Aula 4 - Álgebra II

A definição das operações no anel quociente A/I garante que a passagem de A a A/I preserva as operações do anel. Com efeito, a aplicação

\begin{matrix}p : A & → & A/I \\ a & ↦ & a + I \end{matrix}

satisfaz, pela maneira como definimos as operações em A/I, as propriedades

p(a + b) = p(a) + p(b)
p(ab) = p(a)p(b),

para quaisquer a, b ∈ A.

HOMOMORFISMO DE ANÉIS Sejam A e B dois anéis. Uma aplicação f : A → B diz-se um homomorfismo de anéis se, para quaisquer a, b ∈ A, f(a + b) = f(a) + f(b) e f(ab) = f(a)f(b).

Portanto, p : A → A/I é um homomorfismo, claramente sobrejectivo.

APLICAÇÃO: Critérios de divisibilidade para os inteiros

Vejamos outro exemplo de homomorfismo. Consideremos a aplicação f_{m} : ℤ → ℤ_{m} do anel (ℤ, +, ·) no anel (ℤ_{m}, ⊕_{m}, ⊗_{m}) que a cada inteiro a faz corresponder a mod m, isto é, o resto da divisão de a por m.

                        [Verifique: f_{m} é um homomorfismo de anéis]

Seja a = a_{n}a_{n−1} ⋯ a_{1}a_{0} um inteiro com n + 1 algarismos, escrito na base decimal. Como a = 10^{n}a_{n} + 10^{n−1}a_{n−1} + ⋯ + 10a_{1} + a_{0}, então, usando o facto de que f_{m} é um homomorfismo de anéis, temos

f_{m}(a) = f_{m}(10^{n})⊗f_{m}(a_{n})⊕f_{m}(10^{n−1})⊗f_{m}(a_{n−1})⊕⋯⊕f_{m}(10)⊗f_{m}(a_{1})⊕f_{m}(a_{0})

No caso m = 9, como f_{9}(10^{n}) = 1, para qualquer natural n, obtemos

f_{9}(a) = f_{9}(a_{n}) ⊕ f_{9}(a_{n−1}) ⊕ ⋯ ⊕ f_{9}(a_{1}) ⊕ f_{9}(a_{0})
= f_{9}(a_{n} + a_{n−1} + ⋯ + a_{1} + a_{0}),

o que mostra que a ≡ a_{n} + a_{n−1} + ⋯ + a_{1} + a_{0} (mod 9). Portanto,

um inteiro é divisível por 9 sse a soma dos seus algarismos o é.

Como também f_{3}(10^{n}) = 1, o mesmo critério vale para o 3:

um inteiro é divisível por 3 sse a soma dos seus algarismos o é.

Temos agora uma receita para obter critérios úteis de divisibilidade por m, desde que f_{m}(10^{n}) seja dado por uma expressão simples:

\underline{m=11}:

f_{11}(10^{n}) = \{ \begin{matrix}1 & se n é par \\ −1 & se n é ímpar \end{matrix}

pelo que a_{n}a_{n−1} ⋯ a_{1}a_{0} é divisível por 11 sse (−1)^{n}a_{n} + (−1)^{n−1}a_{n−1} + ⋯ − a_{1} + a_{0} o é.

\underline{m=2,5}: nestes casos f_{m}(10^{n}) = 0 logo

a_{n}a_{n−1} ⋯ a_{1}a_{0} é divisível por 2 (resp. 5) sse a_{0} o é.

\underline{m=4}:

f_{4}(10^{n}) = \{ \begin{matrix}2 & se n = 1 \\ 0 & se n ≥ 2 \end{matrix}

logo

a_{n}a_{n−1} ⋯ a_{1}a_{0} é divisível por 4 sse 2a_{1} + a_{0} o é.

\underline{m=6}: f_{6}(10^{n}) = 4 logo

a_{n}a_{n−1} ⋯ a_{1}a_{0} é divisível por 6 sse 4a_{n} + 4a_{n−1} + ⋯ + 4a_{1} + a_{0} o é.

Estes exemplos ilustram bem a ideia de como um homomorfismo de anéis, bem escolhido, permite transferir um problema num determinado anel (no caso presente, saber se um inteiro é divisível por um determinado m) para outro anel, onde se torna mais fácil de resolver.

As funções também permitem transferir a estrutura de uma álgebra para um conjunto sem estrutura. Por exemplo, seja f a função do anel quociente ℤ/(p) no conjunto ℤ_{p} = {0, 1, 2, …, p − 1} que a cada a + I faz corresponder a mod p.

                                     [Verifique: f é uma bijecç~ ao]

Então ℤ_{p} herda a estrutura de ℤ/(p) se definirmos em ℤ_{p} as operações

a ⊕ b = f(a + I) ⊕ f(b + I) := f((a + I) + (b + I)) = f(a + b + I) = (a + b) mod p (isto é, a adição módulo p) e

a ⊗ b = f(a + I) ⊗ f(b + I) := f((a + I)(b + I)) = f(ab + I) = ab mod p

(a multiplicação módulo p). ℤ_{p} com esta estrutura herdada de ℤ/(p) é um corpo finito, chamado corpo de Galois de ordem p e habitualmente denotado por 𝔽_{p}, e f é um homomorfismo bijectivo.

ISOMORFISMO DE ANÉIS A um homomorfismo de anéis bijectivo chama-se isomorfismo.

Portanto f é um isomorfismo de corpos. Por exemplo, por f, as tabelas das operações em ℤ/(5) são transformadas em

\begin{matrix}⊕ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 0 \\ 2 & 2 & 3 & 4 & 0 & 1 \\ 3 & 3 & 4 & 0 & 1 & 2 \\ 4 & 4 & 0 & 1 & 2 & 3 \end{matrix}  \begin{matrix}⊗ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 0 & 2 & 4 & 1 & 3 \\ 3 & 0 & 3 & 1 & 4 & 2 \\ 4 & 0 & 4 & 3 & 2 & 1 \end{matrix}

e (ℤ/(5), +, ·) é um corpo isomorfo a (ℤ, ⊕, ⊗).

CARACTERÍSTICA Seja A um anel com identidade. Se existir algum n ∈ ℕ tal que n1 = 0, ao menor deles chama-se característica de A e diz-se que A tem característica positiva. Se tal n não existe, diz-se que A tem característica 0.

(Uma vez que n1 = 0 sse na = 0 para qualquer a ∈ A, podemos dizer que a característica de A é igual ao menor natural n, caso exista algum, tal que na = 0 para todo o a ∈ A, ou, caso contrário, igual a 0; como esta condição alternativa não depende da identidade, toma-se para definição de característica no caso geral de um anel sem necessariamente identidade.)

                 [Verifique: n1 = 0 sse na = 0 para qualquer a ∈ A]

Proposição. Todo o domínio de integridade com característica positiva tem característica prima. Demonstração. Seja D um domínio de integridade com característica positiva n ≥ 1. Como 1 ≠ 0, n ≥ 2. Se n não fosse um primo então n = rs para algum par de inteiros satisfazendo 1 < r, s < n, o que implicaria 0 = n1 = (rs)1 = (r1)(s1). Como D não tem divisores de zero, seria r1 = 0 ou s1 = 0, um absurdo uma vez que n é o menor natural tal que n1 = 0.

[Observe:  a comutatividade do anel n~ ao é relevante para esta prova]

Corolário. Todo o corpo finito tem característica prima.

Demonstração. Seja C um corpo finito. Pela proposição anterior, bastará provarmos que a característica de C é positiva. Para isso, consideremos os elementos

1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, …

de C. Como C é finito, esta lista é finita, pelo que r1 = s1 para alguns naturais r, s tais que 1 ≤ r < s. Consequentemente, (s − r)1 = 0, o que mostra que a característica de C não é zero.

Proposição. Seja A um anel comutativo de característica prima p. Então, para quaisquer a, b ∈ A e n ∈ ℕ:

(a) (a + b)^{p^{n}} = a^{p^{n}} + b^{p^{n}}.

(b) (a − b)^{p^{n}} = a^{p^{n}} − b^{p^{n}}.

Demonstração. (a) Provaremos só o caso n = 1 (uma simples indução sobre n completa a prova). Pela fórmula do Teorema Binomial, válido em qualquer anel comutativo,

(a + b)^{p} = a^{p} + \binom{p}{1}a^{p−1}b + ⋯ + \binom{p}{p − 1}ab^{p−1} + b^{p}.

Como cada \binom{p}{i}, 0 < i < p, que é um inteiro, é igual a

\frac{p(p − 1) ⋯ (p − i + 1)}{1 · 2 · · · · · i}

então 1 · 2 · · · · · i divide p(p − 1) ⋯ (p − i + 1). Mas p é primo e i < p logo 1 · 2 · · · · · i divide (p − 1) ⋯ (p − i + 1). Assim, \binom{p}{i} ≡ 0 mod p. Em conclusão, (a + b)^{p} = a^{p} + b^{p}.

(b) Basta observar que, pela alínea (a), a^{p^{n}} = ((a − b) + b)^{p^{n}} = (a − b)^{p^{n}} + b^{p^{n}}.