} e A_{4} são resolúveis pois

{id} ⊆ {id, (1 2)(3 4)} ⊆ {id, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)} ⊆ A_{4} ⊆ S_{4}

satisfaz a definição.

(4) S_{n} (n ≥ 5) não é resolúvel.

                                     [Demonstraç~ ao na bibliografia]

(5) Seja ℤ_{m}^{∗} o grupo das unidades de Z_{m}. O conjunto ℤ_{m}×ℤ_{m}^{∗}, munido da operação

(a, b) · (c, d) := (a + bc, bd),

é um grupo

                                                        [Verifique]

a que se chama produto semi-directo de ℤ_{m} e ℤ_{m}^{∗}, e que se denota por ℤ_{m} ⋊ ℤ_{m}^{∗}.

                                        [Observe:  (1) ℤ_{3} ⋊ ℤ_{3}^{∗} ≅ S_{3}.
          (2) ℤ_{m} pode ser visto como um subgrupo normal de ℤ_{m} ⋊ ℤ_{m}^{∗}
                    através da imers~ ao natural i : x ↦ (x, 1) (x ∈ ℤ_{m})]

ℤ_{m} ⋊ℤ_{m}^{∗} é resolúvel pois {(1, 1)} ⊆ i(ℤ_{m}) ⊆ ℤ_{m} ⋊ℤ_{m}^{∗} satisfaz a definição de grupo resolúvel.

          [O grupo ℤ_{m} ⋊ ℤ_{m}^{∗} é importante neste contexto por causa da
                                               proposiç~ ao seguinte:

Proposição. Seja K ⊆ ℂ e x^{m} − a ∈ K[x] (m ∈ ℕ). O grupo

     de Galois deste polinómio é isomorfo a um subgrupo de ℤ_{m} ⋊ ℤ_{m}^{∗}.
      Demonstraç~ ao.  Se θ ∈ ℂ é uma raiz de índice m de a e ω é uma
              raiz primitiva de índice m da unidade (isto é, ω^{m} = 1

e ω^{t} ≠ 1, ∀ 0 < t < m; por exemplo, ω = cos \frac{2π}{m} + i sin \frac{2π}{m}), ent~ ao

x^{m} − a = ∏_{i=0}^{m−1}(x − θω^{i}).

       Resulta daqui que o corpo de decomposiç~ ao, em ℂ, de x^{m} − a é
     K(θ, ω).  Assim, um elemento Φ de Gal(x^{m} − a, K) é completamente
     determinado por Φ(θ) e Φ(ω).  Como os K-automorfismos permutam
   as raízes de polinómios com coeficientes em K, tem-se Φ(θ) = θω^{i_{Φ}}

e Φ(ω) = ω^{j_{Φ}} para alguns i_{Φ}, j_{Φ} ∈ {0, 1, …, m − 1}. Vejamos que mdc(j_{Φ}, m) = 1 para qualquer Φ ∈ Gal(x^{m} − a, K). Denotando mdc(j_{Φ}, m) por d temos Φ(ω^{\frac{m}{d}} = Φ(ω)^{\frac{m}{d}} = ω^{j_{Φ}· \frac{m}{d}} = ω^{m· \frac{j_{Φ}}{d}} = 1.

        Como Φ é injectiva, resulta que ω^{\frac{m}{d}} = 1 e, consequentemente,
       como ω é uma raiz primitiva índice m da unidade, só pode ser
                                    d = 1.  Assim, a correspond^encia

\begin{matrix}Gal(x^{m} − a, K) & → & ℤ_{m} ⋊ ℤ_{m}^{∗} \\ Φ & ↦ & (i_{Φ} mod m, j_{Φ} mod m) \end{matrix}

    define uma aplicaç~ ao, que é um homomorfismo injectivo de grupos,
                                 como se pode verificar facilmente]
              [Este resultado ainda é válido para qualquer subcorpo
                                   de um corpo de característica 0]

Corolário. Gal(x^{m} − a, K) é um grupo resolúvel para todo o subcorpo K de um corpo de característica zero, a ∈ K e m ∈ ℕ.

Demonstração. Resulta imediatamente da proposição anterior e do facto de subgrupos de grupos resolúveis serem ainda resolúveis.

Teorema. [Critério de Galois] Seja K um subcorpo de um corpo de característica zero e p(x) ∈ K[x]. Então p(x) é resolúvel por radicais se e só se Gal(p(x), K) for um grupo resolúvel.

   [Demonstraç~ ao.  Esboçaremos somente a prova da implicaç~ ao ``⇒".
    Seja ent~ ao p(x) ∈ K[x] um polinómio resolúvel por radicais, sendo

K = L_{0} ⊆ L_{1} ⊆ ⋯ ⊆ L_{t} = L

     a correspondente torre de extens~ oes puras tal que L = L_{t} contém

    um corpo de decomposiç~ ao de p(x).  Ent~ ao, para cada i ∈ {1, . . . , t},
   L_{i} = L_{i−1}(θ_{i}), onde cada θ_{i} é um radical de L_{i−1}, ou seja, θ_{i}^{m_{i}} ∈ L_{i−1}
        para algum m_{i} ∈ ℕ (portanto, θ_{i} é raiz de x^{m_{i}} − θ_{i}^{m_{i}} ∈ L_{i−1}[x]).
                Seja ω_{i} uma raiz primitiva de índice m_{i} da unidade.
                                              Na torre de extens~ oes

\underbrace{K = L_{0}}_{L̃_{0}} ⊆ \underbrace{L_{0}(θ_{1}, ω_{1})}_{L̃_{1}} ⊆ \underbrace{L_{1}(θ_{2}, ω_{2})}_{L̃_{2}} ⊆ ⋯ ⊆ \underbrace{L_{t−1}(θ_{t}, ω_{t})}_{L̃_{t}}

       cada L̃_{i} é uma extens~ ao de Galois de L̃_{i−1} (porque é o corpo de
    decomposiç~ ao do polinómio x^{m_{i}} − θ_{i}^{m_{i}} ∈ L_{i−1}[x]) e L̃_{t} contém um corpo
        de decomposiç~ ao de p(x).  Com um pouco mais de trabalho pode
                                construir-se uma torre de extens~ oes

K = L̂_{0} ⊆ L̂_{1} ⊆ ⋯ ⊆ L̂_{s}

       tal que cada L̂_{i} é uma extens~ ao de Galois de K e L̂_{s} contém um
              corpo de decomposiç~ ao de p(x), que designaremos por L.
         Seja G_{i} := Gal(L̂_{s}, L̂_{s−i}).  Pelo Teorema Fundamental de Galois
                         podemos concluir que na torre de subgrupos

{1} = G_{0} ⊆ G_{1} ⊆ G_{2} ⊆ ⋯ ⊆ G_{s−1} ⊆ G_{s} = Gal(L̂_{s}, K)

          cada subgrupo é normal e, para cada i ∈ {1, . . . , s}, G_{i}/G_{i−1} é

isomorfo a Gal(L̂_{s−i+1}, L̂_{s−i}) = Gal(x^{m_{s−i+1}} − θ_{s−i+1}^{m_{s−i+1}}, L̂_{s−i}), que é, pelo

    Corolário, um grupo resolúvel.  Como G_{0} e G_{1}/G_{0} s~ ao resolúveis,
           G_{1} também é; ent~ ao, como G_{2}/G_{1} é resolúvel, G_{2} também é;
           indutivamente, podemos concluir que G_{s} é resolúvel.  Mas

Gal(p(x), K) = Gal(L, K) é isomorfo a G_{s}/Gal(L̂_{s}, L), pelo Teorema

       Fundamental.  Uma vez que quocientes de grupos resolúveis s~ ao
           resolúveis, podemos finalmente concluir que Gal(p(x), K) é
                                                         resolúvel]

Corolário. [Teorema de Abel-Ruffini] Existem polinómios de grau 5 que não são resolúveis por radicais.

Demonstração. Seja p(x) = x^{5} − 4x + 2 e seja G o seu grupo de Galois que, pela proposição da aula anterior, pode ser considerado como sendo um subgrupo de S_{5}. É fácil de ver que p(x) tem precisamente 3 raízes reais θ_{1}, θ_{2}, θ_{3} e 2 raízes complexas conjugadas θ_{4}, θ_{5}. Então L = ℚ(θ_{1}, θ_{2}, θ_{3}, θ_{4}, θ_{5}) é a extensão de decomposição de p(x). Pelo critério de Eisenstein, p(x) é irredutível sobre ℚ, logo, para qualquer raiz θ de p(x), [ℚ(θ) : ℚ] = 5. Consequentemente, [L : ℚ] é um múltiplo de 5. Isto significa, pelo Teorema da aula anterior que |G| é um múltiplo de 5. Portanto, pelos Teoremas de Sylow estudados em Álgebra I, G ⊆ S_{5} contém um elemento de ordem 5, ou seja, um ciclo de comprimento 5. Por outro lado, a aplicação z ↦ z̄ de ℂ induz um ℚ-automorfismo de L que mantém fixas as três raízes reais e permuta as duas raízes complexas, a que corresponde a transposição (4 5). Em conclusão, G contém um ciclo de ordem 5 e uma transposição. Mas pode provar-se que um quaquer ciclo de ordem 5 e uma transposição geram S_{5}, pelo que G = S_{5}. Como S_{5} não é resolúvel, o critério de Galois assegura que p(x) não é resolúvel por radicais.

          [Observe que a mesma argumentaç~ ao vale para qualquer outro
     polinómio de grau 5 com coeficientes em ℚ que seja irredutível
                       e que em ℂ tenha exactamente 3 raízes reais]
              [Pode ver a teoria de Galois na sua forma original em
                       H.M. Edwards, Galois Theory, Springer, 1984,
        e no ap^endice 4 de J. Rotman,Galois Theory, Springer, 1990.
         A prova de Abel da inexist^encia de uma "fórmula resolvente"
          do quinto grau encontra-se no seu artigo Démonstration de
         l'impossibilité de la résolution algébrique des équations
                         générales qui passent le quatrième degré,
                            J. reine angew.  Math.  1 (1826) 65-84]