Aula 23 - Álgebra II

Voltemos agora à classificação dos corpos finitos.

Teorema. Seja F um corpo finito. Então F tem p^{n} elementos, onde p = car(F) e n é a dimensão [F : P] de F como extensão do seu subcorpo primo P.

Demonstração. Como F é finito, F é uma extensão finita do seu subcorpo primo P e a sua característica é um primo p. Já sabemos que P ≅ 𝔽_{p}. Suponhamos que [F : P] = n e seja {θ_{1}, θ_{2}, …, θ_{n}} uma base do espaço vectorial F sobre o corpo P. Cada elemento de F escreve-se de forma \underline{única} como combinação linear dos vectores θ_{1}, θ_{2}, …, θ_{n}, pelo que

F = {a_{1}θ_{1} + a_{2}θ_{2} + ⋯ + a_{n}θ_{n} | a_{1}, a_{2}, …, a_{n} ∈ P }.

É claro que, como P tem p elementos, o número destas combinações lineares é igual a p^{n} (número de arranjos com repetição de p elementos n a n). Portanto, |F | = p^{n}.

A partir dos corpos primos 𝔽_{p}, podemos construir outros corpos finitos pelo processo de adjunção de raízes descrito no capítulo anterior. Se p(x) ∈ 𝔽_{p}[x] é um polinómio de grau n, irredutível sobre 𝔽_{p}, então juntando uma raiz de p(x) a 𝔽_{p} obtemos um corpo finito com p^{n} elementos. Contudo, não é claro, nesta altura, que exista, para qualquer natural n, um tal polinómio irredutível de grau n. Assim, de modo a provarmos que para cada primo p e para cada natural n existe um corpo com p^{n} elementos, seguiremos uma abordagem sugerida pelo seguinte resultado.

Proposição. Seja F um corpo com p^{n} elementos. Então F é isomorfo à extensão de decomposição do polinómio x^{p^{n}} − x sobre 𝔽_{p}.

Demonstração. O grupo multiplicativo (F \ {0}, ·) tem ordem p^{n} − 1, pelo que, para qualquer a ∈ F diferente de 0, a^{p^{n}−1} = 1. Isto significa que a^{p^{n}} · a^{−1} = 1, isto é, a^{p^{n}} = a.

                    [Este facto será decisivo:  em qualquer corpo F
                        com q elementos, cada a ∈ F satisfaz a^{q} = a]

Portanto, todos os elementos de F são raízes do polinómio p(x) = x^{p^{n}} − x ∈ 𝔽_{p}[x]. Como este polinómio tem grau p^{n} e |F | = p^{n}, isto mostra que F contém todas as suas raízes e

x^{p^{n}} − x = ∏_{a∈F}(x − a).

Portanto F contém uma extensão de decomposição de p(x). Mas F é exactamente o conjunto das raízes de p(x), pelo que, necessariamente, F é a extensão de decomposição de p(x).

Corolário. [E. H. Moore, 1893] Dois corpos finitos com o mesmo número de elementos são isomorfos.

Demonstração. É consequência imediata da proposição anterior e da unicidade, a menos de isomorfismo, das extensões de decomposição, provada no capítulo anterior.

Estamos agora em condições de provar o recíproco do primeiro teorema da aula.

Teorema. [Teorema de Galois] Para cada primo p e cada n ∈ ℕ, existe um corpo com p^{n} elementos, único a menos de isomorfismo.

Demonstração. Provemos somente a existência de tal corpo, estando a unicidade assegurada pelo corolário anterior.

Para q = p^{n}, consideremos o polinómio p(x) = x^{q} − x de 𝔽_{p}[x]. Seja ainda F a extensão de decomposição de p(x).

                [Observe que um elemento a de um corpo K é uma raiz

múltipla de p(x) = a_{n}x^{n} + a_{n−1}x^{n−1} + ⋯ + a_{1}x + a_{0} ∈ K[x]

                     se e só se é uma raiz de p(x) e da sua derivada

D(p(x)) = na_{n}x^{n−1} + (n − 1)a_{n−1}x^{n−2} + ⋯ + a_{1}]

Como, neste caso D(p(x)) = qx^{q−1} − 1 = −1 ≠ 0, todas as raízes de p(x) são simples. Portanto, o conjunto R = {a ∈ F | a^{q} − a = 0} das raízes de p(x) em F tem cardinal q. Mas R é um subcorpo de F.

                                                        [Verifique]

Está assim encontrado um corpo com p^{n} elementos: o corpo R das raízes de p(x) em F, que coincide forçosamente com F, uma vez que p(x) se decompõe em factores lineares em R.

Em conclusão:

CLASSIFICAÇÃO DOS CORPOS FINITOS

• Todo o corpo finito tem p^{n} elementos, para algum primo p e algum natural n.

• Para cada primo p e cada natural n, existe um corpo com p^{n} elementos.

• Qualquer corpo com p^{n} elementos é isomorfo à extensão de decomposição de x^{p^{n}} − x sobre 𝔽_{p}.

A unicidade no Teorema de Galois justifica que se fale no corpo finito (ou no corpo de Galois) com q elementos:

CORPO DE GALOIS de ordem q A este corpo (único, a menos de isomorfismo) chama-se o corpo de Galois com q elementos, que se denota por 𝔽_{q} (ou por GF(q)).