Aula 24 - Álgebra II

Uma aplicação dos corpos finitos à Teoria dos Números

A seguinte questão constitui um problema clássico da Teoria dos Números:

Problema: Seja p ∈ ℕ, primo. Quando é que p pode ser a hipotenusa de um triângulo rectângulo de catetos c e d inteiros?

[figure: p; c; d]

É claro que tal é possível exactamente quando p^{2} = c^{2} + d^{2}, para algum par c, d de inteiros positivos. Por exemplo, para p = 5, 13, 17, 29:

[figure: 5; 4; 3; 13; 12; 5; 17; 15; 8; 29; 21; 20]

Como ilustração do que se pode fazer com os resultados que vimos até ao momento, vamos agora apresentar uma prova extremamente elegante, retirada dos apontamentos de Álgebra II de A. Machiavelo [DMUP, 1997-99], de um resultado de Fermat que ajuda a resolver este problema.

Proposição [Fermat]: Se p ∈ ℕ é primo e p ≡ 1 (mod 4) então p é soma de dois quadrados.

De facto, se p é uma soma a^{2} + b^{2} de dois quadrados então

p^{2} = (a^{2} + b^{2})^{2} = a^{4} + 2a^{2}b^{2} + b^{4} = (a^{2} − b^{2})^{2} + (2ab)^{2},

pelo que, tomando c = a^{2} − b^{2} e d = 2ab, obtemos um triângulo nas condições do problema, com hipotenusa p:

[figure: p; a^{2} − b^{2}; 2ab]

Assim, a Proposição de Fermat dá-nos uma condição suficiente para que um primo p seja hipotenusa de um tal triângulo:

p ≡ 1(mod4).

É o caso de todos os exemplos que apresentámos acima:

p = 5 :  5 = 2^{2} + 1^{2} ⇒ 5^{2} = (2^{2} − 1^{2})^{2} + (2 × 2 × 1)^{2} = 3^{2} + 4^{2};
p = 13 : 13 = 3^{2} + 2^{2} ⇒ 13^{2} = (3^{2} − 2^{2})^{2} + (2 × 3 × 2)^{2} = 5^{2} + 12^{2};
p = 17 : 17 = 4^{2} + 1^{2} ⇒ 17^{2} = (4^{2} − 1^{2})^{2} + (2 × 4 × 1)^{2} = 15^{2} + 8^{2};
p = 29 : 29 = 5^{2} + 2^{2} ⇒ 29^{2} = (5^{2} − 2^{2})^{2} + (2 × 5 × 2)^{2} = 21^{2} + 20^{2}.

Demonstremos então a Proposição de Fermat, usando alguns factos sobre corpos finitos provados na aula anterior.

Para isso começamos por determinar todos os primos p para os quais −1 é um quadrado módulo p, ou seja, para os quais 𝔽_{p} tem uma raiz quadrada de −1.

Quando p = 2 a resposta é óbvia: −1 = 1 = 1^{2}. Suponhamos pois p ≠ 2. Seja F uma extensão de decomposição sobre 𝔽_{p} do polinómio x^{2} + 1 ∈ 𝔽_{p}[x], e denotemos por i uma das duas raízes deste polinómio em F. Como vimos na proposição no início da aula anterior, para cada a ∈ F tem-se que a ∈ 𝔽_{p} se e só se a^{p} = a. Assim, em particular, i ∈ 𝔽_{p} se e só se i^{p} = i. Mas

i^{p} = (i^{2})^{\frac{p−1}{2}} i = (−1)^{\frac{p−1}{2}} i,

que é igual a i quando e só quando (−1)^{\frac{p−1}{2}} = 1, ou seja, quando e só quando p − 1 é um múltiplo de 4. Portanto, a equação x^{2} ≡ −1 (mod p) (p primo) tem solução se e só se p = 2 ou p ≡ 1 (mod 4).

Seja agora p um primo tal que p ≡ 1 (mod 4). Então, pelo que acabámos de ver, m^{2} ≡ −1 (mod p), ou seja, p|(m^{2} + 1), para algum inteiro m. Isto implica que, no domínio ℤ[i] dos inteiros de Gauss, p|(m+i)(m−i). Como p ∤ (m+i) e p ∤ (m−i), resulta que p não é primo em ℤ[i]. Mas ℤ[i] é um domínio de ideais principais, donde p, não sendo primo, é necessariamente redutível, ou seja, existem inteiros a, b, c, d tais que p = (a + bi)(a′ + b′i). Consequentemente, |p| = |a + bi| |a′ + b′i| e, elevando ao quadrado, p^{2} = (a^{2} + b^{2})(a^{′2} + b^{′2}). Como p é um inteiro primo, é fácil de ver que isto implica a^{2} + b^{2} = a^{′2} + b^{′2} = p. Em conclusão, p = a^{2} + b^{2} como afirmou Fermat.

Exercício:

(1) Seja p um primo ímpar e F uma extensão de decomposição sobre 𝔽_{p} do polinómio x^{2} + 1. Designando por i uma das raízes em F de x^{2} + 1, use a relação (1 + i)^{2} = 2i para determinar quais os primos p tais que 2 é um quadrado módulo p.

(2) Use (1) para provar o seguinte resultado de Euler:

Se p é um primo tal que p ≡ 3 (mod 4) e 2p + 1 é primo, então (2p + 1)|(2^{p} − 1).

              [Este resultado de Euler mostra, em particular, que o
                 número de Mersenne 2^{p} − 1 n~ ao é primo para p > 3 nas
            condiç~ oes enunciadas; por exemplo: 23|2^{11} − 1, 47|2^{23} − 1]
        [Mais uma vez, note a utilidade da introduç~ ao do conceito de
            polinómio como funç~ ao definida em ℕ_{0} com suporte finito
            (Aula 5), distinguindo-os assim das respectivas funç~ oes
             polinomiais.  De facto, pelo Teorema pequeno de Fermat
        ("para cada a n~ ao divisível pelo primo p, a^{p−1} ≡ 1 (mod p)"),
       existe apenas um número finito de funç~ oes polinomiais 𝔽_{p} → 𝔽_{p}
       (por exemplo, a funç~ ao x ↦ x^{p} é igual a x ↦ x), enquanto que
        os polinómios permitem construir uma infinidade de extens~ oes
       de 𝔽_{p}, para cada primo p, e tais extens~ oes permitem-nos obter
    resultados n~ ao triviais sobre, por exemplo, os números inteiros,
                                         como acabámos de ilustrar]

Teorema. [Critério dos subcorpos] Seja 𝔽_{q} o corpo de Galois com q = p^{n} elementos. Então:

(a) Todo o subcorpo de 𝔽_{q} tem ordem p^{d}, para algum divisor positivo d de n.

(b) Reciprocamente, para cada divisor positivo d de n, existe exactamente um subcorpo de 𝔽_{q} com p^{d} elementos.

Demonstração. (a) Seja K um subcorpo de 𝔽_{q}. É evidente que K e 𝔽_{q} têm o mesmo subcorpo primo P, que é isomorfo a 𝔽_{p}:

𝔽_{p} ≅ P ⊆ K ⊆ 𝔽_{q}.

Então, pelo primeiro teorema da aula anterior, |K| = p^{d}, onde d = [K : P]. Mas n = [𝔽_{q} : P] = [𝔽_{q} : K] [K : P] = [𝔽_{q} : K] d, logo d|n.

(b) Se d|n (isto é, n = md para algum m ∈ ℕ) então p^{d} − 1|p^{n} − 1:

p^{n} − 1 = p^{dm} − 1 = (p^{d} − 1)(p^{d(m−1)} + p^{d(m−2)} + ⋯ + p^{d} + 1).  (1)

Por sua vez, a partir de p^{d} − 1|p^{n} − 1, podemos concluir, fazendo o mesmo que em (1) com x no lugar de p, que x^{p^{d}−1} − 1|x^{p^{n}−1} − 1. Multiplicando por x obtemos, ainda, x^{p^{d}} − x|x^{p^{n}} − x = x^{q} − x. Portanto, qualquer raiz de x^{p^{d}} − x é raiz de x^{q} − x ∈ 𝔽_{q}[x]. Por outro lado,

           [Recorde da aula anterior:  a extens~ ao de decomposiç~ ao do
             polinómio x^{p^{n}} − x sobre 𝔽_{p} tem exactamente p^{n} elementos,
                                                e é isomorfa a 𝔽_{p^{n}}]

𝔽_{q} é a extensão de decomposição de x^{q} − x sobre 𝔽_{p}. Então 𝔽_{q} contém todas as raízes de x^{p^{d}} − x, pelo que contém como subcorpo a extensão de decomposição de x^{p^{d}} − x sobre 𝔽_{p}. Isto mostra que esta extensão, que tem precisamente p^{d} elementos, é um subcorpo de 𝔽_{q}, e é precisamente o subcorpo que procurávamos.

A unicidade decorre imediatamente do seguinte facto: se houvesse dois subcorpos distintos de ordem p^{d} em 𝔽_{q}, juntos teriam mais do que p^{d} elementos (que são raízes em 𝔽_{q} de x^{p^{d}} − x), uma contradição, pois x^{p^{d}} − x só pode ter no máximo p^{d} raízes. Portanto, o único subcorpo de 𝔽_{p^{n}} de ordem p^{d} é o corpo das raízes de x^{p^{d}} − x ∈ 𝔽_{p}[x] em 𝔽_{p^{n}}.

Isto significa que a lista de subcorpos de 𝔽_{p^{n}}, a menos de isomorfismo, coincide precisamente com {𝔽_{p^{d}} : d|n}.

Por exemplo, os subcorpos de 𝔽_{2^{30}} podem ser determinados listando todos os divisores positivos de 30: como 30 = 2 × 3 × 5, os únicos divisores positivos de 30 são 1,2,3,5,6,10,15,30, pelo que existem precisamente 8 subcorpos de 𝔽_{2^{3}0}:

\xymatrix{ & 𝔽_{2^{30}} \\ 𝔽_{2^{6}} \ar[ur] & 𝔽_{2^{10}} \ar[u] & 𝔽_{2^{15}} \ar@{-->}[ul] \\ 𝔽_{2^{2}} \ar[u] \ar[ur] & 𝔽_{2^{3}} \ar[ul] \ar@{-->}[ur] & 𝔽_{2^{5}} \ar@{-->}[ul] \ar[u] \\  & 𝔽_{2} \ar[ul] \ar[u] \ar@{-->}[ur]}

Neste diagrama indicam-se ainda ainda as relações de inclusão entre os vários subcorpos. Pelo Teorema, estas relações são equivalentes às relações de divisibilidade entre os divisores positivos de 30.

𝔽_{2} é o subcorpo primo de 𝔽_{2^{30}}.