Aula 5 - Álgebra II

[Conclusão da aula anterior: isomorfismos de anéis e característica]

2. Anéis Polinomiais

A aritmética de polinómios de coeficientes reais é governada por regras familiares. Como generalizá-la a um anel arbitrário?

Na Análise têm trabalhado com polinómios com coeficientes reais, definidos como as funções p : ℝ → ℝ da forma

p(x) = ∑_{i=0}^{n} p_{i}x^{i},

onde os números reais p_{i} são os coeficientes do polinómio. A coeficientes distintos correspondem polinómios (funções polinomiais) distintos. Não podemos definir de modo análogo os polinómios com coeficientes num anel arbitrário A, se desejarmos que polinómios com coeficientes distintos sejam necessariamente polinómios distintos. De facto, desde que A tenha mais de um elemento (a ≠ 0), existe uma infinidade de possibilidades distintas para os coeficientes de um possível polinómio (por ex., a, ax, ax^{2}, ax^{3}, …), mas, no caso de A ser finito, existe apenas um número finito de funções f : A → A, pelo que não podem ser usadas para definir todos os polinómios com coeficientes em A.

Por exemplo, se A for o anel ℤ_{2}, só existem quatro funções f : ℤ_{2} → ℤ_{2}

f_{1}  f_{2}  f_{3}  f_{4}
0 ↦ 0 0 ↦ 0 0 ↦ 1 0 ↦ 1
1 ↦ 0 , 1 ↦ 1 , 1 ↦ 0 , 1 ↦ 1

     [Observe:  os polinómios 1 + x e 1 + x + x^{2} + x^{3} definem ambos f_{3}]

mas se quisermos que polinómios com coeficientes distintos sejam de facto polinómios distintos, existe um número infinito de polinómios com coeficientes em ℤ_{2}:

0, 1, x, 1+x, x^{2}, 1+x^{2}, x+x^{2}, 1+x+x^{2}, x^{3}, 1+x^{3}, x+x^{3}, x^{2}+x^{3}, 1+x+x^{3}, 1+x^{2}+x^{3},

x + x^{2} + x^{3}, 1 + x + x^{2} + x^{3}, …

Resolvemos este problema identificando um polinómio com a sucessão dos seus próprios coeficientes, esquecendo a sua relação com funções de tipo especial.

No que se segue A designa um anel comutativo com identidade.

POLINÓMIO Uma sucessão

\begin{matrix}p : ℕ_{0} & → & A \\ i & ↦ & p(i) := p_{i} \end{matrix}

em A diz-se um polinómio se existe n ∈ ℕ_{0} tal que p(i) = 0 para todo o i > n. O menor número n ∈ ℕ_{0} nessas condições chama-se grau do polinómio (no caso em que o polinómio não é o polinómio nulo (0, 0, 0, …); quando se trata do polinómio nulo, convenciona-se que o seu grau é −∞). Os termos p(i) := p_{i} dizem-se os coeficientes do polinómio. Denotaremos por A[x] o conjunto de todos os polinómios com coeficientes no anel A.

Exemplos:

0 := (0, 0, 0, …) é o polinómio zero ou nulo.

1 := (1, 0, 0, …) é o polinómio um ou identidade.

a := (a, 0, 0, …) diz-se um polinómio constante (a ∈ A).

A soma e produto de polinómios com coeficientes reais (isto é, em ℝ[x]) é-nos seguramente familiar e baseiam-se nas operações de soma e produto dos coeficientes reais. Reconhecendo que essas operações sobre os coeficientes são possíveis em qualquer anel, podemos estender essas operações a qualquer A[x]. Note que a soma assim introduzida não passa da soma usual de sucessões, mas o produto já não é o habitual. Quando há risco de ambiguidade, referimo-nos ao produto definido abaixo como o produto de convolução, e representamo-lo por p⋆q em lugar de pq.

SOMA E PRODUTO (DE CONVOLUÇÃO) DE POLINÓMIOS Sendo p, q : ℕ_{0} → A polinómios, a soma p + q e o produto (de convolução) p ⋆ q são os polinómios dados por

(p + q)_{i} = p_{i} + q_{i}

(p ⋆ q)_{i} = ∑_{j=0}^{i} p_{j}q_{i−j}.

Exemplos: (1) Se a = (a, 0, 0, …) é um polinómio constante e

p = (p_{0}, p_{1}, …, p_{n}, 0, 0, …)

é um polinómio arbitrário, o produto a ⋆ p é o polinómio

(ap_{0}, ap_{1}, ap_{2}, …, ap_{n}, 0, 0, …),

porque a soma ∑_{j=0}^{i} a_{j}p_{i−j} se reduz sempre à parcela com j = 0.

(2) Se a = (a, 0, 0, …) e b = (b, 0, 0, …) são polinómios constantes, a sua soma e o seu produto são dados por a + b = (a + b, 0, 0, …) e a ⋆ b = (ab, 0, 0, …). Portanto, o conjunto dos polinómios constantes com as operações acima indicadas é um anel isomorfo a A.

     [Confirme:  o isomorfismo é dado pela aplicaç~ ao a ↦ (a, 0, 0, . . .)]

(3) Em ℤ_{2}[x], se p = (1, 1, …, 1, 0, 0, …) é de grau n ≥ 0, então

pp = (1, 0, 1, 0, …, 1, 0, 0, …),

de grau 2n, pois

(pp)_{i} = ∑_{j=0}^{i} p_{j}p_{i−j} = ∑_{j=0}^{i} 1 = (i + 1) mod 2.

O resultado seguinte é evidente, pelo que a sua demonstração fica como exercício.

Proposição. Se A é um anel comutativo com identidade, (A[x], +, ⋆) é também um anel comutativo com identidade. Além disso, (A[x], +, ⋆) é um domínio de integridade se e só se A é um domínio de integridade.

O anel A[x] chama-se anel polinomial sobre A.

Observámos no exemplo (2) acima que o anel A[x] contém um subanel isomorfo a A (o conjunto dos polinómios constantes), o que justifica que se possa usar o mesmo símbolo a para designar um dado elemento do anel A e o correspondente polinómio constante (a, 0, 0, …). Dizemos então que A[x] é uma extensão de A.