Aula 3 - Álgebra II

Seja I um ideal de um anel (A, +, ·). Como (I, +) é um subgrupo normal do grupo abeliano (A, +), sabemos da Álgebra I que o conjunto A/I das classes laterais a + I := {a + x | x ∈ A}, a ∈ A, forma um grupo abeliano (o chamado grupo quociente) para a operação

(a + I) + (b + I) := (a + b) + I.

Exercício. Dois elementos a e b de A dizem-se congruentes módulo I (e escreve-se a ≡ b mod I) se pertencem à mesma classe lateral, ou seja, a + I = b + I. Mostre que a ≡ b mod I implica a + x ≡ b + x mod I, ax ≡ bx mod I, e xa ≡ xb mod I para qualquer x ∈ A e na ≡ nb mod I para qualquer n ∈ ℤ.

                                [Recorde: a + I = b + I sse a − b ∈ I]

Mas agora, no contexto dos anéis, temos mais estrutura em A/I:

(a + I)(b + I) := ab + I  (1)

define outra operação em A/I. Com efeito, se a + I = c + I e b + I = d + I então

\begin{matrix}a + I = c + I ⇔ a − c ∈ I ⇒^{(∗)} (a − c)b ∈ I ⇔ ab − cb ∈ I \\ b + I = d + I ⇔ b − d ∈ I ⇒^{(∗)} c(b − d) ∈ I ⇔ cb − cd ∈ I \end{matrix} \} ⇒ ab − cd ∈ I,

isto é, ab + I = cd + I.

         [Observe:  a condiç~ ao 3 na definiç~ ao de ideal é decisiva no
              passo (*):  se I for somente um subanel, (1) pode n~ ao
                                       definir uma operaç~ ao em A/I]

Proposição. A/I forma um anel relativamente às operações

(a + I) + (b + I) := (a + b) + I,
(a + I)(b + I) := ab + I.

Demonstração. (A/I, +) é um grupo abeliano (Álgebra I) e decorre imediatamente da definição do anel A que a operação · de A/I é associativa e é distributiva relativamente à adição.

O anel (A/I, +, ·) chama-se anel quociente de A por I. É evidente que se A é comutativo então A/I também é comutativo e se A tem identidade 1 então A/I também tem identidade (o elemento 1 + I).

Exemplo: ℤ/(5) tem 5 elementos:

0 + (5), 1 + (5), 2 + (5), 3 + (5), 4 + (5), 5 + (5) = 0 + (5), 6 + (5) = 1 + (5), …

−1 + (5) = 4 + (5), −2 + (5) = 3 + (5), …

Identifiquemo-los simplesmente por [0], [1], [2], [3] e [4], respectivamente. As tabelas das operações do anel ℤ/(5) são então:

+ [0] [1] [2] [3] [4] [0] [0] [1] [2] [3] [4] [1] [1] [2] [3] [4] [0] [2] [2] [3] [4] [0] [1] [3] [3] [4] [0] [1] [2] [4] [4] [0] [1] [2] [3]  \begin{matrix}· & [0] & [1] & [2] & [3] & [4] \\ [0] & [0] & [0] & [0] & [0] & [0] \\ [1] & [0] & [1] & [2] & [3] & [4] \\ [2] & [0] & [2] & [4] & [1] & [3] \\ [3] & [0] & [3] & [1] & [4] & [2] \\ [4] & [0] & [4] & [3] & [2] & [1] \end{matrix}

                                                       [É um corpo]

Mais geralmente, para cada n ∈ ℕ, os elementos de ℤ/(n) são

[0] := 0 + (n), [1] := 1 + (n), …, [n − 1] := n − 1 + (n).

Em geral, é um anel comutativo com identidade [1]. É um corpo se e só se n é primo.

                  [Recorde:  (ℤ_{n} \ {0}, ⊗_{n}) é um grupo sse n é primo]

Por exemplo, para n = 6 existem divisores de zero: [2] · [3] = [0]. Este exemplo mostra que as propriedades do anel A não são necessariamente herdadas pelo anel quociente: ℤ é um domínio de integridade mas ℤ/(6) não é.

Seja A um anel comutativo com identidade. Vejamos quais ideais dão origem a anéis quociente que são domínios de integridade ou corpos.

IDEAL PRIMO Um ideal P ≠ A do anel A chama-se primo se, para quaisquer a, b ∈ P, ab ∈ P implica a ∈ P ou b ∈ P.

Exemplos: Seja A = ℤ. (6) \underline{não} é um ideal primo: 3 · 2 = 6 ∈ (6) mas (3) ∉ (6) e (2) ∉ (6). (5) é um ideal primo:

ab ∈ (5) ⇔ 5|ab ⇒ 5|a ou 5|b ⇔ a ∈ (5) ou b ∈ (5).

                [Caso geral:  para n ≥ 1, (n) é primo sse n é primo]

(0) = {0} é evidentemente um ideal primo de ℤ. Com efeito, é óbvio que num anel A comutativo com identidade, (0) é primo se e só se A não tem divisores de zero.

IDEAL MAXIMAL Um ideal M ≠ A do anel A chama-se maximal se, para qualquer ideal I de A, a propriedade M ⊆ I implica I = M ou I = A.

Exemplos: No anel dos inteiros ℤ, (0) e (10) não são maximais:

(0) ⊂ (10) ⊂ (5) ⊂ ℤ.

    [Observe:  O exemplo (0) mostra que, em geral, primo ⇏ maximal]

Por outro lado, (5) é maximal:

(5) ⊆ (m) ⊆ ℤ ⇔ m|5 ⇒ m = 1 ou m = 5 ⇔ (m) = ℤ ou (m) = (5).

              [Caso geral:  para n ≥ 1, (n) é maximal sse n é primo]

Finalmente, temos:

Teorema. Seja A um anel comutativo com identidade e I um ideal de A. Então:

(a) A/I é um domínio de integridade se e só se I é primo.

(b) A/I é um corpo se e só se I é maximal.

(c) Todo o ideal maximal de A é primo.

Demonstração. Já sabemos que A/I é um anel comutativo com identidade 1 + I.

(a) Portanto, A/I será um domínio de integridade sse

1 + I ≠ 0 + I  (∗)
(a + I)(b + I) = I implica a ∈ I ou b ∈ I. (∗∗)

Mas (∗) ⇔ 1 ∉ I ⇔ I ≠ A

                  [Verifique:  para qualquer ideal I, 1 ∈ I ⇔ I = A]

(∗∗) ⇔ ab + I = I implica a ∈ I ou b ∈ I ⇔ ab ∈ I implica a ∈ I ou b ∈ I,

pelo que (∗) e (∗∗) significam precisamente que I é primo.

(b) Agora, A/I será um corpo sse

1 + I ≠ 0 + I  (∗)
qualquer a + I ≠ I é invertível. (∗∗)

Mas (∗∗) ⇔ para cada (a + I) ≠ I existe (b + I) ≠ I tal que (a + I)(b + I) = 1 + I ⇔ para cada a ∈ A \ I existe b ∈ A \ I tal que ab + I = 1 + I ⇔ para cada a ∈ A \ I existe b ∈ A \ I tal que ab − 1 ∈ I.

Bastará agora observarmos que esta última condição é equivalente a

J ideal de A, I ⊂ J ⊆ A ⇒ J = A,

para concluirmos que (∗) e (∗∗) significam que I é maximal:

(“⇒”) Seja então a ∈ J \ I. Por hipótese, existe b ∈ A \ I tal que ab − 1 ∈ I ⊂ J. Como ab ∈ J, então 1 ∈ J, logo J = A.

(“⇐”) Reciprocamente, para cada a ∈ A \ I consideremos o menor ideal que contém I ∪ {a} (o chamado ideal gerado por I ∪ {a}), ou seja, o ideal

J_{a} := {xa + y | x ∈ A, y ∈ I}.

                  [Verifique: {xa + y | x ∈ A, y ∈ I} é um ideal de A]

É evidente que I ⊂ J_{a} ⊆ A logo, por hipótese, J_{a} = A. Em particular, 1 ∈ J_{a}, ou seja, 1 é um dos elementos xa + y de J_{a}. Mas 1 = xa + y ⇔ xa − 1 = −y ∈ I. Provámos assim que, para cada a ∈ A \ I, existe b ∈ A \ I tal que ab − 1 ∈ I.

(c) É consequência imediata de (b) e (a): Se I é maximal, A/I é um corpo e, em particular, um domínio de integridade, logo I é primo.

Exemplo de aplicação do Teorema: No caso A = ℤ, I = (5) é, como vimos maximal; daí o facto de ℤ/(5) ser um corpo, como tínhamos observado no início da aula.

Outras aplicações: No próximo capítulo, aos anéis de polinómios.